הצגת המקור של הדף "ערך תצפית (תורת הקוונטים)"

ב[[מכניקת הקוונטים]], '''ערך תצפית''' הוא גודל מתמטי המקושר ל[[תוחלת]] הערך של [[אופרטור הרמיטי]] המתקבל על-ידי [[מדידה]]. כלומר, בהינתן [[מצב קוונטי]] נתון, ובהינתן מדידה המקושרת לאופרטור הרמיטי כלשהו, ערך התצפית הוא הערך אליו ישאף ממוצע של מספר גדול של מדידות (על פי [[חוק המספרים הגדולים]]).<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://web1.eng.famu.fsu.edu/~dommelen/quantum/style_a/esd.html|הכותב=Leon van Dommelen|כותרת=Expectation Value and Standard Deviation|אתר=Florida State University|תאריך=2018-08-26}}</ref>

לערך התצפית חשיבות רבה בניסוח תופעות קוונטיות מורכבות, ביניהן [[עקרון האי-ודאות|עקרון אי הודאות של הייזנברג]] ומשוואות תנועה של חלקיקים כדוגמת [[משפט ארנפסט]].

== מבוא ==
במכניקת הקוונטים, המצבים הקוונטים האפשריים למערכת כלשהי מהווים [[מרחב הילברט]], ומקובל לסמן אותם באמצעות [[סימון דיראק]]: כל מצב קוונטי מיוצג על ידי וקטור, המסומן ב-<math>|\psi\rangle</math>.

לכל שני מצבים קוונטיים <math>|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle</math> מסומנת ה[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלארית]] שלהם בתור <math>\langle\psi_2|\psi_1\rangle</math>.

על מרחב הילברט זה ניתן להגדיר אופרטורים שונים. כאשר נתון [[אופרטור הרמיטי]] כלשהו, <math>\hat{A}</math> ניתן לעיתים לקשר אותו לגודל מדיד בטבע. דוגמאות לכך הן [[אופרטור המיקום]], [[אופרטור התנע]] ו[[אופרטור התנע הזוויתי]]. תכונת ההרמיטיות של האופרטור קובעת כי לכל זוג מצבים קוונטים <math>|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle</math> מתקיים:

<math>\langle\psi_2|\hat{A}\psi_1\rangle=\langle\hat{A}\psi_2|\psi_1\rangle</math>

כלומר, בהינתן מכפלה סקלרית של שני מצבים קוונטים, ניתן להפעיל את האופרטור מימין או משמאל והתוצאה תישאר זהה. מסיבה זו נהוג לסמן את המכפלה לעיל בתור <math>\langle\psi_2|\hat{A}|\psi_1\rangle</math>.

ניתן להראות כי לכל מצב קוונטי <math>|\psi\rangle</math> ולכל אופרטור הרמיטי <math>\hat{A}</math> מתקיים ש-<math>\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle</math> הוא [[מספר ממשי|ממשי]]. גודל זה הוא הוא ערך התצפית של <math>\hat{A}</math> במצב קוונטי <math>|\psi\rangle</math>. באופן מעשי, ערך התצפית מציין את הערך אליו ישאף ממוצע המדידות של אופרטור <math>\hat{A}</math> בהינתן מצב קוונטי <math>|\psi\rangle</math>. את ערך התצפית מסמנים לרוב בסימון:

<math>\lang A\rang_\psi:=\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle</math>

== חישוב ערך תצפית ==
=== חישוב במרחב המיקום ===
בהינתן מצב קוונטי כלשהו המתואר כ[[פונקציית גל]] חד-ממדית <math>\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{C}</math> במרחב המיקום, כלומר כזו שמקשרת כל קואורדינטת מיקום <math>x\in\mathbb{R}</math> לצפיפות ההסתברות <math>|\psi(x)|^2</math> שהחלקיק ימצא בנקודה <math>x</math>, ובהינתן אופרטור הרמיטי <math>\hat{A}</math>, ניתן לחשב את ערך התצפית של <math>\hat{A}</math> באופן הבא:

<math>\lang A\rang_\psi=\int_{-\infty}^\infty{\psi^*(x)\hat{A}\psi(x)dx}</math><ref>{{קישור כללי|כתובת=https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node107.html|הכותב=Jim Branson|כותרת=Expectation Values|אתר=University of California San Diego|תאריך=2013-04-22|תאריך_וידוא=2023-03-31}}</ref>

כאשר <math>\hat{A}\psi</math> מציין את הפעלת האופרטור <math>\hat{A}</math> על <math>\psi</math>.

במקרה התלת-ממדי פונקציית הגל היא מהצורה <math>\psi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{C}</math> וערך התצפית מחושב על-ידי:

<math>\lang A\rang_\psi=\int_{\mathbb{R}^3}{\psi^*(\vec{r})\hat{A}\psi(\vec{r})d^3r}</math>

כאשר ערך התצפית מחושב על-ידי אינטגרל של פונקציית הגל במרחב המיקום, יש לוודא כי פונקציית הגל מנורמלת. כלומר, שהאינטגרל של הפונקציה <math>|\psi|^2</math> על כל המרחב הוא 1. במצב זה המצב הקוונטי מפורש לפי [[פרשנות בורן למכניקת הקוונטים]] הגורסת כי [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]] של פונקציית הגל בריבוע היא [[פונקציית צפיפות]] ההסתברות למצוא את החלקיק הנתון בנקודה כלשהי במרחב.

עם זאת, ייתכן ויתקיים ערך תצפית גם במקרה שבו פונקציית הגל אינה מנורמלת. כך למשל עבור פונקציית הגל של [[חלקיק חופשי]] <math>\psi:x\to e^{\frac{ip_1x}{\hbar}}</math> קיים ערך תצפית עבור אופרטור התנע והוא <math>\lang p\rang_\psi=p_1</math>, זאת על אף שהפונקציית אינה מנורמלת.

=== חישוב באמצעות מצבים עצמיים ===
אם לאופרטור <math>\hat A</math> מצבים עצמיים [[בסיס אורתונורמלי|אורתונורמליים]] <math>| n \rang </math> ו[[ערך עצמי|ערכים עצמיים]] <math>a_n </math> בהתאמה, והמערכת נמצאת במצב <math>|\psi\rang=\sum_n c_n|n\rang</math> אז ניתן להראות כי ערך התצפית של <math>\hat A</math> יהיה:

<math>\lang\hat A\rang_\psi=\sum_n |c_n|^2a_n</math><ref>{{קישור כללי|כתובת=http://physics.mq.edu.au/~jcresser/Phys301/Chapters/Chapter14.pdf|הכותב=J.D. Cresser|כותרת=Probability, Expectation Value and Uncertainty|אתר=Macquarie University|תאריך=2009}}</ref>

כלומר, בהינתן פירוק של מצב קוונטי כללי <math>|\psi\rang</math> למצבים עצמיים של <math>\hat A</math>, ניתן לחשב את הערך העצמי בעזרת המקדמים של המצבים העצמיים בפירוק והערכים העצמיים של <math>\hat A</math>.

יתרה מזאת, עבור כל מצב עצמי <math>| n \rang </math> מתקבל כי ערך התצפית של <math>\hat A</math> עבור מערכת במצב זה הוא <math>\lang\hat A\rang=a_n</math>, כלומר ערך התצפית הוא הערך העצמי של <math>| n \rang </math>.

=== חישוב במרחב כללי ===
בהינתן פונקציית גל המתוארת במרחב כללי כלשהו <math>V</math> כדוגמת מרחב התנע או מרחב האנרגיה, כלומר פונקציית גל מהצורה <math>\psi:V\to\mathbb{C}</math>, ניתן לחשב את ערך התצפית באמצעות [[אינטגרל לבג]] על מרחב זה. כלומר:

<math>\lang A\rang_\psi=\int_{V}{\psi^*(\vec{x})\hat{A}\psi(\vec{x})dm}</math>

כאשר <math>\vec{x}\in V</math> הן קואורדינטות במרחב ו-<math>m</math> היא [[מידה (מתמטיקה)|פונקציית מידה]] על המרחב.

ניתן להראות שבהינתן ייצוגים שקולים של מצב קוונטי בשני מרחבים שונים, ערך התצפית יישאר זהה. כך למשל, בהינתן פונקציית גל <math>\psi</math> המתוארת במרחב המיקום, ניתן להמירה לפונקציה <math>\tilde{\psi}</math> במרחב התנע על-ידי [[התמרת פורייה]] וערך התצפית יישאר זהה.

== אריתמטיקה ==
עבור מצב קוונטי <math>|\psi\rang</math> כלשהו, ערך התצפית מקיים את כללי האריתמטיקה הבאים:
* לכל קבוע <math>c\in\mathbb{R}</math> מתקיים <math>\lang c\rang_\psi=c</math>
* לכל קבוע <math>c\in\mathbb{R}</math> ואופרטור הרמיטי <math>\hat A</math> מתקיים <math>\lang cA\rang_\psi=c\lang A\rang_\psi</math>
* לכל שני אופרטורים הרמיטיים <math>\hat A</math> ו-<math>\hat B</math> מתקיים: <math>\lang A+B\rang_\psi=\lang A\rang_\psi+\lang B\rang_\psi</math>

עם זאת, עבור שני אופרטורים הרמיטיים <math>\hat A</math> ו-<math>\hat B</math> באופן כללי <math>\lang AB\rang_\psi\ne\lang A\rang_\psi\lang B\rang_\psi</math>.

== אי-ודאות ==
בהינתן מצב קוונטי <math>|\psi\rang</math> ואופרטור הרמיטי <math>\hat A</math> ניתן להראות כי מתקיים:

<math>\lang A^2\rang\ge\lang A\rang^2</math>

כלומר, שערך התצפית של האופרטור <math>\hat A^2</math> (הפעלת האופרטור <math>\hat A</math> פעמיים) חיובי וגדול מערך התצפית של <math>\hat A</math> בריבוע. עובדה זו מאפשרת להגדיר את [[סטיית תקן|סטיית התקן]] של ערך התצפית:

<math>\Delta A=\sqrt{\lang A^2\rang-\lang A\rang^2}</math>

גודל זה מציין את אי הודאות במדידת הגודל הקשור לאופרטור <math>\hat A</math>.

לאי-הודאות של ערך התצפית חשיבות מכרעת בהבנת תופעות פיזיקליות רבות, כשהמרכזית שבהן היא [[עקרון האי-ודאות|עקרון אי הודאות של הייזנברג]], אשר גורס בגרסתו הכללית ביותר כי לכל שני אופרטורים הרמיטיים <math>\hat A</math> ו-<math>\hat B</math> מתקיים אי-השוויון:

<math>\Delta A\Delta B\ge\frac{1}{2}|\lang[A,B]\rang|</math><ref>{{קישור כללי|כתובת=https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node188.html|הכותב=Jim Branson|כותרת=Uncertainty Principle for Non-Commuting Operators|אתר=University of California San Diego|תאריך=2013-04-22|תאריך_וידוא=2023-03-31}}</ref>

כאשר <math>[\hat{A},\hat{B}]</math> הוא ה[[קומוטטור]] של <math>\hat A</math> ו-<math>\hat B</math>.

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
[[קטגוריה:מכניקת הקוונטים]]