הצגת המקור של הדף "עשרימון משוכלל"

[[קובץ:Icosahedron.gif|שמאל|ממוזער|150px|עשרימון]]
[[קובץ:Icosaedro desarrollo.gif|שמאל|ממוזער|150px|הרכבת עשרימון ממשולשים]]
[[קובץ:Icosahedron.stl|ממוזער|מודל תלת־ממדי של עשרימון משוכלל]]
[[קובץ:20-sided dice 250.jpg|ממוזער|150px|[[קוביית משחק]] בעלת 20 פאות]]
[[קובץ:Rotating origami icosahedron.webm|ממוזער|150px|עשרימון [[אוריגמי]] מסתובב]]

'''עֶשְׂרִימוֹן משוכלל''' (נקרא גם '''אִיקוֹסָהֶדְרוֹן רגולרי'''; מ[[אנגלית]]: '''Icosahedron'''), הוא [[פאון משוכלל]] בעל עשרים [[פאה (גאומטריה)|פאות]], אשר כל אחת מהן היא [[משולש שווה-צלעות]], כלומר, [[משולש]]  שכל [[צלעות|צלעותיו]] שוות זו לזו וכל [[זווית|זוויותיו]] שוות זו לזו. לאיקוסהדרון 12 קודקודים, 30 מקצועות ו-20 פאות. העשרימון הוא אחד מחמשת ה[[פאון משוכלל|פאונים המשוכללים]]. בדרך כלל נקרא סתם '''עשרימון''' או '''איקוסהדרון'''.

[[שטח פנים|שטח הפנים]] <math>\ A</math>וה[[נפח]] <math>\ V</math>של עשרימון שצלעו באורך <math>\ a</math> הם <math>A=5\sqrt3a^2</math> ו-<math>V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3</math>, בהתאמה.

[[פאון דואלי|הפאון הדואלי]] לעשרימון המשוכלל, כלומר, הפאון שמתקבל אם מחברים את המרכז של כל פאה אל מרכזי הפאות הסמוכות לה, הוא [[תריסרון משוכלל|התריסרון המשוכלל]].

[[חבורת אוטומורפיזמים|חבורת האוטומורפיזמים]] של העשרימון המשוכלל איזומורפית ל[[חבורת התמורות הזוגיות]] <math>\ A_5</math>, הקרויה בשל כך גם "חבורת העשרימון". 

זוהי ה[[חבורה פשוטה|חבורה הפשוטה]] הקטנה ביותר, והיא אחת מ[[חבורת משולש|חבורות המשולש]] הסופיות, עם ה[[הצגה על ידי יוצרים ויחסים|הצגה]] <math>\ \langle x,y,z | x^2 = y^3 = z^5 = xyz = 1\rangle</math>. את היוצרים <math>x,y,z</math> של חבורת העשרימון ניתן לזהות עם פעולות סיבוב מסוימות: ''x'' מייצג סיבוב בזווית 180 מעלות ביחס לציר העובר דרך אמצע צלע מסוימת, ''y'' מייצג סיבוב בזווית 120 מעלות ביחס לציר העובר דרך מרכז פאה מסוימת, ו-''z'' מייצג סיבוב בזווית 72 מעלות ביחס לציר העובר דרך קודקוד מסוים. כדי לקיים את שלושת הקשרים הראשונים בהצגה של חבורת העשרימון מספיק לבחור פאה, צלע וקודקוד באופן שרירותי, אולם הקשר הרביעי <math>xyz=1</math> מתקיים רק אם הקודקוד (אליו מתייחס היוצר ''z'')  הוא חלק מהצלע (אליה מתייחס היוצר ''x'') והצלע היא חלק מהפאה (אליה מתייחס היוצר ''y''), וחישוב מתאים בעזרת [[קווטרניונים וסיבובים מרחביים|קווטרניונים]] מאשר זאת.  

צורת העשרימון המשוכלל נמצאת גם בטבע. למשל, לרבים מה[[נגיף|נגיפים]] יש [[קפסיד]] (מבנה המורכב מחלבונים המקיף את המטען הגנטי הנגיפי) בצורה זו. קפסיד כזה בנוי מעשרים או יותר תת-יחידות זהות, המיוצרות כל אחת בנפרד, והוא מאפשר מזעור פי עשרים של הגן המקודד לחלבון הקפסיד. היחידות היוצרות את הפאות הן בצורת [[משושה]], בעוד הקודקודים בנויים מחלבונים מחומשים (שהרי כל [[קודקוד]] מאגד 5 משולשים).  

העשרימון ידוע בקהילת [[משחקי תפקידים|משחקי התפקידים]] כ-'''ק20''' ב[[עברית]] או '''D20''' ב[[אנגלית]] - [[קוביית משחק|קובייה]] בת 20 פאות. זוהי אחת הקוביות השימושיות במשחקי תפקידים דוגמת [[מבוכים ודרקונים]] (היא משמשת בעיקר במצבי [[קרב]] לבדיקה האם הדמות הצליחה לפגוע באויבה), וישנן אף שיטות משחק המשתמשות רק בקובייה זו, הנקראות "שיטות ק20".

==ראו גם==
*[[כיפה גאודזית]]

== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Icosahedron|שם ויקישיתוף=איקוסהדרון|ימין|ויקימילון=עשרימון}}
* {{MathWorld}}

{{פאונים}}

{{מצולעים ופאונים}}

[[קטגוריה:פאונים]]
[[קטגוריה:צורות גאומטריות סימטריות]]
[[קטגוריה:20 (מספר)]]