הצגת המקור של הדף "פאון"

{{פירוש נוסף|נוכחי=גוף תלת ממדי|אחר=יצור מהמיתולוגיה הרומאית|ראו=[[סאטיר]]}}[[קובץ:Polyhedron.jpg|ממוזער|240px|[[היטל (גאומטריה)|היטל]] [[מרחב תלת-ממדי|תלת-ממדי]] של פאון [[מרחב ארבע-ממדי|ארבע-ממדי]] בן 1,860 [[קודקוד]]ים ו-5,340 [[מקצוע (גאומטריה)|מקצועות]].]]
'''פֵּאוֹן''' (או ב[[יוונית]]: '''פוליהדרון''', ב[[אנגלית]]: '''Polyhedron''') הוא גוף [[מרחב תלת-ממדי|תלת-ממדי]] המורכב מ[[פאה (גאומטריה)|פאות]], היוצרות יחד גוף [[מרחב קשיר|קשיר]], [[קבוצה חסומה|חסום]] וסגור. המונח "פאון" מתייחס גם לגופים בעלי תכונות דומות מממד גבוה יותר (הגם שבאנגלית גוף תלת-ממדי נקרא polyhedron, ופאון כללי הוא polytope).

ישנם 5 סוגי [[פאון משוכלל|פאונים משוכללים]] (תלת-ממדיים), הנקראים גם "פאונים משוכללים": [[ארבעון]] ([[פירמידה משולשת]] בעלת 4 פאות [[משולש]]ות) [[קובייה]] (בעלת 6 פאות [[ריבוע]]יות), [[תמניון]] (בעל 8 פאות משולשות), [[תריסרון]] (בעל 12 פאות [[מחומש]]ות) ו[[עשרימון]] (בעל 20 פאות משולשות). 

קבוצת נוספת של פאונים הדומים לפאונים האפלטוניים היא [[פאון ארכימדי|הפאונים הארכימדיים]]. בקבוצה זו יש שלושה-עשר פאונים, מהם שניים בעלי [[כיווניות]] ימנית או שמאלית, וביחד 15 פאונים שונים (עד כדי דמיון במרחב). [[מנסרה (גאומטריה)|מנסרה]], [[פירמידה (גאומטריה)|פירמידה]] מרובעת ופאונים נוספים אינם נחשבים פאונים משוכללים משום שאינם בנויים מפאות זהות. הפאונים האפלטוניים והארכימדיים, יחד עם כל המנסרות והאנטי-מנסרות הם [[פאון משוכלל למחצה|משוכללים למחצה]]. 

בשנת 1900 פרסם [[דויד הילברט]] את רשימת [[23 הבעיות של הילברט|23 הבעיות שלו]], שרובן הפכו לאבני דרך חשובות בהתפתחות המתמטיקה. [[הבעיה השלישית של הילברט]] שואלת האם אפשר לעבור מפאון נתון לכל פאון שווה שטח אחר, באמצעות [[חידות חיתוך והרכבה|חיתוך והרכבה]]. בעיה זו נפתרה זמן קצר אחר-כך על ידי תלמידו, [[מקס דן]], שהוכיח כי התשובה שלילית.

==טרמינולוגיה==
[[קובץ:small_rhombicosidodecahedron.png|שמאל|ממוזער|120px|[[רומביקוסידודקהדרון]]]]
ה[[טרמינולוגיה]] המיוחדת לפאונים, כגון ה[[איקוסידודקהדרון קטום|איקוסידודקהדרון הקטום]] וה[[קובייה מסותתת|הקסגון המסותת]], היא עניין סבוך ומבלבל. השמות נגזרים בדרך כלל מ[[יוונית]] ומ[[לטינית]], והם נסמכים על הכללים שקבע [[יוהאנס קפלר|קפלר]], שגילה (מחדש) את ה[[פאון ארכימדי|פאונים הארכימדיים]] ועסק רבות בתחום.

=== מספר הפאות ===
בהכללה מן המקרה הדו-ממדי, שבו נקרא כל מצולע על-פי מספר הצלעות שלו, שמו של פאון אמור להציג בראש וראשונה את מספר הפאות. תוספות לשם מתארות משהו מן המבנה המרחבי, או מצביעות על קשר בין הפאון המדובר לפאון פשוט יותר.

הבסיס לכל שם הוא מספר הצלעות, הנגזר מן התחיליות ה[[יוונית עתיקה|יווניות]], והסיומת הקבועה '-הדרון'. התחיליות החשובות הן דו- (2), טטר- (4), הקס- (6), אוקט- (8), דקה- (10), איקוס- (20), הקטו- (100). כדי לבטא מספרים אחרים, מחברים תחיליות. כך למשל [[דודקהדרון]] הוא פאון בן 12 פאות, ול[[איקוסידודקהדרון]] יש 20+10+2=32 פאות. הצירוף -קונט- מבטא קבוצות של עשר, כך שלטטרקונטהדרון יש 40 פאות.

בעברית מקובלים גם שמות אלו, שנגזרו מיוונית, וגם השמות המעוברתים [[ארבעון]] (טטרהדרון), [[תריסרון]] (=דודקהדרון), [[עשרימון]] (איקוסהדרון), וכדומה.

=== צורת הפאות ===
במקרה הדו-ממדי, המונח "[[מתומן]]" עשוי לתאר כל מצולע בן 8 צלעות, בעוד ש"מתומן משוכלל" הוא מתומן שכל זוויותיו שוות. באופן דומה, "דודקהדרון" עשוי להיות כל פאון בן 12 צלעות, ו"דודקהדרון משוכלל" הוא דודקהדרון שכל פאותיו מצולעים משוכללים. בפאונים, רמת השכלול שניתן להגיע אליה מורכבת יותר: ייתכן שכל הזויות המרחביות יהיו חופפות, שכל הפאות יהיו משוכללות וחופפות זו לזו, וכדומה. כל אחת מתכונות אלה עשויה לזכות את הפאון בתואר "משוכלל", ולעיתים קרובות נדרש ביאור נוסף כדי לאפיין את הפאון באופן חד-משמעי. ה[[קובייה]], אם-כך, אינה אלא הקסהדרון משוכלל.

סיומות אחרי המלה מציגות את מבנה הפאות, במקרה שאלו אינן משוכללות. למשל, "איקוסיטטרהדרון מחומש" הוא פאון בן 24 פאות, שכולן [[מחומש]]ות (בדרך כלל הכוונה היא למחומשים משוכללים). ל"דודקהדרון מעוין" יש 12 פאות בצורת [[מעוין]] (בשפות הלטיניות מקובלת במקרה כזה התחילית רומבי-). הצורה "דלתוני" מתארת פאון שבו כל פאה היא בצורת [[דלתון]]; באנגלית מקובלת כאן התחילית טרפזו-, בהתאם למינוח ה[[אנגליה|אנגלי]], ולא ה[[ארצות הברית|אמריקאי]]).

סיומת המתארת את צורת הפאה עשויה לאפיין את הפאון כחבר במשפחה אינסופית מוכרת. לדוגמה, "מנסרה מתומנת" היא [[מנסרה (גאומטריה)|מנסרה]], שהבסיסים שלה מתומנים. ה"דו-פירמידה המתושעת" מתקבלת מהדבקת שתי פירמידות, שלכל אחת מהן בסיס מתושע ותשע פאות משולשות, בבסיסיהן.

=== בנייה ושינוי ===
[[קובץ:Truncated_hexahedron.png|שמאל|ממוזער|120px|[[קובייה קטומה]], המתקבלת מקיטום הפינות של [[קובייה]] והחלפתן במשולשים.]]
[[קובץ:Snub_hexahedron.png|שמאל|ממוזער|120px|[[קובייה מסותתת]], המתקבלת מסיתות המקצועות של ה[[קובייה]] לזוגות של משולשים.]]
פאונים מעניינים רבים מתקבלים בדרכים שונות מפאונים אחרים. במקרה כזה המינוח עשוי להתייחס לפאון-האב, תוך ציון האופן שבו נוצר הפאון החדש.

הצירוף -קיס- (-kis-) מתאר פירוק כל אחת מן הפאות של הפאון הישן למשולשים, הנפגשים כולם בנקודה אחת, במרכז הפאה. אם פעולה זו נעשתה בפאות הריבועיות של קובייה, הפאון הנוצר נקרא "[[קובייה קיסית]]", או "קובייה טטרקיסית" (משום שהפאות שהוחלפו היו טטרגונים, היינו מרובעים). "דודקהדרון קיסי" (או "פנטקיסי") מתקבל מדודקהדרון, על ידי החלפת כל פאה מחומשת בחמישה משולשים הנפגשים בנקודה.

המונח '''קטום''' (truncated) מתייחס לתהליך של קיטום הפינות, כבאיור משמאל. הקיטום מוסיף פאה במקומו של כל קודקוד (מספר הצלעות בפאה החדשה שווה למספר הפאות שנפגשו בקודקוד), ומכפיל את מספר הצלעות של כל פאה. קיים גם קיטום עמוק יותר, שבו מישורי החיתוך של הפינות נפגשים, ומכל פאה משוכללת נשארת פאה משוכללת בעלת אותו מספר צלעות. גם התוצאה של חיתוך כזה מתוארת במונח "קטום".

המונח '''מסותת''' (snub)
<!-- זה תחדיש; אינני מכיר מונח עברי גאה; ע.ו. -->
מתאר תהליך שבו מוחלף כל [[מקצוע (גאומטריה)|מקצוע]] של הפאון בזוג משולשים. בקוביה המסותתת (משמאל), הפאות הישנות נותרות במקומן, ו-12 המקצועות מוחלפים ב-24 [[משולש שווה-צלעות|משולשים משוכללים]]; גם שמונה הקודקודים הופכים למשולשים. זהו תהליך [[כיווניות (גאומטריה)|כיווני]], משום שבזמן הוספת המשולשים יש לקבוע לאיזה כיוון יסתובבו הפאות הקיימות; לכן יש שתי צורות לא-חופפות של קובייה מסותתת. סיתות ה[[אוקטהדרון]], שהוא [[פאון דואלי|הפאון הדואלי]] של הקוביה, מביא לאותה תוצאה: שמונה הקודקודים הופכים לשמונה ריבועים, בעוד ש-12 המקצועות הפכו ל-24 פאות משולשות. מסיבה זו מקובל לקרוא לקוביה המסותתת (שהיא הקסהדרון מסותת, וגם אוקטהדרון מסותת) בשם "קובוקטהדרון מסותת". סיתות הפאונים הדואליים [[דודקהדרון]] ו[[איקוסהדרון]] מביא גם הוא לאותה צורה, הנקראת [[איקוסידודקהדרון מסותת]]. השם "איקוסידודקהדרון" מציין שילוב בין דודקהדרון (12) לאיקוסהדרון (20) הדואליים, ואין לו קשר לפאון בן 32 צלעות, כפי שהשם עלול לרמוז.

פאון '''מכוכב''' הוא כזה שבו חלק מהמקצועות (או כולם) נמשכים כלפי חוץ, עד שהם נפגשים פעם נוספת. פאונים כאלה אינם [[גוף קמור|קמורים]], כמובן. יש דרכים רבות לככב את אותו פאון (לדוגמה, יש 59 איקוסהדרונים מכוככבים). פאון הוא '''מוגדל''' אם עבר תהליך דומה, שבו ממשיכים את הפאות (ולא את המקצועות).



[[קובץ:Peonim.PNG|שמאל|ממוזער|300px|מימין: [[ריבוע]] - פאון דו-ממדי, [[קובייה]] - פאון תלת-ממדי, [[היפרקובייה]] ארבע ממדית]]
המילה "פאון" משמשת בעברית גם לתיאור גוף מממד כלשהו (מ-2 ואילך) המורכב מ[[פאה (גאומטריה)|פאות]] (ב[[אנגלית]] polytope, להבדיל מפאון תלת-ממדי, הקרוי polyhedron).

[[קובץ:Hypercube.svg|ימין|ממוזער|300px|ייצוג של ה[[טסרקט]], היפרקובייה ארבע-ממדית.]]

את מספר הפאות מממד i של פאון P מסמנים ב-<math>\ f_i(P)</math>. לכל פאון בעל n קודקודים מתקימים החסמים <math>\ f_i(S(d,n)) \leq f_i(P) \leq f_i(C(d,n))</math>, כאשר <math>\ S(d,n)</math> הוא '''הפאון המגובב''' בממד d עם n קודקודים, המתקבל מגיבוב סימפלקס על אחת הפאות של <math>\ S(d,n-1)</math>; ו-<math>\ C(d,n)</math> הוא '''הפאון הציקלי''', שהוא ה[[קמור]] של n נקודות (כלשהן) על העקום <math>\ (t,t^2,\dots,t^d)</math>. לדוגמה, לפאון הציקלי יש <math>{n \choose i}</math> פאות i-ממדיות עבור i<d/2.

==נוסחת אוילר==

[[נוסחת אוילר (תורת הגרפים)|נוסחת אוילר]] קושרת בין מספר פאותיו, מספר המקצועות ומספר הקודקודים של פאון תלת־ממדי. הנוסחה היא '''V - E + F = 2''', כאשר '''V''' הוא מספר הקודקודים של הפאון, '''E''' הוא מספר המקצועות ו-'''F''' הוא מספר הפאות.{{הערה|{{לא מדויק|2010/01/31/euler_formula_and_platonic_solids|הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל}}}}
נוסחת אוילר היא מקרה פרטי של [[נוסחת אוילר-פונקארה]] עבור מֵמד d=3.{{הערה|פטר הלינני, [https://arxiv.org/abs/1612.01271 A short proof of Euler-Poincaré formula], באתר [[arXiv]]{{כ}}, 9 בספטמבר 2021.}}
{| class="wikitable"
| colspan="5" align="center" | '''נוסחת אוילר לפאונים משוכללים'''
|-
! פאון
! V{{ש}}מספר הקודקודים
! F{{ש}}מספר הפאות
! E{{ש}}מספר הצלעות
! V - E + F
|-
| [[ארבעון]] || 4 || 4 || 6 || 2
|-
| [[קובייה]] || 8 || 6 || 12 || 2
|-
| [[תמניון]] || 6 || 8 || 12 || 2
|-
| [[תריסרון]] || 20 || 12 || 30 || 2
|-
| [[עשרימון]] || 12 || 20 || 30 || 2
|}

=== פאונים תלת־ממדיים ===
נוסחת אוילר היא תנאי הכרחי על הערכים '''V,E,F'''  של פאון תלת־ממדי (אבל לא מספיק), אמנם על ידי הוספת שני תנאים נוספים אפשר להגיע גם לתנאי מספיק.

לכל פאון תלת־ממדי נסמן ב-<math>f_i</math> את מספר הפאות ממֵמד <math>i</math> כלומר מספר הקודקודים הוא <math>f_0</math>, מספר הצלעות הוא <math>f_1</math> ומספר הפאות הוא <math>f_2</math>.

נגדיר: <math>f=(f_0,f_1,f_2)</math> להיות ה"<math>f</math>-וקטור" של הפאון.

'''משפט:''' וקטור של ערכים שלמים אי שליליים <math>f=(f_0,f_1,f_2)</math> הוא <math>f</math>-וקטור של פאון תלת־ממדי '''אם ורק אם''' מתקיימים 3 התנאים הבאים:

# <math>f_0-f_1+f_2=2</math> (זו נוסחת אוילר)
# <math>f_2-4\leq 2(f_0-4)</math>
# <math>f_0-4\leq 2(f_2-4)</math>

==פאון גמיש==
[[משפט קושי (גאומטריה)|משפט קושי]] קובע ש[[פאון קמור]] תלת-ממדי הוא קשיח, כלומר אי אפשר לשנות את צורתו בלי לשנות לפחות אחת מפאותיו. ניתן לבנות פאון שאינו קמור, כך שיהיה [[פאון גמיש]] {{אנ|Flexible polyhedron}}, כלומר ניתן לשנות את צורתו ללא שינוי של פאותיו. פאון גמיש שאינו חותך את עצמו נבנה לראשונה בשנת [[1977]] על ידי [[רוברט קונלי (מתמטיקאי)|רוברט קונלי]] {{אנ|Robert Connelly}}, והוא כלל 18 פאות. בהמשך נבנה פאון גמיש שלו 14 פאות משולשות.{{הערה|[[איאן סטיוארט (מתמטיקאי)|איאן סטיוארט]], '''מטמון האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט''', [[כנרת, זמורה-ביתן]], 2016, הפרק "הפאון הגמיש", עמ' 50–51.}}

== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Polyhedra|שם ויקישיתוף=פאונים|ויקימילון=פאון}}
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/naming.html Polyhedra Names]
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007563259005171|פוליהדרה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{מצולעים ופאונים}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פאונים|*]]