הצגת המקור של הדף "פאון משוכלל למחצה"

ב[[גאומטריית המרחב]], '''פאון משוכלל למחצה''' הוא [[פאון]] [[גוף קמור|קמור]] שכל ה[[פאה (גאומטריה)|פאות]] שלו הן [[מצולע משוכלל|משוכללות]], ואשר ה[[קודקוד (גאומטריה)|קודקודים]] שלו חופפים זה לזה (במובן הבא: [[חבורת הסימטריות]] [[פעולת חבורה|פועלת]] באופן [[פעולה טרנזיטיבית|טרנזיטיבי]] על הקודקודים).

ישנן שתי משפחות אינסופיות של פאונים משוכללים למחצה, ה'''[[מנסרה משוכללת|מנסרות]]''' הקמורות וה'''[[אנטי-מנסרה משוכללת|אנטי-מנסרות]]''' הקמורות, עוד שלושה-עשר '''[[פאון ארכימדי|פאונים ארכימדיים]]''' (שלהם לפחות שתי פאות לא חופפות), וחמשת ה[[פאון אפלטוני|פאונים האפלטוניים]] (שבהם כל הפאות חופפות).

במונח "פאון משוכלל למחצה" עשה לראשונה שימוש E. L. Gosset (ב-1912), כדי לתאר מה שקרוי היום [[פאון אחיד]] (פאון שחבורת הסימטריות שלו פועלת טרנזיטיבית על הקודקודים, וכל הפאות שלו אחידות; מצולע אחיד נדרש להיות משוכלל). <!-- Uniform polyhedron -->
[[ה.ס.מ. קוקסטר]] פסק שההגדרה הזו מלאכותית ורחבה מדי. בהגדרות מאוחרות יותר נכללו פאונים נוספים, לרבות [[פאון כוכבי|פאונים כוכביים]] והפאונים ה[[פאון דואלי|דואליים]] לאלו המנויים לעיל. בין הספרים העוסקים בנושא אין הסכמה חד-משמעית באשר לתכולת הקבוצה של הפאונים המשוכללים למחצה: מחברים אחדים כוללים בה את [[פאוני קטלן]], בעוד שאחרים משמיטים ממנה את הפאונים האפלטוניים; לעיתים נשמטת גם ההנחה על קמירות.

==מיון הפאונים המשוכללים למחצה==
כל אחד מן הפאונים המשוכללים למחצה ניתן לתיאור מלא על ידי [[תבנית קודקודית|תבנית הקודקודים]] <!-- vertex configuration --> שלו, הכוללת את טיפוסי המצולעים הנפגשים בקודקוד, לפי סדרם. כך למשל התבנית 3.5.3.5 מתארת את ה[[איקוסידודקהדרון]], שבו נפגשים בכל קודקוד [[משולש]] ומחומש, משולש ומחומש; והתבנית 3.3.3.5 מתארת את האנטי-מנסרה המחומשת, שבה נפגשים בכל קודקוד שלושה משולשים ומחומש משוכלל אחד.

הכלי הבסיסי למיון פאונים קמורים הוא השוואה בין [[זווית|זוויות]] מישוריות זוויות מרחביות. הזווית של [[מצולע]] משוכלל בן n צלעות היא <math>\ (1-\frac{2}{n})\pi</math> ([[רדיאן|רדיאנים]]). אם בקודקוד נפגשים פאונים שלהם <math>\ n_1,\dots,n_k</math> צלעות האחד, אז סכום הזויות שלהם, <math>\ \sum(1-\frac{2}{n_i})\pi</math>, חייב להיות קטן מן הזווית הכוללת סביב נקודה, השווה כמובן ל- <math>\ 2\pi</math>. במילים אחרות,
<math>\ \sum_{i=1}^{k}\frac{1}{n_i} > \frac{k-2}{2}</math>. 
הזווית הקטנה ביותר במצולע משוכלל היא זו של משולשים (שכל זווית שלהם גודלה <math>\ \frac{\pi}{3}</math>), ולכן <math>\ \frac{k \pi}{3} < 2\pi</math>; כלומר, מספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד הוא <math>\ k\leq 5</math>. מצד שני בקודקוד של פאון נפגשות לפחות שלוש פאות, ולכן <math>\ 3\leq k \leq 5</math>.

יתרה מזו: מנימוקים הנוגעים למדידת זוויות על פני כדור (ראו גם [[משפט גאוס-בונה]]) נובע כי כאשר מסכמים את ההפרשים <math>\ 2\pi-\sum(1-\frac{2}{n_i})\pi</math> על פני כל הזויות של הפאון, מתקבלת הזווית המרחבית <math>\ 4\pi</math> (השווה ל[[שטח פנים|שטח פני]] [[כדור (גאומטריה)|כדור]] בעל [[רדיוס]] 1). מכאן ש'''מספר הקודקודים''' בפאון משוכלל למחצה, N, שווה ל- 
: <math>\ (*) \qquad \qquad N=\frac{4}{2-\sum(1-\frac{2}{n_i})}</math>. 
מספר זה חייב, כמובן, להיות שלם.

הפתרונות למשוואה (*) כוללים שלוש משפחות אינסופיות, ועוד 101 פתרונות מבודדים (בספירה מניחים ש- <math>\ 3\leq n_1\leq n_2 \leq \dots\leq n_k</math>). פתרונות אלה מחולקים באופן הבא: 
* כאשר k=5 יש שלושה פתרונות: <math>\ (3,3,3,3,n_5)</math>, כאשר <math>\ n_5 = 3,4,5</math>;
* כאשר k=4 יש משפחה אינסופית של פתרונות, <math>\ (3,3,3,n_4)</math>, ועוד 11 פתרונות;
* כאשר k=3 יש שתי משפחות אינסופיות של פתרונות, <math>\ (3,6,n_3)</math> ו- <math>\ (4,4,n_3)</math>, ועוד 87 פתרונות.

רבים מפתרונות אלה אינם יכולים לייצג פאון תלת-ממדי מסיבות גאומטריות שונות. למשל: אם בכל קודקוד נפגשות k=3 פאות, אז סביב כל פאה צריכות להיות מסודרות הפאות משני הסוגים האחרים, לסירוגין. בפרט, אם לאחת הפאות מספר אי-זוגי של צלעות, אז שתי הפאות האחרות חייבות להיות שוות. עקרון פשוט זה פוסל את רוב הפתרונות המספריים, ומשאיר (כאשר k=3) את המשפחה <math>\ (4,4,n_3)</math> ועוד תשעה פתרונות. נימוקים אחרים, מורכבים יותר, פוסלים חלק מהפתרונות במקרה k=4, ומשאירים את המשפחה האינסופית ועוד 4 פתרונות.

===סיכום===
הפאונים המשוכללים למחצה כוללים: 
* חמישה ה[[פאון אפלטוני|פאונים המשוכללים]]: ה[[עשרימון]] שתבנית הקודקודים שלו (3,3,3,3,3) (כלומר: חמישה משולשים נפגשים בכל קודקוד); ה[[תמניון]], בעל התבנית (3,3,3,3) (ארבעה משולשים בכל קודקוד); ה[[ארבעון]] (3,3,3); ה[[קובייה]] (4,4,4); וה[[תריסרון]] (5,5,5). 
* משפחת ה[[מנסרה משוכללת|מנסרות המשוכללות]], בעלות החתימה <math>\ (4,4,n)</math>; משפחה זו כוללת את הקוביה (n=4).
* משפחת ה[[אנטי-מנסרה משוכללת|אנטי-מנסרות המשוכללות]], בעלות החתימה <math>\ (3,3,3,n)</math>; משפחה זו כוללת את התמניון (n=3). 
* שלושה-עשר ה[[פאון ארכימדי|פאונים הארכימדיים]] (ראו שם לפירוט): 
[[קובייה מסותתת]] (3,3,3,3,4);
[[דודקהדרון מסותת]] (3,3,3,3,5);
[[קובוקטהדרון]] (3,3,4,4);
[[איקוסידודקהדרון]] (3,3,5,5);
[[רומביקובוקטהדרון]] (3,4,4,4);
[[רומביאיקוסידודקהדרון]] (3,4,4,5);
[[טטרהדרון קטום]] (3,6,6);
[[קובייה קטומה]] (3,8,8);
[[דודקהדרון קטום]] (3,10,10);
[[אוקטהדרון קטום]] (4,6,6);
[[קובוקטהדרון קטום]] (4,6,8);
[[איקוסידודקהדרון קטום]] (4,6,10);
[[איקוסהדרון קטום]] (5,6,6).

==ראו גם==
* [[פאון משוכלל]]
* [[שמות פאונים]]

==קישורים חיצוניים==
* [http://eom.springer.de/s/s084300.htm Encyclopaedia of Mathematics: Semi-regular polyhedra, uniform polyhedra, Archimedean solids]
* {{MathWorld}}

{{מצולעים ופאונים}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:פאונים]]