הצגת המקור של הדף "פאי"

{{פירוש נוסף|נוכחי=קבוע המתמטי '''פַּאי'''}}
[[קובץ:Pi-unrolled slow.gif|270px|ממוזער|'''פַּאי''' (3.14159) <math>\pi</math> = [[היקף]] [[מעגל]] ש[[קוטר]]ו שווה 1 (ו[[רדיוס]]ו ½)]]
ב[[מתמטיקה]], '''<math>\pi</math>''' (ה[[אלפבית יווני|אות היוונית]] [[פאי (אות)|פִּי]]; בעברית מקובלת ההגייה '''פַּאי''', על דרך ה[[אנגלית]]) הוא [[מספר]] [[גודל חסר ממד|חסר ממד]] המייצג את ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] הקבוע (ב[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]]) בין [[היקף]] ה[[מעגל]] ל[[קוטר]]ו. <math>\pi</math> הוא [[קבוע מתמטי]] שמופיע בנוסחאות רבות במתמטיקה וב[[פיזיקה]]. כבר בזמן הקדום ניסו אנשים לקבוע את ערכו של היחס בין היקף המעגל לקוטרו. המתמטיקאי היווני [[אנטיפון (סופיסט)|אנטיפון]] הציע את השיטה לחישוב הערך בערך בשנת 430 לפנה"ס, ומאוחר יותר שכלל אותה [[ארכימדס]]. במהלך השנים נמצאו נוסחאות נוספות לחישובו.

<math>\pi</math> הוא [[מספר אי-רציונלי]] (ואף [[מספר טרנסצנדנטי]]), כלומר אינו ניתן לייצוג כיחס בין שני [[מספר שלם|מספרים שלמים]]. בשל כך, [[השיטה העשרונית|הייצוג העשרוני]] של <math>\pi</math> כולל [[אינסוף]] [[ספרה|ספרות]] אחרי [[שבר עשרוני|הנקודה העשרונית]], ללא [[שבר מחזורי|מחזוריות]] קבועה. 20 הספרות הראשונות אחרי הנקודה בייצוג העשרוני הן: <math>3.14159\ 26535\ 89793\ 23846</math> אך לצרכים מעשיים ניתן להסתפק בדיוק נמוך יותר, ומקובל להסתפק ב[[קירוב]] 3.14.{{סימון מתמטי}}

==מקור השם==
[[פאי (אות)|האות היוונית <math>\pi</math>]] משמשת כסמל שבו משתמשים לייצוג היחס בין היקף המעגל לקוטרו משום שזו האות הראשונה במילה היוונית "περίμετρος" (פרימטרוס) שמשמעותה היקף. השימוש המתועד הראשון של השימוש בסימון זה נמצא בספר "Synopsis Palmariorum Matheseos" (או "תצפית הישגי המתמטיקה") של ה[[מתמטיקאי]] ה[[ויילס|וולשי]] [[ויליאם ג'ונס (מתמטיקאי)|ויליאם ג'ונס]] מ-[[1706]]. בשימוש מתמטי, האות הקטנה <math>\pi</math> מובדלת מהאות הגדולה <math>\Pi</math>, שמשמשת לציון מכפלה.

==תכונות==
<math>\pi</math> הוא [[מספר אי-רציונלי]], כלומר אינו ניתן לכתיבה כ[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין שני [[מספר שלם|מספרים שלמים]]. תכונה זו [[הוכחה]] בשנת [[1761]] על ידי [[יוהאן היינריך למברט]]{{הערה|ראו הוכחות בערך [[:en:Proof that π is irrational|Proof that π is irrational]] בו[[ויקיפדיה האנגלית]]}}.

בשנת [[1882]] הוכיח [[פרדיננד לינדמן]] את [[משפט לינדמן-ויירשטראס]] ממנו נובע ישירות ש־<math>\pi</math> הוא [[מספר טרנסצנדנטי]]{{הערה|{{cite web|first=Steve|last=Mayer |url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20000929033317/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html |archive-date=2000-09-29 |title=The Transcendence of π|accessdate=4 November 2007}}}}. מהוכחה זו נובע ש־<math>\pi</math> אינו ניתן להצגה באמצעות שימוש במספר סופי של מספרים שלמים, [[שבר (מתמטיקה)|שברים]] או שורשים שלהם יחד עם [[ארבע פעולות החשבון]]. כתוצאה מהוכחה זו נובע שלא ניתן, באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה]], לבנות [[ריבוע]] ה[[שוויון (מתמטיקה)|שווה]] בשטחו לעיגול נתון – אחת [[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם|הבעיות הגאומטריות המפורסמות של ימי קדם]].

==חישוב פאי==
[[חישוב]] ערך מדויק יותר ויותר של <math>\pi</math> היווה אתגר במשך מאות שנים.

[[קובץ:picalc.png|שמאל|ממוזער|באמצעות [[שיטת המיצוי]] של [[ארכימדס]] ניתן לחשב את ערכו של <math>\pi</math> בכל רמת דיוק רצויה, באמצעות [[מצולע משוכלל|מצולעים משוכללים]] החוסמים ונחסמים על ידי מעגל. בתמונה מוצג מעגל שבתוכו חסום משושה משוכלל, והוא חסום במשושה משוכלל אחר]]
קירובים ל-<math>\pi</math> היו ידועים עוד ב[[בבל]] וב[[מצרים העתיקה]], אך [[ארכימדס]] הציג לראשונה שיטה המאפשרת לחשב את <math>\pi</math> בכל רמת דיוק שתידרש ([[שיטת המיצוי]]). השיטה מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של [[מצולע]] [[מעגל חסום|החוסם את המעגל]] וגדול מהיקפו של מצולע [[מעגל חוסם|החסום במעגל]]. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות נשיג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של <math>\pi</math>. ארכימדס הפעיל את שיטתו על [[משושה]], ובהדרגה הכפיל את מספר הצלעות (תוך שימוש ב[[מצולע משוכלל|מצולעים משוכללים]]). מצולע בן 96 צלעות הביא את ארכימדס לתוצאה הבאה{{הערה|תוכנה להמחשה מיידית של שיטתו של ארכימדס מופיעה באתר [http://www.math.utah.edu/~alfeld/Archimedes/Archimedes.html Archimedes and the Computation of Pi]}} (המופיעה בספר [[על המדידה של המעגל]]):

<math>3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}</math>

בתחילת [[המאה ה-15]] חישב [[ג'אמשיד אל-קאשי]], מתמטיקאי ואסטרונום [[פרסים|פרסי]], את <math>2\pi</math> בדיוק של 9 ספרות ב[[בסיס סקסגסימלי]], דיוק השקול ל־16 ספרות ב[[בסיס עשרוני]].

המתמטיקאי ההולנדי אדריאן אנטוניזון השיג במאה ה־16 דיוק בן שש ספרות אחרי הנקודה. הוא הציג את <math>\pi</math> באמצעות השבר <math>\frac{355}{113}</math>.

בשנת [[1596]] השתמש המתמטיקאי ההולנדי [[לודולף ואן צאולן]] בשיטתו של ארכימדס, וחישב את <math>\pi</math> בדיוק של 20 ספרות, וכעבור שנים אחדות הגיע לדיוק של 35 ספרות. הוא היה כל כך גאה בהישג זה, עד שציווה לכתוב ספרות אלה על מצבתו. גם המתמטיקאים הגרמנים התרשמו מאוד מהישג זה, וקראו ל־<math>\pi</math> בשם '''מספר לודולף'''.

התפתחות ה[[חשבון אינפיניטסימלי|חשבון האינפיניטסימלי]] ב[[המאה ה-17|מאה ה־17]] הביאה שיטות חדשות לחישובו של <math>\pi</math>. שיטות אלו מתבססות על ייצוגו של <math>\pi</math> כסכום של [[טור (מתמטיקה)|טור]] אינסופי.

טכניקה לא שגרתית לחישובו של <math>\pi</math> היא "[[שיטת מונטה קרלו|שיטת מונטה־קרלו]]": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר [[מעגל חסום]] בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס, בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע, שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא <math>\pi / 4</math>.

הדוגמה הראשונה לרעיון זה היא שיטת [[המחט של בופון]]: כאשר מטילים מחט על משטח שמצוירים עליו קווים [[ישרים מקבילים]] שהמרחק ביניהם שווה לאורך המחט, הסיכוי שהמחט תגע בקווים שווה ל־<math>2/\pi</math>. ב־1777 ז'ורז' לואי לה קלרק, [[הרוזן בופון]], ביצע את הניסוי כדי להעריך את ערכו של <math>\pi</math>. הניסוי עורר את עניינם של המתמטיקאים בני התקופה, והביא לדיון ער בהבנת מושג ה[[הסתברות]].

בשנת [[1789]] חישב המתמטיקאי הסלובני יורי וגה (Jurij Vega) את 140 הספרות הראשונות של <math>\pi</math> (רק 127 מתוכן היו נכונות){{הערה|[https://web.archive.org/web/20120204040635/http://www.southernct.edu/~sandifer/Ed/History/Preprints/Talks/Jurij%20Vega/Vega%20math%20script.pdf המאמר עם הערות אודות חשיבותו]}}.

המתמטיקאי ההודי [[סריניוואסה רמנוג'ן|רמנוג'ן]] מצא נוסחאות רבות לפאי הנובעות מחישוב ערכים של [[פונקציה מודולרית|פונקציות מודולריות]], כגון <math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!}{n!^4} \frac{26390n+1103}{396^{4n}}</math>, שהקירוב שהיא נותנת משתפר בכשמונה ספרות עשרוניות עם כל מחובר{{הערה|כיוון=שמאל|Borwein and Borwein, [http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf Pi and the AGM], formula (5.5.23)}}.

השתכללות ה[[מחשב]]ים ומציאת [[אלגוריתם|אלגוריתמים]] יעילים יותר לחישובו של <math>\pi</math> מאפשרים דיוק של מספר רב של ספרות. האלגוריתם המוביל הוא [[אלגוריתם צ'ודנובסקי]]. [[סיבוכיות]] האלגוריתם כדי לחשב <math>n</math> ספרות היא <math>O(n \log^3 n)</math>. בנוסף נעזרים לבדיקת התוצאות באלגוריתמים המאפשרים חישוב ספרה מסוימת ללא צורך בפיתוח כל הספרות (נוסחת BBP{{הערה|[http://mathworld.wolfram.com/BBPFormula.html BBP Formula ]|כיוון=שמאל}}). השיא העולמי בחישוב הספרות של <math>\pi</math> היה במרץ 2019 היה למעלה מ-<math>31.4 \times 10^{12}</math> ספרות. באוגוסט 2021 חושבו למעלה מ-<math>62.8 \times 10^{12}</math> ספרות{{הערה|{{ynet|ynet|פאי ושיא: 62,831,853,071,796 ספרות אחרי הנקודה|59879470|18 באוגוסט 2021}}}}. תוצאות כאלו מפגינות את יעילותם של האלגוריתמים ושל מערכות המחשוב.

==קירובים של פאי==
[[קירוב]] מקובל של <math>\pi</math> כ[[שבר (מתמטיקה)#שבר עשרוני|מספר עשרוני]] הוא 3.14. צורת [[שבר (מתמטיקה)|שבר]] פשוטה המקרבת את <math>\pi</math>, היא <math>\frac{22}{7}</math> או <math>3\frac{1}{7}</math>. קירובים אלה מתלכדים עם ערכו האמיתי של <math>\pi</math> בדיוק של שתי ספרות בלבד מימין לנקודה.

ההצגה של <math>\pi</math> כ[[שבר משולב]] פותחת ב־<math>\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots]</math>.

הצגה זו מספקת סדרה של קירובים, שהראשון מביניהם הוא הערך השלם 3, ואחריו באים:

<math>\frac{22}{7},\frac{333}{106},\frac{355}{113},\frac{104348}{33215},\frac{1043835}{332263},...</math>

(כדרכם של שברים משולבים, אלו קירובים אופטימליים, במובן הבא: מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 7, הקרוב ביותר ל-<math>\pi</math> הוא <math>\frac{22}{7}</math>; מבין כל השברים בעלי מכנה שאינו עולה על 106, הקרוב ביותר ל-<math>\pi</math> הוא <math>\frac{333}{106}</math>; וכן הלאה.)

[[רמנוג'אן]] הציע קירוב מסוג אחר ל-<math>\pi</math>:{{כ}} <math>\ \sqrt[4]{9^2+\frac{19^2}{22}}</math>. קירוב זה סוטה מערכו האמיתי של <math>\pi</math> רק בספרה התשיעית מימין לנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא <math>\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>, השווה בערך ל-3.146. קירוב זה סוטה מערך <math>\pi</math> רק בספרה השלישית אחרי הנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא <math>\sqrt{10} - \frac{1}{49}</math> השווה בערך ל-3.1418. קירוב זה סוטה מערך <math>\pi</math> רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

קירוב נוסף הוא <math>\sqrt[3]{31}</math>, השווה בערך ל-3.1413. קירוב זה סוטה מערך <math>\pi</math> רק בספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

==נוסחאות הקשורות בפאי== <!-- אין להציג את פאי באמצעות תגית <math> באמצע כותרות מסיבה טכנית (הטקסט המתמטי לא יופיע בתוכן העניינים) -->
<math>\pi</math> מופיע בנוסחאות מתמטיות רבות. ניתן לצפות שיופיע בנוסחאות הקשורות לשטחי ונפחי צורות מעגליות, שכן הוא מוגדר באמצעות מעגל, אך לעיתים הוא מתגלה גם בתחומים שלכאורה אין בינם ובין גאומטריה או מעגלים קשר ישיר.

===גאומטריה===
{| border="0" cellspacing="3" cellpadding="3"
!
!
|-
|[[היקף]] [[מעגל]]
|<math>C = 2 \pi r \,\!</math>
|-
|[[שטח]] [[עיגול]]
|<math>A = \pi r^2 \,\!</math>
|-
|שטח [[אליפסה]]
|<math>A = \pi a b \,\!</math>
|-
|[[נפח]] [[כדור (גאומטריה)|כדור]]
|<math>V = \frac{4\pi r^3}{3} \,\!</math>
|-
|[[שטח פנים]] של כדור
|<math>A = 4 \pi r^2 \,\!</math>
|-
|נפח [[גליל (גאומטריה)|גליל]]
|<math>V = \pi r^2 h \,\!</math>
|-
|שטח פנים של גליל
|<math>A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!</math>
|-
|נפח [[חרוט]]
|<math>V = \frac{\pi r^2 h}{3} \,\!</math>
|-
|שטח פנים של חרוט
|<math>A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!</math>
|}

===אנליזה מתמטית===
* [[המכפלה האינסופית של ויאטה|נוסחה של פרנסואה וייט]], [[1593]]:
: <math>\frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots</math>
* [[נוסחת לייבניץ ל-π|נוסחת גרגורי-לייבניץ]], הקרויה על שם [[ג'יימס גרגורי]] (1638–1675) ו[[גוטפריד וילהלם לייבניץ|וילהלם לייבניץ]]. את הנוסחה גילה גרגורי ב־[[1672]]. היא מופיעה גם בספר Ganita-Yukti-Bhasa שכתב המתמטיקאי ההודי Jyesthadeva במחצית המאה ה־16, והמציג מחקרים שנערכו במרכז המחקר Madhava ב[[קרלה]] שבהודו. הנוסחה קובעת כי
: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>
: כלומר:
: <math>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \left (\frac{1}{2n-1}\right ) = \frac{\pi}{4}</math>
: (בהקשר רחב יותר, זהו הערך <math>\ x=1</math> בפיתוח ל[[טור טיילור]] של <math>\ \arctan(x)</math>)
* [[מכפלת ואליס]]:
: <math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} </math>
* נוסחת ה[[אינטגרל]] של [[גאוסיאן]] ([[התפלגות נורמלית]]):
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>
* [[בעיית בזל]] נפתרה לראשונה על ידי [[לאונרד אוילר]] (ראו גם [[פונקציית זטא של רימן]]):
: <math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
: <math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>
* [[פונקציית גמא]] (המהווה הכללה של פונקציית ה[[עצרת (מתמטיקה)|עצרת]]) בנקודה 1/2:
: <math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
* [[נוסחת סטירלינג]] המשמשת לקירוב עצרת של מספרים גדולים:
: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
: (מוכיחים את הטענה על ידי פיתוח [[אסימפטוטה|אסימפטוטי]] של [[פונקציית גמא]])
* [[זהות אוילר]] המתבססת על [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] (שנקראה על ידי [[ריצ'רד פיינמן]] "הזהות המופלאה ביותר במתמטיקה", ומקשרת בין חמשת הקבועים המתמטיים הבסיסיים):
: <math>e^{\pi i} + 1 = 0\;</math>
* שטחו של רבע מעיגול היחידה:
: <math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\ dx = {\pi \over 4}</math>
* [[אינטגרל לא אמיתי]] נוסף:
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \pi</math>

הופעתו של פאי כערך של [[פונקציות טריגונומטריות]] מוליד ייצוגים שונים של המספר כטור אינסופי. למשל,
<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{18}{n^2\binom{2n}{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{8\cdot 2^n}{n^2\binom{2n}{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\cdot 4^n}{n^2\binom{2n}{n}} = \pi^2</math>.<ref>{{קישור כללי|כתובת=http://www.pi314.net/eng/hypergse11.php|כותרת=The world of Pi - Central binomial series|אתר=www.pi314.net|תאריך_וידוא=2024-04-01}}</ref>, הנובעים כולם מהפיתוח ל[[טור טיילור]] של <math>\arcsin^2(x)</math>.

===[[אנליזה מרוכבת]]===
* יישום של [[משפט השאריות]]:
: <math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i</math>

===פיזיקה===
[[קובץ:Surprising experiment array that gives the digits of PI.png|מערך ניסוי המניב את ספרות פיי. {{ש}}אנימציה של הניסוי וניתוח מתמטי בערוץ של היוטיובר {{אנג|3Blue1Brown}}: [[קובץ:YouTube full-color icon (2017).svg|17px|קישור=#בלו]]|ממוזער]]
ניתן לקבל את ערכו של <math>\pi</math> באמצעות מערך ניסוי שכולל משטח נטול [[חיכוך]], קיר ושתי מאסות שיחס המסות ביניהן הוא חזקה שלמה של 100, כשכל [[התנגשות אלסטית|התנגשויות אלסטיות]] לחלוטין. במערך הניסוי הגוף בעל המסה הקטנה ניצב במנוחה בין המסה הגדולה והקיר. המסה הגדולה מחליקה במהירות קבועה כלפי המסה הקטנה. בעת ההתנגשות (האלסטית לחלוטין) של הגוף המסיבי בגוף הפחות מסיבי נהדף האחרון כלפי הקיר, פוגע בו ומוחזר כלפי הגוף המסיבי, וחוזר חלילה עד שהגוף המסיבי מאבד את כל המהירות בכיוון הקיר ומתרחק במהירות שווה או גדולה למהירות הגוף הפחות-מסיבי הלאה מהקיר. מספר ההתנגשויות בין המסה קטנה לבין הקיר והגוף המסיבי נותן את ספרות <math>\pi</math>, וככל שהחזקה ב-100 בחזקת יחס המסות גבוהה יותר יתקבלו עוד ספרות של <math>\pi</math>{{הערה|כיוון=שמאל|[https://www.maths.tcd.ie/~lebed/Galperin.%20Playing%20pool%20with%20pi.pdf PLAYING POOL WITH π, G. GALPERINDepartment of Mathematics&ComputerSciences, Eastern Illinois University,]}}.
* זמן המחזור של [[מטוטלת מתמטית]] הוא <math>\mbox{Time} = 2 \pi \sqrt{\frac{\mbox{length}}{\mbox{gravity}} } </math>
* [[קבוע פלאנק]] h הוא [[קבוע פיזיקלי]] שהוצג על ידי [[מקס פלאנק]] ומאפיין את [[מכניקת הקוונטים|העולם הקוונטי]]. בפועל, מקובל יותר השימוש ב[[קבוע דיראק]] (קבוע פלאנק המצומצם) שמוגדר להיות <math>\hbar = \frac{h}{2\pi}</math> (מבוטא "h-באר").

===שברים משולבים===
אפשר להציג את <math>\pi</math> באמצעות [[שבר משולב|שברים משולבים]] רבים, בהם:

: <math>
{\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{6+\cfrac{13^2}{6+\cfrac{15^2}{6+\ddots}}}}}}}}}
</math>

: <math>
{\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\cfrac{5^2}{11+\cfrac{6^2}{13+\cfrac{7^2}{15+\ddots}}}}}}}}}
</math>

<math>\frac{4}{\pi}=1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}
{2+\cfrac{11^2}{2+\cfrac{13^2}{2+\cfrac{15^2}{2+\cfrac{17^2}{2+\ddots}}}}}}}}}</math>

===[[תורת המספרים]]===
בתורת המספרים יש קשר בין <math>\pi</math> לבין מספר תוצאות:
* [[מספרים זרים#ההסתברות ששני מספרים יהיו זרים|ההסתברות ששני מספרים אקראיים יהיו זרים]] זה לזה היא <math>\ 6/\pi^2</math>.
* ההסתברות שמספר אקראי יהיה ללא אף מחלק ריבועי היא <math>\ 6/\pi^2</math>.
* מספר הדרכים ה[[ממוצע]] שבהן ניתן לכתוב [[מספר טבעי]] כסכום של שני מספרים ריבועיים הוא <math>\ \pi/4</math>.

כאן אנו מניחים שההסתברות והממוצע נלקחים על קבוצת המספרים הטבעיים עד N, כאשר N שואף ל[[אינסוף]].

==בעיות פתוחות==
בחקר מאפייניו של <math>\pi</math> ישנן [[בעיה פתוחה במתמטיקה|בעיות פתוחות]] אחדות. הבולטת שבהן היא השאלה האם <math>\pi</math> הוא [[מספר נורמלי]] – [[מספר ממשי]] שהספרות שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי, כאשר לכל ספרה יש [[התפלגות אחידה בדידה|הסתברות שווה]] להופיע. הידע בסוגיה זו מצומצם ביותר, ובין השאר לא ידוע האם בייצוג העשרוני של <math>\pi</math> כל אחת מהספרות 0,…,9 מופיעה אינסוף פעמים. בשנת 2000 הראו [[דייוויד ביילי]] ו[[ריצ'רד קרנדל]] ששאלת הנורמליות של <math>\pi</math> ב[[בסיס בינארי]] שקולה ל[[השערה (מתמטיקה)|השערה]] ידועה ב[[תורת הכאוס]].

בעיה פתוחה נוספת היא השאלה האם הקבוצה <math>\,\{\pi,e\}</math> [[אי תלות אלגברית|תלויה אלגברית]] מעל [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]].
ב-[[1996]] הוכיח [[יורי נסטרנקו]] כי הקבוצה <math>\{\pi,e^{\pi},\Gamma(\tfrac{1}{4})\}</math> היא בלתי תלויה אלגברית מעל <math>\,\mathbb{Q}</math>.

==הצעות לסימון חלופי==
מתמטיקאים ומדענים שונים סברו שבמקום להשתמש ב- <math>\pi</math> כקבוע המעגל היסודי, יש להעדיף למטרה זו את <math>2\pi</math> כדי לפשט ביטויים מתמטיים ואת השימוש ב[[רדיאנים]]. המתמטיקאי הצרפתי ארמן לורן נהג לכתוב משוואות בהן <math>2\pi</math> משמש כסמל אחד. בשנת [[2001]] המתמטיקאי האמריקאי רוברט פלאיס הציע להשתמש בסימן <math>\pi\!\;\!\!\!\pi = 2\pi</math> לייצוג סיבוב אחד{{הערה|R. Palais, [http://www.math.utah.edu/%7Epalais/pi.pdf 2001: Pi is Wrong], "The Mathematical Intelligencer", Volume 23, Number 3, pp. 7–8|כיוון=שמאל}}. תחת זאת, בשנת [[2010]] הציע הפיזיקאי מייקל הארטל את האות היוונית [[τ|<math>\tau</math>]] (לציון Turn){{כ}}{{הערה|Michael Hartl, [http://tauday.com/tau-manifesto The Tau Manifesto], 28/6/2010|כיוון=שמאל}}. וראו גם סרטון של וי הארט בנושא{{הערה|Vi Hart, [http://www.youtube.com/watch?v=jG7vhMMXagQ 2011: Pi is (still) Wrong], YouTube|כיוון=שמאל}}.

==פאי בתרבות==
קיימים משפטים שונים המשתמשים כ[[מנמוניקה|עזרי זיכרון]] עבור ערכו של <math>\pi</math>, בכך שמספר האותיות בכל מילה שלהם שווה לספרה המתאימה של <math>\pi</math>, למשל זה של המדען האנגלי [[ג'יימס ג'ינס]]:
{{ציטוט|מירכאות=כן|אנגלית=כן
|מקור={{מימין לשמאל|[http://mathworld.wolfram.com/PiWordplay.html Pi Wordplay], באתר mathworld.wolfram.com}}
|תוכן=How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
}}

(מילולית: כמה אני רוצה משקה, אלכוהולי כמובן, אחרי ההרצאות המתישות על [[מכניקת קוונטים]]).

בעברית קיימים משפטים דומים כגון ""ילד א' וילד ב' מהחוג לביולוגיה הם תאומים שלמדו יחד דברים מעניינים בביולוגיה" (3.141592653589).

יש החוגגים את [[14 במרץ]] (שנרשם בצורת כתיבת התאריכים הנהוגה ב[[ארצות הברית]] כ־3.14) כ"'''[[יום פאי]]'''", ואחרים חוגגים ביום קירוב <math>\pi</math> ב-[[22 ביולי]] (מכיוון שתוצאת החילוק של 22 ב-7 היא בקירוב 3.1429, מעט קרובה יותר ל-<math>\pi</math> מאשר 3.14). מהדרי ה[[חג]] חוגגים אותו בדרך כלל בשעה 1:59 אחר הצהריים (3.14159).

ביום פאי בשנת [[2004]], קבע [[תסמונת סוואנט|הגאון האוטיסט]] [[דניאל טאמט]] שיא [[אירופי]] בדקלום המספר, כאשר דקלם אותו עד הספרה ה־22,514 שלו. [[שיא גינס]] בדקלום <math>\pi</math> שייך לרג'וויר מינה מהודו שב-[[21 במרץ]] [[2015]] דקלם ללא שגיאה 70,000 ספרות במשך 9 שעות ו-27 דקות{{הערה|[http://www.guinnessworldrecords.com/world-records/most-pi-places-memorised Most Pi places memorised], באתר [[ספר השיאים של גינס]]}}.

[[חמשיר]]ים אחדים חוברו לכבודו של <math>\pi</math>, להלן אחד מהם:
<poem>
{{ltr|
'Tis a favorite project of mine
A new value of pi to assign.
I would fix it at 3;
For it's simpler, you see,
Than 3 point 1 4 1 5 9 !
}}
</poem>

ב־[[1998]] הופק סרט בשם "[[פאי (סרט)|Pi]]", שגיבורו הוא [[מתמטיקאי]].

[[דונלד קנות]], [[מדען מחשב|מדען המחשב]] הנודע, ממספר את הגרסאות של תוכנת [[TeX]] כך שילכו ויתקרבו ל־<math>\pi</math>: גרסה 3, גרסה 3.1, גרסה 3.14 וכו'. הגרסה הנוכחית היא 3.14159265.

"'''נקודת פיינמן'''" הוא כינוי למקומות מספר 763 עד 768 בפיתוח העשרוני של <math>\pi</math>. כל המקומות האלו מכילים את הספרה 9. משערים ש-<math>\pi</math> הוא [[מספר נורמלי]] (דהיינו, הספרות בפיתוח העשרוני שלו מופיעות באופן אקראי כביכול), ואם כך אז הפיתוח העשרוני שלו כולל כל רצף ספרות סופי. עם זאת, מפתיע למצוא שש ספרות זהות רצופות בשלב כה מוקדם של הפיתוח. לשם השוואה, הרצף הדומה הבא, שישה מופעים רצופים של הספרה 8, מתחיל בספרה ה־222,299. השם "נקודת פיינמן" ניתן בעקבות משאלה של ה[[פיזיקה|פיזיקאי]] [[ריצ'רד פיינמן]], לזכור בעל־פה את הפיתוח העשרוני של <math>\pi</math> עד לשלב שבו יוכל לומר "תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, וכן הלאה", ובכך לרמוז באופן היתולי ש-<math>\pi</math> הוא [[מספר רציונלי]].
האזכור הראשון לרצף זה מופיע בספרו של [[דאגלס הופשטטר]] "Metamagical Themas" שם סיפר הופשטטר כי כ"נער משוגע בתיכון", כלשונו, שינן 380 ספרות בפיתוח העשרוני של <math>\pi</math> מתוך כוונה להגיע לרצף המופעים הרצופים של הספרה 9{{הערה|Douglas Hofstadter, [https://archive.org/stream/MetamagicalThemas/Metamagical%20Themas,%20Hofstadter_djvu.txt Metamagical Themas]|כיוון=שמאל}}.

הזמרת [[קייט בוש]] הוציאה שיר בשם "<math>\pi</math>" כחלק מהתקליט "אריאל". בשיר היא מונה את הספרות מהספרה הראשונה ועד הספרה ה־137, אך מדלגת על הספרות במקומות 79–100.

בספר הבדיוני "מגע" שכתב [[קרל סייגן]] מוזכרת עובדה בדויה שב[[בסיס ספירה|בסיס]] 11, הספרות של <math>\pi</math> (החל ממקום מרוחק מאד) מתארות מעגל גדול הנתפס כמסר מבורא העולם.

באוקטובר [[2014]] פורסם סרטון בערוץ [[יוטיוב]] "Numberphile"{{הערה|Brady Haran, [https://www.youtube.com/watch?v=0r3cEKZiLmg Mile of pi], Numberphile channel, YouTube website|כיוון=שמאל}} עם שבירת שיא העולם בהדפסת ספרותיו של <math>\pi</math> על נייר באורך 1,688 [[מטר]]ים (שקול בערך למייל אחד). כמות הספרות עמדה על 1,000,000 ספרות שהודפסו בעזרת 8 מיליליטר של [[דיו]] בלבד ושתי ספרות נוספות שנכתבו בעט.

ב-21 באוקטובר 2015 שארמה סורש קומאר דיקלם 70,030 ספרות של π ושבר שיא עולם{{הערה|{{קישור כללי|כותרת=On Pi Day, all hail the Pi master of Earth: Suresh Kumar Sharma|אתר=Futurism|כתובת=https://futurism.com/pi-day-celebrity|תאריך_וידוא=2023-03-08}} באתר: 'FUTURISM']}}.

==ערכי פאי במקורות יהודיים==
ב[[מקרא]] ב[[ספר מלכים]] א' ({{תנ"ך|מלכים א|ז|כג|ללא=ספר}}) (מתוארך למאה השישית לפנה"ס) יש התייחסות (לא מדויקת) להיקף המעגל, לפיה היחס הוא אחד לשלושה, {{ציטוטון|ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקוה ([[קרי וכתיב|קרי]]: וקו) שלושים באמה יסוב אותו סביב}}. ההסבר הרווח לאי-הדיוק הניכר הוא שדרכו של המקרא היא לעגל מספרים, כך שאין ללמוד מכך על תפיסת הערך המדויק של <math>\pi</math> בזמנם, או בהסבר שמדובר בקוטר חיצוני ובהיקף פנימי. בנוסף, יש המסבירים זאת בכך שכלי זה לא היה עיגול מושלם עקב העדר טכנולוגיה מתאימה לביצוע מדויק, כלומר [[ים הנחושת]] היה [[אליפסה|אליפטי]].{{מקור|נושא=מדעי הטבע}}

יש שציינו שהיחס בין הקבוע <math>\pi</math> ובין המספר 3 המובא בפסוק – יחס השווה בקירוב למספר 1.04719, נרמז ב[[קרי וכתיב]] של המילה שנכתבת '''קוה''' ונקראת '''קו'''; היחס בין ה[[גימטריה]] של המילה קוה (111) לשל המילה קו (106) הוא בקירוב 1.04716, שנותן תוצאה נכונה עד כדי ארבע ספרות אחר הנקודה. הדבר הנרמז כאן הוא שעל אף שלמעשה היה ראוי ל'''כתוב''' את המספר המלא של הקבוע <math>\pi</math>, לצורך נוחות ה'''קריאה''' נכתב רק העיגול של המספר. בנוסף, היו שניסו לתת פרשנויות אחרות{{הערה|דוד גרבר ו[[בועז צבאן]], [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/SucI.pdf סוכה עגולה], מגל י', תשנ"ד, עמ' 134-117{{ש}}בועז צבאן ודוד גרבר, [http://www.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/exactpi.pdf ערכים מדויקים של פאי במקורות היהדות]}}.

במשנה ב[[מסכת עירובין]] (פ"א מ"ה) נשנה הכלל: "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח", כלומר היקף המעגל הוא פי שלושה מהקוטר (3=<math>\pi</math>). כלל זה בא לידי ביטוי גם ב[[מסכת סוכה]] (דף ז'-ח') שם עוסקת הגמרא בממדיה של סוכה עגולה, ומביאה קירובים שונים להיקף המעגל ואורך האלכסון של ריבוע. גם ה[[תוספות]] במסכת סוכה (ח, א) מתייחסים אל <math>\pi</math> כשווה ל-3. באופן זה ב[[מסכת בבא בתרא]] (י"ג: – ט"ו.) מחושב היחס בין היקפו של האורך של ספר התורה לבין רוחבו, וגם שם הגמרא מתייחסת ל-<math>\pi</math> כשווה ל-3. מפרשים שונים עמדו על הפער בין ה-<math>\pi</math> כפי שהוא מנוסח בימינו, לבין שיעור חכמים, והסבירו כי דברי חכמים מכוונים להלכות מעשיות, ולכן הביאו מידת קירוב לשימוש האדם ביום יום - וכי לא הייתה כוונתם כלל לעסוק בדיוק החשבוני <ref>{{צ-מאמר|מחבר=מרדכי הלפרין|שם=סוכה העשויה ככבשן, דייני דקיסרי, רבי יוחנן ואמוראי בבל|כתב עת=[[המעין (כתב עת)|המעין]]|קישור=https://www.machonso.org/uploads/images/79(1).pdf}}</ref>

[[בעלי התוספות]], [[אברהם אבן עזרא|ראב"ע]] ו[[ראשונים]] נוספים מפנים ל[[ברייתא]] של מ"ט מידות שבה נמצא ערך מדויק יותר ל-<math>\pi</math>. בברייתא ההיא נאמר בין היתר "...לפי שאמרו בני ארץ, בעגולה שהסביבה (ההיקף) מחזקת שלוש פעמים ושביע בחוט (ביחס לקוטר)"{{הערה|{{צ-מאמר|מחבר = שמעון בולג|שם = הערות לסוגיית הערך המספרי של <math>\pi</math> בספרות התלמודית והפרשנית|כתב עת = 'הגיון' מחקרים בדרכי חשיבה של חז"ל|כרך = ג'|עמ = 92-102|שנת הוצאה = תשנ"ו|מו"ל = הוצאת אלומה, ירושלים}}}}. הרי שאף על פי שייתכן והיה ידוע ערך טוב יותר ל-<math>\pi</math>, לא ראו החכמים צורך להתייחס אליו מבחינה הלכתית.

ה[[משה בן מימון|רמב"ם]], בן [[המאה ה-12]], הביא, בפירושו למשנה, כי "צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להיקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו שייוודע. אבל אפשר לשערו בקירוב"{{הערה|[[פירוש המשנה לרמב"ם]], [[מסכת עירובין]], א, ה}}. בשפת ימינו ניתן להבין את דבריו של הרמב"ם כמשקפים את הטענה ש־<math>\pi</math> הוא מספר אי־רציונלי. דברים דומים נאמרו גם על ידי כמה מתמטיקאים מוסלמים קודמים לרמב"ם, כגון [[מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי|אל-חוואריזמי]] ו[[אל-בירוני]]{{הערה|{{קישור כללי|כותרת=Pi and Rambam|כתובת=https://www.rationalistjudaism.com/p/pi-and-rambam|שפה=en|תאריך_וידוא=2023-03-08|אתר=www.rationalistjudaism.com|הכותב=Natan Slifkin}}|כיוון=שמאל}}.

==ראו גם==
* [[הצעת חוק פאי]]
* [[יום פאי]]
* [[קבוע הפרבולה האוניברסלי]]
* [[e (קבוע מתמטי)]]
* [[טרנסצנדנטיות של פאי]]

==לקריאה נוספת==
{{ltr|
* Petr Beckmann, '''A History of Pi''', St. Martin's Press, 1976
* J.L. Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein, '''Pi: A Source Book''', [[הוצאת שפרינגר|Springer]], 2004
* J. Borwein and P. Borwein, 1987. '''Pi and the AGM''' (במיוחד פרק 11)
}}

'''על <math>\pi</math> במקורות היהדות'''
* הערך "היקף", ב'''[[אנציקלופדיה תלמודית]]''', כרך י.
* ראו במאמרים הבאים (מ[[כתב עת תורני|כתבי עת תורניים]]):
** {{צ-מאמר|צבי שפטלר|ה"פאי" החז"לי|[[תחומין]]|י"ט|שנת הוצאה=תשנ"ט|456-466|רמבי=990002337100705171}}
** {{צ-מאמר|בעז צבן|על היחס שבין היקף עיגול לקוטרו|[[סיני (כתב עת)|סיני]]|קי"ז|שנת הוצאה=כסלו-טבת תשנ"ו|קפו-קצא|רמבי=990001690960705171}}
** {{צ-מאמר|שמעון בולג|הערות לסוגיית הערך המספרי של pi בספרות התלמודית והפרשנית|[[הגיון (כתב עת)|הגיון]]|ג'|שנת הוצאה=תשנ"ו|92-102|רמבי=990001561450705171}}
** {{צ-מאמר|בעז צבן|כל שיש בהיקפו|[[הגיון (כתב עת)|הגיון]]|ג'|שנת הוצאה=תשנ"ו|103-131|רמבי=990001561460705171}}
** אביגדור אמיתי, [http://daf-yomi.com/BookFiles.aspx?type=1&id=369 תירוץ חדש לקושיה עתיקה בעניין יחס היקף המעגל אל רוחבו]
* רבי [[שמעון בן צמח דוראן]] (1361 − 1444), [[שו"ת]] תשב"ץ, חלק א' סימן קס"ה (מהדורת למברג, תרנ"א 1891, [http://www.hebrewbooks.org/pdfpager.aspx?req=1381&st=&pgnum=129 דפים ס"א − ס"ג]))
* [[ירון ידען]], [http://daatemet.org.il/articles/article.cfm?article_id=12&lang=he ידיעת חכמים בערך הפאי] באתר [[דעת אמת]], אדר א, תש"ס

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקישיתוף=Category:Pi|שם ויקישיתוף=פאי||ויקיטקסט=פאי|שם ויקיטקסט=פאי בדיוק של מיליון ספרות לאחר הנקודה|ויקימילון=פאי}}
* {{עושים היסטוריה|לא רציונלי (חוץ מבאינדיאנה): על פי, הקבוע המפורסם ביותר במדע|texts/ep34_the_most_famous_mathematical_constant_text/}}
* [https://stwww1.weizmann.ac.il/wp-content/uploads/2016/08/History-of-pi.pdf π והיקף המעגל], באתר מחלקה להוראת המדעים, [[מכון ויצמן למדע]]
* Jon McLoone, [http://blog.wolfram.com/2011/06/30/all-rational-approximations-of-pi-are-useless All Rational Approximations of Pi Are Useless], Wolfram Blog, 30 ביוני 2011
* [https://web.archive.org/web/20061013024650/http://uzweb.uz.ac.zw/science/maths/zimaths/pimnem.htm עזרי זיכרון של פאי] (עותק דף שמור מתוך [[ארכיון האינטרנט]])
* {{MathWorld}}
* {{הקלטה}} [https://web.archive.org/web/20190125183702/https://ilanabc.co.il/?page_id=843 פרק 44 – דבר היום: על דרך קירוב – כשפיי נרמז בתנ"ך] ב[[פודקאסט]] דברי הימים בהגשת אילן אבקסיס
* {{יוטיוב|5XbsuuAy9Kc|שם=אפסילון - חידת פאי}}, "פרויקט אפסילון", הטלוויזיה החינוכית
* {{OEIS|A000796|סדרת הספרות של פאי}}
* {{עוגן|בלו|{{יוטיוב|HEfHFsfGXjs|שם=The most unexpected answer to a counting puzzle}} של {{אנג|3Blue1Brown}} על הופעה מפתיעה של פאי בהתנגשות עצמים}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{מספרים אי-רציונליים}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פאי|*]]
[[קטגוריה:קבועים מתמטיים]]
[[קטגוריה:היסטוריה של המתמטיקה]]
[[קטגוריה:מספרים טרנסצנדנטיים]]
[[קטגוריה:מעגל]]
[[קטגוריה:יחסים]]
[[קטגוריה:ויקיפדיה - ערכים מומלצים לשעבר]]
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]