הצגת המקור של הדף "פולינום"

{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''פולינום''' (ב[[עברית]]: '''רב־איבר'''{{הערה|{{מילון אקדמיה|138|59116_1|רַב־אֵיבָר}}}}) במשתנה <math>\ x</math> הוא ביטוי מהצורה <math>\ a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n</math> כאשר <math>\ a_0,a_1,\dots,a_n</math> הם קבועים; למשל, <math>3x^2+7x-5</math>. באותו אופן אפשר להגדיר פולינום בכל משתנה אחר (<math>\ y^9-y</math> הוא פולינום במשתנה <math>y</math>), וגם פולינומים בכמה משתנים, כמו <math>\ x^3yz+xy^3z-2xy</math>.

פולינום שבו המקדמים הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] נקרא '''פולינום ממשי'''. באופן כללי יותר, המקדמים עשויים להיות איברים ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] (או [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]]) כלשהו <math>F</math>, ואז מדובר ב"פולינום מעל <math>F</math>".

המחוברים <math>\ a_kx^k</math> נקראים [[מונום|מונומים]]. במונום כזה, <math>k</math> היא ה'''[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]]''' או ה'''מעריך''', והקבוע <math>\ a_k</math> הוא ה'''[[מקדם (מתמטיקה)|מקדם]]'''. החזקה הגבוהה ביותר המופיעה בפולינום <math>p</math> היא ה'''[[מעלה של פולינום|מעלה]]''' (או '''דרגה''') של הפולינום, ומסמנים אותה ב־<math>\deg p(x)</math>. המחובר <math>\ a_0</math> נקרא '''המקדם החופשי''' ו־<math>\ a_n</math> נקרא '''המקדם המוביל''' של הפולינום. אם המקדם המוביל שווה ל־<math>1</math>, אז הפולינום נקרא '''פולינום מתוקן'''. לדוגמה, <math>\ 3x^2 + 5x + 12 </math> הוא פולינום ממעלה שנייה, שהמקדם המוביל שלו הוא <math>3</math>.

אם מקדמי הפולינום <math>\ p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math> שייכים לשדה <math>\ F</math>, אז הוא מגדיר '''[[פונקציה]] פולינומית''' <math>f \colon F\rightarrow F</math> באמצעות '''הצבה''': <math>\ p(b)=a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_1b+a_0</math>. למשל, אם <math>\ p(x) = x^2+4</math> אז <math>\ p(3) = 3^2+4 = 13</math>.

[[פונקציה]] מהצורה <math>f(x)=\frac{p_1(x)} {p_2(x)}</math>, כאשר <math>\ p_1(x), p_2(x)</math> הם פולינומים, נקראת {{עוגן|פונקציה רציונלית|'''[[פונקציה רציונלית]]'''.}}

פונקציה פולינומית אפשר לחשב במספר סופי של פעולות חיבור וכפל; משום כך יש לפולינומים (מעל ה[[שדה המספרים הממשיים|ממשיים]] או ה[[שדה המספרים המרוכבים|מרוכבים]]) תפקיד מרכזי ב[[תורת הקירובים]].

ניתן לרשום פולינום כסכום בצורה הבאה: <math>\sum_{i=0}^n a_ix^i</math>

==שורש של פולינום==
{{הפניה לערך מורחב|היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות}}
'''[[שורש (של פונקציה)|שורש]]''' (או '''אפס''') של פולינום <math>\ f(x)</math> הוא ערך <math>\ r</math> שעבורו מתקיים <math>\ f(r) = 0</math>. מציאת השורשים של פולינום היא מהבעיות העתיקות ביותר ב[[מתמטיקה]].

פולינום ממעלה שנייה, כלומר פולינום מהצורה <math>\ ax^2+bx+c</math> ידוע בשם '''פולינום ריבועי'''. שיטה לפתרון [[משוואה ריבועית]] הייתה ידועה ל[[יוון העתיקה|יוונים הקדמונים]], ואף קודם לכן לבבלים. רק ב[[המאה ה-16|מאה ה־16]] נמצאה שיטה לפתרון כללי של [[משוואה ממעלה שלישית]] ו[[משוואה ממעלה רביעית|רביעית]]: בשנת 1545 פרסם [[ג'ירולמו קרדאנו]] ספר שבו ייחס את השיטה לפתרון משוואה ממעלה שלישית ל[[ניקולו טרטליה|טרטליה]], ואת השיטה לפתרון [[משוואה ממעלה רביעית]] יחס לתלמידו (של קרדאנו), [[לודוביקו פרארי]]. בתחילת המאה ה־19 הוכיחו [[נילס הנריק אבל]] ו[[אווריסט גלואה]] שאין נוסחה כללית לשורש של פולינום שמעלתו גדולה מ־4, באמצעות פעולות ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] (חיבור, [[חיסור]], כפל וחילוק) וחישוב [[פתרון על ידי רדיקלים|רדיקלים]] (כלומר, [[שורש של מספר|הוצאת שורש]] מכל סדר).

לכל פולינום ממעלה אי זוגית עם מקדמים ממשיים יש שורש [[מספר ממשי|ממשי]], כפי שניתן לראות מיידית מ[[משפט ערך הביניים]]. לפולינומים ממעלה זוגית, כגון <math>x^2+1</math>, אין שורש ממשי, אך תמיד יש שורש [[מספר מרוכב|מרוכב]]. לפי [[המשפט היסודי של האלגברה]] לכל פולינום ממעלה <math>n</math> יש בדיוק <math>n</math> שורשים (לרבות חזרות) ב[[שדה המספרים המרוכבים]].

===פולינום במקדמים רציונליים===
כאשר המקדמים <math>a_i</math> של הפולינום הם [[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]], שורשיו נקראים [[מספר אלגברי|מספרים אלגברי]]ים. [[מספר טרנסצנדנטי]] (כמו [[פאי]]) הוא מספר כזה שאינו שורש של אף פולינום שמקדמיו רציונליים.

את הפתרונות הרציונליים של פולינום במקדמים שלמים אפשר למצוא באמצעות ה'''[[משפט (מתמטיקה)|משפט]]''' הבא: יהי <math> p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math> פולינום שכל מקדמיו שלמים. נניח ש <math>\frac{c}{d} \in \mathbb{Q}</math> מספר רציונלי שהוא שורש של הפולינום <math>p(x)</math>. אזי מתקיים: <math>c</math> מחלק את <math>a_0</math> ו־<math>d</math> מחלק את <math>a_n</math>.

המשפט מספק [[קבוצה סופית]] של פתרונות אפשריים, שאותם ניתן לבדוק בהצבה ישירה.

== חוג הפולינומים ==
{{ערך מורחב|חוג פולינומים}}
קבוצת כל הפולינומים מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> או חוג <math>R</math> נתון מהווה [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]], ומסומנת לרוב ב <math>\mathbb{F}[x]</math> או <math>\ R[x]</math> בהתאמה. מעל שדה, החוג מהווה [[חוג אוקלידי]]. נדון בקצת מתכונותיהן:

===ליניאריות===
* אם <math>\ x_0</math> שורש של פולינום <math>\ p</math> (כלומר, <math>p(x_0)=0</math>) אזי הוא שורש של הפולינום <math>q=\lambda p</math> לכל סקלר <math>\ \lambda</math>. כיוון ש־ <math>\ q(x)=\lambda p(x)=\lambda 0=0</math>.
* אם <math>\ x_0</math> הוא שורש של הפולינומים <math>\ p,q</math>, (כלומר, <math>p(x_0)=q(x_0)=0</math>) אזי הוא גם השורש של סכומם <math>\ p+q</math>, כיוון ש־<math>[q+p](x_0)=q(x_0)+p(x_0)=0+0=0</math>.

לכן, קבוצת כל הפולינומים ממעלה <math>\ n</math> אשר <math>\ x</math> הוא שורש שלהם מהווים [[מרחב וקטורי]] ביחס לפעולות חיבור וכפל בסקלר.

===אוקלידיות===
נתונים פולינום <math>\ p,q</math>, כך שמעלת <math>\ q</math> גדולה ממעלת <math>\ p</math>. אזי תמיד אפשר לרשום
: <math>\ q = s \cdot p + r</math>
כאשר <math>s</math> נקרא '''פולינום המנה''' ו־<math>r</math> נקרא '''פולינום ה[[שארית (חילוק)|שארית]]''' ומעלתו קטנה מהמעלה של <math>\ p</math>. פולינום המנה <math>\ s</math> ופולינום השארית <math>\ r</math> נקבעים ביחידות.
נאמר ש־<math>\ q</math>מתחלק ב־<math>\ p</math>[[אם ורק אם]] <math>r=0</math>. באמצעות [[חלוקת פולינומים|חילוק בשארית]] קל להיווכח ב[[המשפט הקטן של בזו|טענה חשובה]]: המספר <math>\ c</math> הוא שורש של הפולינום <math>\ p(x)</math> אם ורק אם הביטוי <math>(x - c)</math> מחלק את <math>p</math>.

לעיתים ניתן לקבוע אם פולינום שמקדמיו שלמים ניתן לפירוק כמכפלת שני פולינומים בעזרת [[קריטריון איזנשטיין]].

===שדה הפונקציות הרציונליות===
[[שדה שברים|שדה השברים]] הנוצר מהחוג <math>\mathbb{F}[x]</math> הוא קבוצת כל הפונקציות הרציונליות, המסומנת ב <math>\mathbb{F}(x)</math>. אלו כל הביטויים מהצורה <math>\frac{p(x)}{q(x)}</math>, כאשר <math>\ p, q \in \mathbb{F}[x]</math>.

== פולינומים במספר משתנים ==
ניתן להכליל את מושג הפולינום לפולינמים במספר משתנים. פולינום ב־2 משתנים <math>\ x, y</math>, לדוגמה, הוא ביטוי מהצורה <math>\sum_{m,n}a_{m,n}x^n\cdot y^m</math>. בצורה דומה ניתן להגדיר פולינום ב־<math>n</math> משתנים.

קבוצת כל הפולינומים ב־<math>n</math> משתנים מעל חוג היא עדיין חוג, אך עבור <math>n >1</math> זהו אינו [[חוג ראשי (מתמטיקה)|חוג ראשי]]. חוג הפולינומים באינסוף משתנים אינו [[חוג נותרי]].

תת־קבוצה חשובה של פולינומים במספר משתנים הם הפולינומים הסימטריים. פולינום <math>f(x_1, ..., x_n)</math> ב־<math>n</math> משתנים <math>x_1, \dots, x_n</math> נקרא סימטרי אם לכל [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] <math>\sigma \in S_n</math> מתקיים
: <math>f \left( x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, ..., x_{\sigma(n)} \right) = f \left( x_1, ..., x_n \right)</math>.
כל פולינום סימטרי ניתן להצגה כפולינום ב־<math>s_1, ..., s_n</math> כאשר <math>s_1, ..., s_n</math> הם [[הפולינומים הסימטריים האלמנטריים]] ב־<math>n</math> משתנים. לדוגמה, עבור <math>n = 3</math> הפולינומים הסימטריים האלמנטריים הם:
* <math>s_1 = x_1 + x_2 + x_3</math>
* <math>s_2 = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3</math>
* <math>s_3 = x_1 x_2 x_3</math>

== ראו גם ==
* [[מונום]]
* [[חילוק פולינומים]]
* [[פולינום אופייני]]
* [[פולינום לז'נדר]]
* [[פולינום טיילור]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקיספר=מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/טכניקות אלגבריות פשוטות/רבי איבר|שם ויקיספר=רב איבר|ויקימילון=פולינום}}
* {{MathWorld|Polynomial}}
* [https://www.mathway.com/Calculator/polynomial-division-calculator כלי לחילוק פולינומים]
* {{דוידסון|ד"ר ארז גרטי|מציג גרפים - פולינומים|tikshuv/math_and_comp/מציג-גרפים-פולינומים|5 בנובמבר 2011}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007563144505171|טבעות פולינומיות}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{עץ מיון של מרחבי פונקציות}}

{{בקרת זהויות}}
[[קטגוריה:פולינומים|*]]
[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:פונקציות מתמטיות]]