הצגת המקור של הדף "פולינום אופייני"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[אלגברה ליניארית]], מתאימים לכל [[מטריצה]] ריבועית [[פולינום]] שנקרא '''הפולינום האופייני''', והוא מקודד כמה תכונות חשובות של המטריצה.

אם <math>A</math> היא [[מטריצה ריבועית]] מסדר <math>n</math>, הפולינום האופייני שלה מוגדר כפולינום <math>p_A(\lambda) = \left| \lambda I - A \right| </math>, כאשר <math>I</math> היא [[מטריצת היחידה]] ו- <math>|\cdot|</math> מסמן את ה[[דטרמיננטה]]. זהו [[פולינום מתוקן]] שמעלתו שווה למספר הרכיבים שבמטריצה (הסדר שלה שסומן ב-<math>n</math>), ו[[שורש (של פונקציה)|שורשיו]] הם ה[[ערך עצמי|ערכים העצמיים]] שלה.

כשכותבים <math>p_A(\lambda) = \lambda^n + t_{n-1} \lambda^{n-1} + t_{n-2} \lambda^{n-2} + \dots + t_0</math>, המקדם החופשי של הפולינום האופייני הוא <math>t_0=(-1)^n|A|</math>, ואילו <math>t_{n-1}</math> שווה למינוס ה[[עקבה (אלגברה)|עקבה]] של <math>A</math>. בפרט הפולינום האופייני של מטריצה 2x2 הוא מהצורה <math>p_A(\lambda) = \lambda^2 - \operatorname{tr}(A) \cdot \lambda + \det(A)</math>. באופן כללי יותר, מקדמי הפולינום הם [[פונקציה סימטרית|פונקציות סימטריות]] של הערכים העצמיים.

השורשים של הפולינום האופייני הם הערכים העצמיים של <math>A</math>.

התכונה החשובה ביותר של הפולינום האופייני נתונה ב[[משפט קיילי-המילטון]], שלפיו <math>A</math> מאפסת את הפולינום האופייני שלה, כלומר <math>p_A(A) = A^n + t_{n-1} A^{n-1} + \dots + t_0 I = 0</math>. לכן ה[[פולינום מינימלי|פולינום המינימלי]] מחלק את הפולינום האופייני.

לשתי מטריצות [[דמיון מטריצות|דומות]] יש אותו פולינום אופייני, אם כי ההפך אינו תמיד נכון (אפילו מעל [[שדה סגור אלגברית]]).

== ראו גם ==
* [[מטריצה]]
* [[פולינום]]
* [[פולינום מינימלי]]
* [[ערך עצמי]]
* [[דמיון מטריצות]]
* [[צורת ז'ורדן]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
{{אלגברה ליניארית}}
[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]
[[קטגוריה:פולינומים]]