הצגת המקור של הדף "פולינום אי פריק"

ב[[אלגברה]], '''פולינום אי-פריק''' הוא [[פולינום]], בדרך-כלל מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], שלא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים שאינם קבועים (פולינום '''פריק''' הוא פולינום לא קבוע שניתן להציגו באופן כזה). לפולינומים אי-פריקים יש תפקיד מרכזי ב[[תורת גלואה]], וגם בבניה של [[שדה סופי|שדות סופיים]].

הפריקות תלויה לא רק במקדמי הפולינום, אלא גם בשדה שבו מדובר - ייתכן שפולינום יהיה אי-פריק מעל שדה מסוים, ויתפרק מעל [[הרחבה של שדות|שדה הרחבה]] שלו.

פולינומים אי-פריקים הם האיברים הראשוניים של [[חוג הפולינומים]] מעל השדה, שהוא [[חוג אוקלידי]]; בדיוק כפי שה[[מספר ראשוני|ראשוניים]] המוכרים הם האיברים הראשוניים של [[חוג המספרים השלמים]]. בשני המקרים, אפשר לפרק כל איבר של החוג למכפלה של איברים ראשוניים, באופן שהוא, מבחינה עקרונית, יחיד. האנלוגיה בין פולינומים (בעיקר מעל שדות סופיים) ובין מספרים שלמים מרחיקה לכת עד ליצירה של "[[תורת המספרים|תורת מספרים]]" של פולינומים, שבה משחקים הפולינומים האי-פריקים תפקיד מרכזי.

==שיטות לזיהוי אי פריקות==
פולינום ממעלה שנייה או שלישית הוא פריק אם ורק אם יש לו [[שורש (של פונקציה)|שורשים]], כלומר אם קיים איבר בשדה שמאפס אותו.

'''[[קריטריון איזנשטיין]]''' הוא קריטריון עבור אי פריקות של פולינום בעל מקדמים שלמים (ובעזרת שימוש במכנה משותף אפשר להשתמש בו גם עבור מקדמים רציונליים). הוא מנוסח כך:

יהא <math>\ a_nx^n+\dots+a_1x+a_0</math> פולינום במקדמים שלמים. אם קיים [[מספר ראשוני]]  <math>\ p</math> כך ש- <math>\ \forall i<n:p|a_i</math>
( <math>\ p</math> מחלק את כל המקדמים פרט לזה של החזקה הגבוהה ביותר)
וכמו כן מתקיים  <math>\ p\nmid a_n,p^2\nmid a_0</math> (כלומר,  <math>\ p</math> לא מחלק את המקדם של החזקה הגבוהה ביותר, וריבועו לא מחלק את המקדם החופשי) אז הפולינום הוא אי פריק מעל המספרים השלמים.

מן [[הלמה של גאוס (פולינומים)|הלמה של גאוס]] נובע שאם פולינום מוגדר מעל [[תחום פריקות יחידה]] והוא [[פולינום פרימיטיבי|פרימיטיבי]] ואי-פריק שם, אז הוא אי-פריק גם מעל [[שדה שברים|שדה השברים]] של התחום.

==דוגמה==
נביט בשלושת הפולינומים הבאים:
# <math>\ p_1(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)</math>.
# <math>\ p_2(x)=x^2-2=(x-\sqrt 2 )(x+\sqrt 2 )</math>.
# <math>\ p_3(x)=x^2+1=(x-i)(x+i)</math>.

מעל [[שדה המספרים הרציונליים]] <math>\mathbb{Q}</math> רק הפולינום הראשון הוא פריק. שני האחרים אי-פריקים שכן שורש שתיים והמספר המדומה i אינם שייכים לשדה.

מעל [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\mathbb{R}</math> הפולינומים הראשון והשני פריקים, והשלישי לא.

מעל [[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\mathbb{C}</math> שלושת הפולינומים פריקים. דבר זה אינו מקרי: [[המשפט היסודי של האלגברה]] מראה כי כל פולינום ממעלה גדולה מ-1 הוא פריק מעל שדה המרוכבים.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:פולינומים|אי פריק]]