הצגת המקור של הדף "פולינום מינימלי"

ב[[אלגברה מופשטת]], '''פולינום מינימלי''' של איבר ב[[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] הוא ה[[פולינום]] בעל המעלה הקטנה ביותר שאם נציב בו את האיבר נקבל אפס. איבר שיש לו פולינום כזה נקרא [[איבר אלגברי]], ואיבר שאינו מאפס אף פולינום נקרא "איבר טרנסצנדנטי".

לדוגמה הפולינום המינימלי של <math>\sqrt[3]2</math> (מעל [[שדה המספרים הרציונליים]]) הוא <math>x^3-2</math> כי <math>(\sqrt[3]2)^3-2=0</math> ואין פולינום ממעלה שנייה או ראשונה עם מקדמים רציונליים שמתאפס על <math>\sqrt[3]2</math>. הפולינום המינימלי של ה[[מטריצה ריבועית|מטריצה הריבועית]] <math>A=\left(\begin{array}{cc}3 & 4 \\1 & -1\end{array}\right)</math> הוא <math>x^2 - 2x - 7</math>, משום ש- <math>A^2 - 2A - 7 I = 0</math> (כאשר <math>\ I</math>היא [[מטריצת היחידה]] מסדר 2), ואין פולינום ממעלה ראשונה המאפס את המטריצה <math>A</math>.

== הגדרה כללית ==

אם <math>R</math> הוא [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] ([[אסוציאטיביות|אסוציאטיבי]], או אפילו [[אלגברה בעלת חזקה אסוציאטיבית|בעל חזקה אסוציאטיבית]]) מעל חוג <math>S</math>, אז בכל [[פולינום]] <math>f(x) \in S[x]</math> אפשר להציב איברים של <math>R</math> באופן הבא: 

אם <math>f(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0</math>, 

אז <math>f(a) = a_n a^n + \cdots + a_1 a + a_0</math>.

פולינום מינימלי של <math>a\in R</math> מעל <math>S</math> הוא פולינום <math>f</math> בעל מעלה קטנה ביותר כך ש- <math>f(a) = 0</math> (בתנאי שיש פולינום כזה). אם <math>S</math> הוא [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], מקובל להניח שהפולינום [[פולינום מתוקן|מתוקן]], וניתן להוכיח שקיים פולינום מינימלי יחיד ל-<math>a</math> שכזה. מאידך, במקרה הכללי (למשל, אם <math>S</math> הוא [[חוג המספרים השלמים]]), ייתכן שלא יהיה קיים פולינום מינימלי מתוקן. בכל זאת, אם <math>S</math> הוא [[תחום פריקות יחידה]], קיים פולינום מינימלי יחיד ל-<math>a</math> שהוא גם פרימיטיבי, כלומר כך שהמקדמים שלו זרים במידה גלובלית.     

על-מנת לאפיין את הפולינום, יש לציין את חוג הבסיס או השדה שמעליו האלגברה מוגדרת: זהו החוג שממנו מותר לבחור את מקדמי הפולינום. לדוגמה, הפולינום המינימלי של ה[[מספר מרוכב|מספר המרוכב]] <math>a=\sqrt{2}+\sqrt{-1}</math> מעל ל[[שדה המספרים הממשיים]] הוא <math>x^2 - 2\sqrt{2} x + 3</math>, אבל הפולינום המינימלי מעל [[שדה המספרים הרציונליים]] הוא <math>x^4-2x^2+9</math>, ומעל [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]] הוא פשוט הפולינום הליניארי: <math>x - (\sqrt{2}+\sqrt{-1})</math>.

== פולינום מינימלי באלגברה ליניארית ==

לפי [[משפט קיילי-המילטון]], הפולינום המינימלי של מטריצה ריבועית מחלק את [[פולינום אופייני|הפולינום האופייני]] שלה. ידוע גם שלשני הפולינומים יש בדיוק אותם גורמים אי-פריקים. לפולינום המינימלי חשיבות מרכזית כאשר מבקשים להעביר את המטריצה ל[[הצורה הרציונלית קנונית|צורה רציונלית קנונית]] או [[צורת ז'ורדן]]. ה[[ריבוי אלגברי|ריבוי]] של [[שורש (של פונקציה)|שורש]] מסוים של הפולינום המינימלי הוא הגודל של [[צורת ז'ורדן|בלוק ז'ורדן]] הגדול ביותר שמתאים לו. 

== פולינום מינימלי של איברים בתחום שלמות שהוא גם אלגברה מעל שדה ==

אם <math>A</math> הוא [[תחום שלמות]] המהווה אלגברה מעל שדה <math>F</math> (ובפרט, אם <math>A</math> הוא [[הרחבת שדות|שדה המכיל את F]]), אז הפולינום המינימלי <math>f</math> של איבר <math>a</math> הוא אי-פריק (כלומר, לא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים), והוא מינימלי גם לגבי יחס החלוקה, במובן הבא: אם <math>h(a)=0</math>, אז <math>f</math> מחלק את <math>h</math>. יתרה מזו, תת-החוג <math>F[a]</math> מהווה תת-שדה של <math>A</math>, שממדו מעל <math>F</math> שווה למעלה של <math>f</math>.

== פולינום מינימלי של איבר בתחום פריקות יחידה ==

אם <math>A</math> הוא [[תחום פריקות יחידה]], ו-<math>a</math> הוא אלגברי מעל שדה השברים של A, אז ל-<math>a</math> פולינום מינימלי יחיד <math>P</math> שהוא גם פרימיטיבי (ראה לעיל). בנוסף ניתן להוכיח שכל פולינום אחר שמאפס את <math>a</math> נחלק ב-<math>P</math>.{{הערה|זאת אחת המסקנות הסמויות של משפט Lang על יריועות אלגבריות מעל חוגים. ראו הוכחה ישירה ב- M. Bensimhoun, <small>On the possibility to define the minimal polynomial of an algebraic element over a U.F.D</small>}}

מסקנה פשוטה היא זו: אם <math>\varphi:A\to \bar A</math> הומומורפיזם של חוגים, אם <math>\bar P </math> מסמן תמונתו של <math>P</math> ב- <math>\bar A</math>, ו-<math>\bar a</math> הוא שורש של <math>\bar P</math> בהרחבה אלגברית של שדה השברים של <math>\bar A</math>, אז ניתן להרחיב את <math>\varphi</math> להומומרפיזם <math>A[a]\to \bar A[\bar a]</math> על ידי <math>a\mapsto \bar a</math>. מסקנה אחרת היא שכל תחום פריקות יחידה סגור בשלמות.

== הפולינום הגנרי ==

הפולינום המינימלי מאפשר להגדיר אינווראנטים חשובים של אלגברות מממד סופי. תהי <math>A</math> [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] (אסוציאטיבית, או לכל הפחות [[אלגברה לא אסוציאטיבית]] שהיא [[אלגברה בעלת חזקות אסוציאטיביות|בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט]]), מממד סופי מעל שדה <math>F</math>. נבחר [[בסיס (אלגברה ליניארית)|בסיס]] <math>b_1,\dots,b_n</math>, ונתבונן באיבר <math>X = x_1 b_1 + \cdots +x_n b_n</math> של האלגברה <math>A \otimes_F F(x_1,\dots,x_n)</math> המתקבלת מ[[הרחבת סקלרים]] מ-<math>F</math> לשדה הפונקציות <math>F(x_1,\dots,x_n)</math>. במקרה כזה, קיים פולינום מינימלי מתוקן <math>P</math> המאפס את <math>X</math>, והוא נקרא '''הפולינום המינימלי הגנרי''' של <math>A</math>. המעלה <math>m</math> של <math>P</math> נקראת גם ה[[דרגה (אלגברה)|דרגה]] של <math>A</math>.

אם כותבים <math>P(\lambda) = \lambda^m - s_1(x_1,\dots,x_n) \lambda^{m-1} + \cdots + (-1)^m s_m(x_1,\dots,x_n)</math>, אז המקדמים <math>s_i(x_1,\dots,x_n)</math> הם פולינומים הומוגניים במשתנים <math>x_1,\dots,x_n</math>. 

על ידי הצבה אפשר לחשב מ-<math>P</math> פולינום המאפס כל איבר נתון של האלגברה (אם כי זה אינו בהכרח פולינום מינימלי). המקדם <math>s_1</math>, המקיים את תנאי האדיטיביות <math>s_1(a+b)=s_1(a)+s_1(b)</math>, נקרא '''העקבה הגנרית''' (ראו [[עקבה (אלגברה)|עקבה]]), והמקדם האחרון <math>s_m</math> הוא '''הנורמה הגנרית''' (ראו [[נורמה (אלגברה)|נורמה]]). 

לדוגמה, עבור אלגברת המטריצות <math>M_m(F)</math>, העקבה הגנרית מתלכדת עם העקבה הרגילה, והנורמה הגנרית מתלכדת עם ה[[דטרמיננטה]]. בין השימושים הרבים של הפונקציות הללו אפשר למנות את העובדה הבאה: נניח ש-<math>s_1([a,b])=0</math> ו- <math>s_1((a,b,c))=0</math> (כאשר <math>[\cdot,\cdot]</math> ו- <math>(\cdot,\cdot,\cdot)</math> הם ה[[קומוטטור]] וה[[אסוציאטור]], בהתאמה; הנחות אלה מתקיימות ממילא בכל אלגברה אסוציאטיבית). אם <math>s_1</math> אינה מנוונת (במובן הבא: אם <math>s_1(ab)=0</math> לכל <math>b</math>, אז <math>a=0</math>), אז <math>A</math> [[אלגברה ספרבילית|ספרבילית]].

== ראו גם ==

* [[מטריצה]]
* [[פולינום אופייני]]
* [[ערך עצמי]]
* [[דמיון מטריצות]]
* [[צורת ז'ורדן]]
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld|MatrixMinimalPolynomial|Matrix Minimal Polynomial}}
* {{MathWorld|AlgebraicNumberMinimalPolynomial|Algebraic Number Minimal Polynomial}}
* {{MathWorld|ExtensionFieldMinimalPolynomial|Extension Field Minimal Polynomial}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}


{{אלגברה ליניארית}}

[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]
[[קטגוריה:פולינומים|מינימלי]]