הצגת המקור של הדף "פולינומי הרמיט"

'''פולינומי הרמיט''', על שמו של ה[[מתמטיקאי]] [[שארל הרמיט]], הם [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] (אינסופית) של [[פולינום|פולינומים]] [[אורתוגונליות|אורתוגונליים]] רציפים המשמש בעיקר ב[[פיזיקה]] (פתרון ל[[אוסצילטור הרמוני קוונטי]] ופתרון [[משוואת הגלים]] עבור אלומת [[לייזר]]) וב[[קומבינטוריקה]].
 
מבחינה מתמטית, הפולינומים הם פתרונות ל[[משוואה דיפרנציאלית|משוואה הדיפרנציאלית]] <math>\ {d^2y \over dx^2}-2x{dy \over dx}+2ny=0  </math> עבור תחום ההגדרה <math>\ -\infty\leq x \leq\infty </math>,
והם מוגדרים באופן הבא:
<math>\ H_n(x)={(-1)^n}{e^{x^2}}{d^n \over dx^n}{e^{-x^2}} </math>

לכאורה [[פונקציית בסל]] מהווה פתרון למשוואות מסוג זה, אולם יש לשים לב כי המקדם <math>\ (bc)^2 </math> בהגדרתה שווה למספר שלילי.

[[תמונה:Hermite_poly.svg|ממוזער|שמאל|400px|חמשת פולינומי הרמיט הראשונים]]
שבעת פולינומי הרמיט הראשונים:

:<math>H_0(x)=1\,</math>
:<math>H_1(x)=2x\,</math>
:<math>H_2(x)=4x^2-2\,</math>
:<math>H_3(x)=8x^3-12x\,</math>
:<math>H_4(x)=16x^4-48x^2+12\,</math>
:<math>H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\,</math>
:<math>H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\,</math>

==תכונות ומאפיינים==
===אורתוגונליות===
קל לראות כי ניתן להציג את המשוואה הדיפרנציאלית שלעיל כ[[אופרטור שטורם-ליוביל]]: <math>\ {d \over dx} [e^{-x^2}{dy \over dx}]={e^{-x^2}}2ny </math>, ולכן על פי [[תורת שטורם ליוביל]] פולינומי הרמיט הם מערכת [[אורתוגונליות| אורתוגונלית]]:
<math>\int\limits_{ - \infty }^\infty {H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx}= \delta_{n,m}(x) A_n  </math>
כאשר <math>\ A_n </math> נתון על ידי <math>\ A_n=\int\limits_{ - \infty }^\infty {H_n^2(x)e^{-x^2}dx}=\sqrt {\pi} 2^n n!  </math>

בשל תכונת האורתוגונליות של הפולינומים, ניתן לפתח כל פונקציה ל[[טור פונקציות]] על בסיסו:

<math>\ f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty{C_n H_n(x)}  </math>

כאשר את המקדם <math>\ C_n </math> ניתן לחשב על ידי <math>\ C_n=\int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x) H_n(x)e^{-x^2}dx} </math>

===פונקציה יוצרת===
[[פונקציה יוצרת|הפונקציה היוצרת]], דהיינו פונקציה של שני משתנים ממנה ניתן ליצור את <math>\ H_n(x) </math> על ידי <math>\ n</math> גזירות היא

<math>\ \Phi(x,h)=e^{2xh-h^2}=\sum\limits_{n=0}^\infty{H_n(x){h^n\over{n!}}} </math> 

כאשר כדי ליצור פולינום הרמיט מסדר <math>\ n</math>, יש לגזור את הפונקציה היוצרת <math>\ n</math> פעמים ולהציב <math>\ h=0 </math>.

===יחסי רקורסיה===
ניתן להגדיר את פולינום הרמיט מסדר <math>\ n</math> באמצעות יחס ה[[רקורסיה]]:
<math>\ H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)</math>
===ביטוי מפורש===
ניתן להציג את הפולינום גם על ידי הביטוי המפורש הבא (בעזרת שימוש ב[[פונקציית הערך השלם]]):
:<math> H_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor \tfrac{n}{2} \rfloor} \frac{(-1)^m}{m!(n - 2m)!} (2x)^{n - 2m}  </math>
===הצגה אינטגרבילית===
הצגה אינטגרבילית של פולינום הרמיט:
<math>\ H_n(x)=\sqrt{2n\over \pi}\int\limits_{ - \infty }^\infty {(x+it)^n e^{-t^2}dt}  </math>

== שימושים ==

פולינומי הרמיט מופיעים ב[[אוסצילטור הרמוני קוונטי]] שם הפונקציות העצמיות הן
:<math> \left\langle x | \psi_n \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \hbox{exp}
\left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right) </math>
:כאשר n הוא [[מספר טבעי]] (כלומר 0, 1, 2, ...).

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld|HermitePolynomial}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פונקציות אורתוגונליות]]
[[קטגוריה:פולינומים|הרמיט]]