הצגת המקור של הדף "פולינומי לז'נדר"

ב[[מתמטיקה]], '''פולינומי לז׳נדר''' הם [[פולינום|פולינומים]] אורתוגונליים המהווים את סדרת הפתרונות ל'''משוואת לז׳נדר''':
<math display="block">{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0.</math>
הפולינומים נקראים על שם ה[[מתמטיקאי]] ה[[צרפת]]י [[אדריאן-מארי לז'נדר|אדריאן־מארי לז׳נדר]]. [[משוואה דיפרנציאלית רגילה|המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות]] הללו מופיעות באופן טבעי במגוון בעיות פיזיקליות, בפרט, בפתרון [[משוואת לפלס]] ב[[קואורדינטות כדוריות]].

למשוואה זו [[נקודה סינגולרית רגולרית|נקודות סינגולריות רגולריות]] (Regular Singular Point) ב־<math>x=\pm1</math>, והיא ניתנת לפתרון בשיטת [[טור חזקות]] ([[שיטת פרובניוס]]). הנירמול הסטנדרטי הוא: <math>\ P_n(1)=1</math>.

את הפולינום ה־<math>n</math> ניתן לחשב באמצעות '''נוסחת רודריגז''':
<math display="block">P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]. </math>

== פולינומי לז׳נדר הראשונים ==
להלן רשימת אחד עשר הפולינומים הראשונים (כלומר, עד n=10):

{| class="wikitable" align="center" style="background:white; text-align: center;"
| width="20%" | '''n'''
|<math>P_n(x)\,</math>
|-
| 0
| align="left" | <math>1\,</math>
|-
| 1
| align="left" | <math>x\,</math>
|-
| 2
| align="left" | <math>\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,</math>
|-
| 3
| align="left" | <math>\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,</math>
|-
| 4
| align="left" | <math>\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,</math>
|-
| 5
| align="left" | <math>\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,</math>
|-
| 6
| align="left" | <math>\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,</math>
|-
| 7
| align="left" | <math>\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,</math>
|-
| 8
| align="left" | <math>\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,</math>
|-
| 9
| align="left" | <math>\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,</math>
|-
| 10
| align="left" | <math>\begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,</math>
|}

להלן גרף של ששת הפולינומים הראשונים, בתחום 1>|x|.
[[תמונה:Legendre_poly.svg|700px|מרכז]]

==תכונות ומאפיינים==
===אורתוגונליות===

סדרות רבות של פונקציות המהוות פתרון למשוואה דיפרנציאלית מקיימות תנאי [[אורתוגונליות]] עבור [[מכפלה פנימית]] מסוימת ([[מרחב הילברט]]). לרוב, לכל [[סדרת פונקציות]] בנפרד יש מכפלה פנימית שונה שעבורה הסדרה אורתוגונלית. המכפלה הפנימית עבורה פולינומי לז׳נדר הם אורתוגונליים נתונה על ידי:
:<math>\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math>
כאשר <math>\ \delta</math> היא [[הדלתא של קרונקר]].

ניתן להגיע אל הפולינומים בעזרת [[תהליך גרם-שמידט|תהליך גרם־שמידט]] עבור חֲזקות שלמות של <math>\ x</math> לפי המכפלה הפנימית שהוגדרה.

===פונקציה יוצרת===
ה[[פונקציה יוצרת|פונקציה היוצרת]], של פולינומי לז׳נדר היא:
<math>\frac{1}{\sqrt{1 + \eta^{2} - 2\eta x}} = \sum_{k=0}^{\infty} \eta^{k} P_{k}(x)</math>. ניתן להשתמש בה לחישוב ערכים של פולינומי לז׳נדר.

לדוגמה, אם נציב <math>x=0</math> נקבל: <math>
\frac{1}{\sqrt{1 + \eta^{2}}} = \sum_{k=0}^{\infty} \eta^{k} P_{k}(0)
</math>, וזהו [[טור טיילור]] מוּכר שניתן לתיאור על ידי: <math>\sum_{k=0}^{\infty}\ \binom{2k}{k}\ \left (\frac{-1}{4} \right)^k\eta^{2k}</math>. כעת, כיוון שחזקת המשתנה היא זוגית, כל האיברים האי־זוגיים מתאפסים, וכל מה שנשאר הוא להשווֹת את האיברים הזוגיים בין הסכומים.

===יחסי [[רקורסיה]]===
בנוסף לנוסחת חישוב כללית (המצריכה בעצם פעולת צעד־צעד, היות שצריך לחשב נגזרות מסדרים גבוהים), ישנה אפשרות לחשב את פולינומי לז׳נדר בעזרת נוסחה רקורסיבית; שמחשבת פולינום מסדר מסוים בעזרת הפולינומים הקודמים לו. נוסחת הרקורסיה נתונה על ידי:
:<math>P_{n}(x)=\frac{1}{n}((2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x))\,</math>

===הצגה אינטגרבילית===
הצגה אינטגרבילית של פולינום לז׳נדר:
<math>P_{n}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int(1-2tz+t^{2})^{1/2}t^{-n-1}dt</math>

==שימושים==
פולינומי לז׳נדר שימושיים מאוד בפיזיקה ומשמשים למגוון חישובים. הידועים שבהם הם בתחום ה[[אלקטרוסטטיקה]] ו[[תורת הקוונטים]].

* באזור ללא [[מטען חשמלי|מטענים חשמליים]] (אך עם [[תנאי שפה]] שונים מאפס), כאשר לבעיה יש [[סימטריה גלילית]], ניתן לחשב את ה[[פוטנציאל חשמלי|פוטנציאל החשמלי]] במרחב בעזרת:
<math>
\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta)
</math>

כאשר המקדמים <math>A_\ell</math> ו־<math>B_\ell</math> ייקבעו בהתאם לתנאי השפה של הבעיה.
[[תמונה:Point_axial_multipole.svg|שמאל]]
* כאשר רוצים לחשב את הפוטנציאל החשמלי של מטען נקודתי אשר איננו נמצא בראשית מערכת צירים (במערכת קואורדינטות כדורית), ניתן לחשבו בעזרת (שימו לב שמדובר בפרופורציוניות ולא בשיויון.):
<math>
\Phi (r, \theta ) \propto \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{r^{2} + a^{2} - 2ar \cos\theta}}.
</math>

את הפונקציה הזו ניתן לחשב בעזרת פולינומי לז׳נדר לפי הצורה הבאה:
<math>
\Phi(r, \theta) \propto
\frac{1}{r} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{a}{r} \right)^{k} 
P_{k}(\cos \theta)
</math>

* פולינומי לז׳נדר משמשים בנוסף כפתרון לחלק הזוויתי (הזווית הנפתחת מציר ה־z) של [[משוואת שרדינגר]] עבור מקרה של [[פוטנציאל מרכזי]]. במקרה זה, ישנה גם תלות במרחק מהראשית r וכן בזווית סביב ציר z (החלק האזימותלי). את התלות המשותפת בשתי הזוויות ניתן להציג בעזרת [[הרמוניות ספריות]].

* ב[[אנליזה נומרית]] פולינומי לג׳נדר ממלאים תפקיד חשוב בחישובים נומריים של אינטגרלים ב[[תרבוע גאוסיאני|תרבוע גאוס־לז׳נדר]]. בכלל תרבוע זה, אינטגרל של פונקציה מקורב על ידי סכום ממושקל של הערכים של הפונקציה [[שורש (של פונקציה)|בשורשים]] של פולינומי לג׳נדר. המשקולות גם כן מחושבות באמצעות פולינומי לג׳נדר.

==פולינומי לז׳נדר המוכללים==
נסתכל על המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:
<math display="block">{d \over dx} \left[ (1-x^2) {dy \over dx} \right] + \left( n(n+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right) y = 0.</math>
עבור <math>m=0</math> נקבל את משוואת לז׳נדר הרגילה. פתרון המשוואה באופן כללי מניב את פולינומי לז׳נדר המוכללים <math>P_l^m (x) </math> וניתן לחשב אותם בצורה הבאה על ידי שימוש בנוסחת רודריגז:{{ש}}
:<math>P_l^m (x) = \frac{(-1)^m}{2^l l!} (1-x^2)^{\frac{m}{2}} {d^{l+m} \over dx^{l+m}} (x^2-1)^l </math>
{{ש}}
פולינומי לז׳נדר המוכללים מהווים את החלק הזוויתי ב[[הרמוניות ספריות|הרמוניות הספריות]], ויחס האורתוגונליות ביניהם הוא:
:<math>\int_{-1}^{1} P_k ^{m} P_\ell ^{m} dx = \frac{2 (\ell+m)!}{(2\ell+1)(\ell-m)!}\ \delta _{k,\ell}</math>

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld|LegendrePolynomial}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פונקציות אורתוגונליות]]
[[קטגוריה:פולינומים|לז'נדר]]
[[קטגוריה:משוואות דיפרנציאליות]]