הצגת המקור של הדף "פונקציה"

{{פירוש נוסף|נוכחי=פונקציה במתמטיקה|אחר=פונקציה בתכנות|ראו=[[שגרה (תכנות)|שגרה]]}}
[[קובץ:Function color example 3.svg|250px|ממוזער|שמאל|פונקציה המתאימה לכל צורה את הצבע שלה]]
[[קובץ:Function machine2.svg|ממוזער|250px|פונקציה היא התאמה המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, איבר יחיד בקבוצה שנייה.]]
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''פוּנְקְצִיָּה''' (נקראת גם '''העתקה''') היא התאמה, המשייכת ל'''כל''' [[איבר (מתמטיקה)|איבר]] ב[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] אחת, הנקראת תחום הגדרה של הפונקציה, או בקיצור [[תחום של פונקציה|תחום]], איבר '''יחיד''' בקבוצה שנייה, הנקראת טווח של הפונקציה, או בקיצור [[טווח של פונקציה|טווח]]. ייתכן שהתחום והטווח הם אותה קבוצה. זהו מושג כללי ביותר, המופיע בכל תחומי המדעים המדויקים, וגם מחוץ להם. מעצם הגדרתה, פונקציה מבטאת תלות בין [[משתנה|משתנים]] (תלות של המשתנים בטווח של הפונקציה במשתנים שבתחום הפונקציה), וככזו מאפשרת הצגה פורמלית של אופי התלות בין גדלים שונים בתחומי ה[[מדע]], ה[[הנדסה]] וה[[כלכלה]].

==הגדרה פורמלית==
פונקציה מ[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>X</math> (תחום הפונקציה) לקבוצה <math>Y</math> (טווח הפונקציה) היא קבוצה של [[זוג סדור|זוגות סדורים]], כך שלכל איבר x ב־<math>X</math> יש איבר יחיד y ב־ <math>Y</math>שעבורו הסוג הסדור (x,y) שייך לקבוצה. הסימון <math>f \colon X\to Y</math> פירושו ש־<math>f</math> היא פונקציה מ־ <math>X</math> ל־ <math>Y</math>. מהגדרה זו משתמע שאם <math>X</math> איננה ריקה אז <math>Y</math> איננה ריקה.

הקבוצה <math>X</math> היא ה'''[[תחום של פונקציה|תחום]]''' של הפונקציה. זוהי קבוצת כל ה[[איבר (מתמטיקה)|איבר]]ים עליהם הפונקציה מוגדרת. הקבוצה <math>Y</math> קרויה '''[[טווח של פונקציה|טווח]]''' הפונקציה. זוהי קבוצה המכילה את כל האיברים מהם הפונקציה מתאימה לאיבר מ־<math>X</math>. אומרים שהפונקציה "קולטת" איברים מהתחום <math>X</math> ו"מחזירה" איברים מהטווח <math>Y</math>.

מבחינה [[פורמליזם (מתמטיקה)|פורמלית]] פונקציה <math>f</math> היא [[תת-קבוצה|תת־קבוצה]] של ה[[מכפלה קרטזית|מכפלה הקרטזית]] <math>X \times Y</math> (כלומר קבוצה של [[זוג סדור|זוגות סדורים]] שהאיבר הראשון בכל זוג הוא מ־<math>X</math> והשני מ־<math>Y</math>) שמקיימת את שני התנאים הבאים:
*לכל <math>x \in X</math> קיים <math>y \in Y</math> כך ש־<math>(x,y) \in f</math> ([[יחס סריאלי|מלאות]] {{אנ|Serial relation}}).
*לכל <math>x \in X</math>, <math>y_1, y_2 \in Y</math> אם <math>(x,y_1) \in f</math> וגם <math>(x,y_2) \in f</math> אז <math>y_1=y_2</math> (חד ערכיות).

קבוצת הזוגות הסדורים המרכיבה את <math>f</math> קרויה [[גרף של פונקציה|גרף הפונקציה]]. זאת משום שבמקרה הפרטי של [[פונקציה ממשית|פונקציות ממשיות]] ניתן לתאר אותה באופן ויזואלי כגרף ב[[מערכת צירים קרטזית]].

מסמנים <math>f(x)=y</math> אם ורק אם <math>(x,y) \in f</math>. במקרה כזה האיבר <math>y</math> קרוי ה'''תמונה''' (או הדמות) של <math>x</math>, ו־<math>x</math> קרוי '''מקור''' של <math>y</math> (ייתכנו כמה מקורות לאיבר מסוים. אם קיים לכל איבר מקור יחיד, נאמר שהפונקציה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד־חד־ערכית]]). התנאי הראשון מבטיח שלכל <math>x</math> ב־<math>X</math> יש תמונה. התנאי השני מבטיח שתמונה זו היא יחידה. יחס שהוא גם חד ערכי וגם מלא נקרא פונקציה.

אם מוותרים על התנאי הראשון (לא לכל איבר יש בהכרח תמונה) אז מתקבלת [[פונקציה חלקית]], ואם מוותרים על התנאי השני (ייתכנו איברים עם יותר מתמונה אחת) מתקבלת [[פונקציה מרובה]]. אם מוותרים על שני התנאים יחדיו מתקבל [[יחס (תורת הקבוצות)|יחס]] במובנו הכללי.

[[קובץ:Functions-def-2.png|ממוזער|500px|מרכז|שתי ההתאמות מימין אינן פונקציות: א' "[[פונקציה חלקית]]", ב' "[[פונקציה מרובה]]" ורק ג' היא פונקציה.]]

שתי פונקציות <math>f,g</math>, עם אותו תחום וטווח, מוגדרות כ[[שוויון (מתמטיקה)|שוות]] רק כאשר <math>f(x)=g(x)</math> לכל <math>x\in X</math>.

לכל <math>Z \subseteq X</math> ([[תת-קבוצה|תת־קבוצה]] כלשהי של <math>X</math>) הקבוצה <math>f(Z)</math> (לפעמים מסומנת גם <math>f[Z]</math>) היא תת־קבוצה של <math>Y</math> המוגדרת: <math>f(Z) = \{f(z) \mid z\in Z \}</math>. כלומר זוהי התת־קבוצה של <math>Y</math> הכוללת את כל האיברים שהם תמונות של איברי <math>Z</math>. אומרים על <math>f(Z)</math> שהיא התמונה של <math>Z</math>. בפרט, הקבוצה <math>f(X)</math> הכוללת את כל האיברים ב־<math>Y</math> שהם תמונה של איבר כלשהו ב־<math>X</math>, נקראת ה'''תמונה''' של הפונקציה <math>f</math> ומסומנת לעיתים <math>\operatorname{Im}(f)</math> או <math>\operatorname{im}(f)</math>.

לכל <math>Z \subseteq Y</math> הקבוצה <math>f^{-1}(Z)</math> היא תת־קבוצה של <math>X</math> המוגדרת: <math>\{x \in X \mid f(x)\in Z\}</math>. כלומר זוהי התת־קבוצה של <math>X</math> הכוללת את כל האיברים שהתמונה שלהם היא איבר ב־<math>Z</math>. אומרים על <math>f^{-1}(Z)</math> שהיא ה'''מקור''' של <math>Z</math>.

אם <math>f \colon X \to Y</math> היא פונקציה, ו־<math>Z \subseteq X</math>, אז הפונקציה <math>f|_Z \colon Z \to Y</math> המוגדרת <math>f|_Z(z) = f(z)</math>, נקראת '''הצמצום של''' <math>f</math> '''ל־<math>Z</math>'''. זוהי הפונקציה <math>f</math> שתחומה מוגבל לקלטים מ <math>Z</math>.

===תכונות של תמונות ומקורות===
לכל איבר ב־<math>X</math> יש תמונה יחידה, אבל לאיבר ב־<math>Y</math> יכולים להיות כמה מקורות או אף מקור בכלל. לכן באופן כללי לא תמיד מתקיים <math>f^{-1}(f(Z)) = Z</math> או <math>f(f^{-1}(Z)) = Z</math>. היחסים הבאים תמיד מתקיימים:
* לכל <math>Z \subseteq Y</math> מתקיים <math>f(f^{-1}(Z)) \subseteq Z</math>.
* לכל <math>Z \subseteq X</math> מתקיים <math>Z \subseteq f^{-1}(f(Z))</math>.
* <math> f(f^{-1}(Z)) = Z</math> [[אם ורק אם]] <math>Z \subseteq f(X)</math>.
* <math>X = f^{-1}(Y) = f^{-1}(f(X))</math>.

== דוגמאות ==
# ההתאמה המתאימה לכל אדם את גילו היא פונקציה מקבוצת האנשים לקבוצת ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], כי לכל אדם יש גיל יחיד.
# ההתאמה המתאימה לכל [[מספר ממשי]] את ריבועו היא פונקציה מקבוצת המספרים הממשיים לעצמה. ניתן לתארה באמצעות השוויון <math>f(x) = x^2</math>.
# ההתאמה המתאימה לכל אדם את המדינה שבה הוא [[אזרחות|אזרח]] אינה פונקציה מאחר שיש אנשים בעלי מספר אזרחויות.
# ההתאמה המתאימה לכל אדם את [[מד כושר|מד הכושר]] שלו ב[[שחמט]] אינה פונקציה כי יש אנשים שאינם מדורגים על ידי [[פיד"ה]].

== תכונות של פונקציות ==
בתחומים שונים של המתמטיקה חוקרים ומתעניינים בתכונות שונות ומגוונות של פונקציות. על פי רוב מדובר בתכונות הקשורות ב[[מבנה (מתמטיקה)|מבנה]] המוגדר על התחום או הטווח של הפונקציה (למשל [[רציפות]] של [[פונקציה ממשית|פונקציות ממשיות]] ושימור מרחק של [[איזומטריה|איזומטריות]]). עם זאת ישנן מספר תכונות כלליות של פונקציות שאינן תלויות כלל במבנה של הקבוצות עליהן הן מוגדרות.
* פונקציה <math>\ f \colon X \to Y</math> נקראת '''[[פונקציה חד-חד-ערכית|חד־חד ערכית]]''' ('''חח"ע''') אם מתקיים: <math>\ f(x_1)=f(x_2)\rArr x_1=x_2</math>. כלומר אם לכל שני איברים שונים זה מזה בתחום מותאמים שני איברים שונים זה מזה בטווח. במילים אחרות, לכל איבר בטווח יש '''לכל היותר''' מקור אחד.
* פונקציה <math>\ f \colon X \to Y</math> נקראת '''[[פונקציה על|על]]''' אם לכל <math>y \in Y</math> קיים <math>x \in X</math> כך ש־<math>f(x)=y</math>. כלומר אם התמונה של הפונקציה שווה לטווח שלה (<math>f(X)=Y</math>). במילים אחרות, לכל איבר בטווח יש '''לפחות''' מקור אחד. במקרה כזה גם אומרים ש־<math>f</math> היא פונקציה '''על''' <math>Y</math>.
* פונקציה '''[[פונקציה חד-חד-ערכית ועל|חד־חד־ערכית ועל]]''' ('''חחע"ע''') היא פונקציה שהיא הן חד־חד־ערכית והן על. לפונקציה שכזו מתקיים שלכל איבר בטווח יש '''בדיוק''' מקור אחד. קיום פונקציה שכזו בין שתי קבוצות מראה שהן [[קבוצות שקולות|שקולות]]. שם אחר לפונקציה חחע"ע <math>f \colon X \to Y</math> הוא '''[[פונקציה הפיכה]]'''. זאת משום שלפונקציות שכאלו ניתן להגדיר '''פונקציה הופכית''': <math>f^{-1} \colon Y \to X</math> המקיימת <math>f^{-1}(y)=x</math> לכל <math>y\in Y</math>, כאשר <math>x</math> הוא האיבר היחיד ב־<math>X</math> המקיים <math>f(x)=y</math>. אם <math>f \colon X \to Y</math> היא פונקציה הפיכה, אז לכל <math>x \in X</math> ולכל <math>y \in Y</math> מתקיים: <math>f^{-1}(f(x))=x</math> ו־<math>f(f^{-1}(y))=y</math>.
* פונקציה <math>f \colon X \to X</math> (מקבוצה לעצמה) שהיא חד־חד־ערכית ועל נקראת '''[[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]]'''.
* על איבר <math>z \in X\cap Y</math> (איבר שנמצא הן ב־<math>X</math> והן ב־<math>Y</math>) נאמר שהוא '''[[נקודת שבת]]''' של <math>f \colon X \to Y</math> אם מתקיים <math>f(z) = z</math>.

<gallery>
תמונה:Injection.svg|<center>פונקציה חח"ע אך לא על</center>
תמונה:Surjection.svg|<center>פונקציה על אך לא חח"ע</center>
תמונה:Bijection.svg|<center>פונקציה חח"ע ועל (הפיכה)</center>
תמונה:Total function.svg|<center>פונקציה לא חח"ע ולא על</center>
</gallery>

==מקרים בסיסיים==
להלן דוגמאות לפונקציות בסיסיות המוגדרות באופן כללי לקבוצות ללא תלות במבנה מסוים.

===פונקציית הזהות===
{{ערך מורחב|פונקציית הזהות}}
'''פונקציית הזהות''' על קבוצה <math>X</math> היא פונקציה <math>I \colon X \to X</math> המוגדרת <math> I(x)=x</math> לכל <math>x \in X</math>. כאשר רוצים להדגיש שמדובר בפונקציית הזהות של קבוצה מסוימת <math>X</math> מסמנים את הפונקציה כ־<math>I_X</math>. [[פונקציית הזהות]] היא [[פונקציה חד-חד-ערכית|פונקציה חד־חד־ערכית]] ועל (ולכן גם תמורה). כל איבר ב־<math>X</math> הוא נקודת שבת שלה. הפונקציה ההופכית שלה היא היא עצמה (<math>f = f^{-1}</math>). פונקציית הזהות היא [[איבר היחידה]] ביחס ל[[הרכבת פונקציות]] (כמפורט בהמשך). היא משמשת כדי להראות שכל קבוצה [[קבוצות שקולות|שקולה]] לעצמה.

===הפונקציה הריקה===
{{ערך מורחב|הפונקציה הריקה}}
'''הפונקציה הריקה''' לקבוצה <math>Y</math> היא הפונקציה היחידה <math>f \colon \empty \to Y</math>. כלומר זוהי הפונקציה היחידה מ[[הקבוצה הריקה]] לקבוצה כלשהי <math>Y</math>. מכיוון שבקבוצה הריקה אין איברים, הפונקציה לא קולטת שום איבר ואינה מחזירה אף איבר. הפונקציה מקיימת את התנאים שבהגדרת הפונקציה [[באופן ריק]]. הפונקציה היא חד־חד־ערכית (באופן ריק), אך אינה על, למעט במקרה <math>Y = \empty</math>.

===פונקציה קבועה===
{{ערך מורחב|פונקציה קבועה}}
[[קובץ:Constant function gen2.svg|ממוזער|250px|בפונקציה קבועה כל הערכים מקבלים את אותה תוצאה]]
[[קובץ:Constant function yc.svg|ממוזער|250px|תצוגה גרפית של פונקציה קבועה]]

פונקציה <math>f \colon X \to Y</math> שמקיימת שלכל <math>x_1,x_2 \in X</math> מתקיים <math>f(x_1)=f(x_2)</math> נקראת '''פונקציה קבועה'''. [[הפונקציה הריקה]] היא קבועה באופן ריק. אם <math>f</math> היא [[פונקציה קבועה]] שאינה הפונקציה הריקה, אז קיים <math>y_0 \in Y</math> כך שלכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>f(x) = y_0</math> (ואז מסמנים <math>f(x) \equiv y_0</math>). אם <math>X</math> אינה ריקה ואינה [[יחידון]], אז אף פונקציה קבועה ממנה אינה חד־חד־ערכית (לעומת זאת כל פונקציה מיחידון היא חד־חד־ערכית). אם <math>Y</math> אינה ריקה ואינה יחידון, אז פונקציה קבועה אליה אינה על.

===פונקציה מציינת===
{{ערך מורחב|פונקציה מציינת}}
פונקציה <math>1_Z \colon X \to \{0,1\}</math> נקראת '''פונקציה מציינת''' של תת־קבוצה <math>Z \subseteq X</math> אם לכל <math>x \in X</math> מתקיים:
:<math>1_Z(x) =
\left\{\begin{matrix}
1 &\mbox{if}\ x \in Z \\
0 &\mbox{if}\ x \notin Z
\end{matrix}\right.
</math>
כלומר זאת פונקציה שמחזירה <math>1</math> לכל איבר של <math>Z</math>, ומחזירה <math>0</math> לכל איבר שאינו ב־<math>Z</math>.

הפונקציה המציינת מסומנת גם <math>\chi_Z</math>.

=== פונקציה <math>n</math>־מקומית ===
'''פונקציה''' <math>n</math>'''־מקומית''' או '''פעולה <math>n</math>־ארית''' היא פונקציה מהצורה <math>f \colon X^n \to X</math>. כאשר <math>X^n = \underbrace{X \times \cdots \times X}_{n \text{ times}}</math> היא קבוצת ה־[[N-יה סדורה|n־יות הסדורות]] של איברי <math>X</math>. כאשר רושמים את התמונה של פונקציה <math>n</math>־מקומית מקובל להשמיט את הסוגריים של ה־<math>n</math>־יה הסדורה. כלומר רושמים <math>f(x_1,\ldots,x_n)</math> במקום <math>f((x_1,\ldots,x_n))</math>.

פונקציה <math>1</math>־מקומית נקראת גם [[פעולה אונארית]]. זוהי פשוט פונקציה <math>f \colon X \to X</math> רגילה.

המקרה החשוב ביותר הוא של פונקציה <math>2</math>־מקומית, הקרויה גם [[פעולה בינארית]]. זוהי פעולה המתאימה לכל [[זוג סדור]] של איברים בקבוצה, איבר בקבוצה. הדוגמאות המוכרות ביותר לפעולות בינאריות הן [[ארבע פעולות החשבון]] המוגדרות על קבוצות של [[מספר]]ים. במקרה כזה נהוג להחליף את הסימון הסטנדרטי לתמונת הפונקציה בסימן פעולה שמופיע בין איברי הזוג. במקום לסמן <math>f(x_1,x_2)</math> מסמנים <math>x_1 \star x_2</math> כאשר <math>\star</math> הוא סימן מוסכם כלשהו שמסמן את פעולת <math>f</math>.

פונקציה <math>3</math>־מקומית נקראת פעולה טרינארית.

==הרכבת פונקציות==
{{ערך מורחב|ערך=[[הרכבת פונקציות]]}}
על קבוצה של פונקציות ניתן להגדיר פעולה בינארית בסיסית הקרויה [[הרכבת פונקציות]]. בהינתן פונקציה <math>f \colon X \to Y</math> ופונקציה <math>g \colon Y \to Z</math>, מגדירים את ההרכבה שלהן <math>h = g \circ f</math> בתור פונקציה <math>h\colon X \to Z</math> המוגדרת לכל <math>x \in X</math> בתור <math>h(x) = g(f(x))</math>. כלומר תוצאת ההרכבה היא פונקציה המוגדרת על ידי הפעלת <math>f</math> על איבר ועל התמונה המתקבלת מפעילים את <math>g</math>. הרכבת פונקציות אינה [[פעולה קומוטטיבית]] (לרוב <math>f \circ g \ne g \circ f</math> גם אם שני האגפים מוגדרים). עם זאת, זוהי [[פעולה אסוציאטיבית]] (כאשר יש שרשרת של פעולות הרכבה בזו אחרי זו, ניתן להוסיף בתוכה [[סוגריים]] היכן שרוצים בלי לשנות את התוצאה).

פונקציית הזהות היא [[איבר יחידה]] (שמאלי או ימני) ביחס להרכבת פונקציות. בהינתן פונקציה <math>f\colon X \to Y</math> מתקיים <math>f \circ I_X = f</math> וכן <math>I_Y \circ f = f</math>. אם <math>f</math> הפיכה, אז מתקיים גם <math>f^{-1} \circ f = I_X</math> וכן <math>f \circ f^{-1} = I_Y</math>.

מהתכונות שנמנו כאן נובע שקבוצת הפונקציות מקבוצה כלשהי <math>X</math> לעצמה (פונקציות מהצורה <math>f \colon X \to X</math>) היא [[מונואיד (מבנה אלגברי)|מונואיד]] ביחס לפעולת הרכבת הפונקציות. פונקציית היחידה <math>I_X</math> היא איבר היחידה (הדו־צדדי) של המונואיד. ה[[איבר הפיך|איברים ההפיכים]] במונואיד הם הפונקציות ההפיכות.

==קבוצת הפונקציות <math>Y^X</math>==
{{ערך מורחב|ערך=[[חזקה (מתמטיקה)#קבוצות ועוצמות|חזקה: קבוצות]]}}
את קבוצת הפונקציות מקבוצה <math>X</math> לקבוצה <math>Y</math> מסמנים <math>Y^X</math>. סימון זה אינו מקרי. יש קשר הדוק בין קבוצה זו ל[[חזקה (מתמטיקה)|פעולת החזקה]].

לכל קבוצה יש [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] שניתן לתארה אינטואיטיבית כ"מספר האיברים" בה. העוצמות של [[קבוצה סופית|קבוצות סופיות]] הן מספרים טבעיים. לקבוצות אינסופיות יש עוצמות אינסופיות, שעשויות להיות שונות זו מזו ([[תורת הקבוצות]] מבחינה בין גדלים שונים של [[אינסוף]]). את העוצמה של קבוצה <math>X</math> מסמנים <math>|X|</math>.

אם <math>X</math> ו־<math>Y</math> הן קבוצות סופיות, אז מספר הפונקציות בקבוצה <math>Y^X</math> הוא מספר האיברים ב־<math>Y</math> בחזקת מספר האיברים ב־<math>X</math>. בניסוח קומפקטי לפי הסימונים שהנהגנו זה עתה: <math>\left|Y^X\right| = |Y|^{|X|}</math>. הזהות נובעת משיקול [[קומבינטוריקה|קומבינטורי]] פשוט שמסתמך על [[עקרון הכפל]]: נניח שבקבוצה <math>X</math> יש <math>n</math> איברים, ובקבוצה <math>Y</math> יש <math>m</math> איברים. נבחר איבר ראשון ב־<math>X</math>, הוא יכול לעבור לכל אחד מ־<math>m</math> איברים. נבחר איבר שני ב־<math>X</math>, גם הוא יכול לעבור לכל אחד מ־<math>m</math> איברים. וכן הלאה עד שנגיע לאיבר ה־<math>n</math> ב־<math>X</math>. נכפיל את כל האפשרויות יחדיו לכל איברי <math>X</math> כדי לקבל את מספר האפשרויות הכולל ונקבל <math>m^n</math>.

לקבוצות אינסופיות מחליטים לקבל זהות זו כהגדרה של חזקה בין עוצמות אינסופיות. לכל זוג עוצמות <math>|X|,|Y|</math> מגדירים <math>|Y|^{|X|} = \left|Y^X\right|</math>. זוהי הגדרה מוצלחת, שכן היא מקיימת את חוקי החזקות והיא עדיין מהווה פעולת כפל מקוצר ביחס לכפל המוגדר בין עוצמות.

== ראו גם ==
* [[:קטגוריה:פונקציות מתמטיות|ערכי פונקציות בוויקיפדיה]]
* [[פונקציה ממשית]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=פונקציה}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=SLOihnjfQtM&list=PLJ8OrXpbC-BOYyyC-Gunxrh-jYnSfsQy0&index=1 Calculus - Functions] - הסבר על פונקציות {{סרטונים}}
* {{MathWorld}}
*[https://www.lergo.org/index.html#!/public/lessons/595a3c9bcb9e711b83c32a16/intro מה זאת פונקציה?], באתר לרגו
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007553160705171|פונקציות}}

{{תורת הקבוצות}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פונקציות מתמטיות|*]]
[[קטגוריה:יחסים מתמטיים]]
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]