הצגת המקור של הדף "פונקציה אופיינית (הסתברות)"

[[קובץ:Sinc simple.svg|ממוזער|280px|
הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי המתפלג [[התפלגות אחידה רציפה]] ''U''(–1,1). הפונקציה ממשית מכיוון שצפיפות ההתפלגות של המשתנה המקרי סימטרית סביב אפס.]]
ב[[הסתברות|תורת ההסתברות]] וב[[סטטיסטיקה]], '''פונקציה אופיינית''' של [[משתנה מקרי]] היא [[פונקציה]] המתארת את ה[[התפלגות]] שלו. בעזרתה ניתן לנתח את ההתפלגות של משתנה אקראי באופן מלא מבלי להשתמש ב[[פונקציית צפיפות|פונקציית צפיפות ההסתברות]] או ב[[פונקציית הצטברות|פונקציית ההצטברות]]. הפונקציה האופיינית שימושית במיוחד לתיאור ההתפלגות של [[צירוף ליניארי]] של משתנים אקראיים.

==הגדרה==
הפונקציה האופיינית של משתנה אקראי <math>X</math> היא [[פונקציה מרוכבת]] המוגדרת כ[[תוחלת]] של <math>e^{itX}</math>, כאשר <math>i</math> הוא היחידה המדומה ו־<math>t</math> הוא [[מספר ממשי]] שמהווה את המשתנה של הפונקציה האופיינית:

:<math>\varphi_X(t)=\operatorname{E}[\,e^{itX}\,] = \int_{-\infty}^\infty e^{itX} f_X(x)\,dx</math>

בחישוב התוחלת כ[[אינטגרל]], הפונקציה האופיינית מתקבלת כ[[התמרת פורייה|צמוד של התמרת פורייה]] של פונקציית צפיפות ההסתברות{{הערה|{{צ-ספר|שם=Statistical and Adaptive Signal Processing: Spectral Estimation, Signal Modeling, Adaptive Filtering, and Array Processing|קישור=https://books.google.de/books?id=3RQfAQAAIAAJ&redir_esc=y|מו"ל=Artech House|שנת הוצאה=2005|ISBN=978-1-58053-610-3|מחבר=Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon|שפה=en}}}}.

לפונקציה האופיינית קשר פשוט ל[[פונקציה יוצרת מומנטים|פונקציה יוצרת המומנטים]] (אם מרחיבים את [[תחום ההגדרה]] שלה למרוכבים):{{הערה|שם=ה1|{{צ-ספר|מחבר=Lukacs, E|שם=Characteristic functions|מקום הוצאה=London|מו"ל=Griffin|שנת הוצאה=1970}}}}

:<math>\varphi_X(-it)=M_X(t)</math>

בניגוד לפונקציה יוצרת מומנטים, הפונקציה האופיינית תמיד קיימת וממנה ניתן לקבל את פונקציית צפיפות ההסתברות ואת ה[[מומנט (סטטיסטיקה)|מומנטים]] או להסיק על אי קיומם.

== תכונות ==
* הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי ממשי תמיד קיימת מכיוון שהיא אינטגרל של [[פונקציה חסומה]] ורציפה על מרחב שהמידה שלו סופית.
* פונקציה אופיינית היא [[פונקציה רציפה במידה שווה]] בכל המרחב.
* פונקציה אופיינית אינה מתאפסת בסביבת הנקודה אפס, שכן מההגדרה <math>\varphi(0)=1</math>.
* פונקציה אופיינית היא [[הרמיטי]]ת: <math>\varphi(t)=\varphi(-t)</math>. בפרט, הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי סימטרי (סביב הראשית) היא ממשית ו[[פונקציה זוגית|זוגית]].
* קיים יחס [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד ערכי]] בין התפלגויות הסתברות לבין פונקציות אופייניות. כלומר לשני משתנים מקריים <math>X_1</math> ו־<math>X_2</math> יש את אותה התפלגות אם ורק אם יש להם אותה פונקציה אופיינית <math> \varphi_{X_1}=\varphi_{X_2}</math>.
* אם המומנטים של משתנה מקרי <math>X</math> מוגדרים עד סדר <math>k</math>, אזי לפונקציה האופיינית <math>\varphi_X</math> יש <math>k</math> נגזרות רציפות על כל [[הישר הממשי]]. במקרה זה:
::<math>\operatorname{E}[X^k] = i^{-k} \varphi_X^{(k)}(0)</math>
* אם הנגזרת ה־<math>k</math> של פונקציה אופיינית <math>\varphi_X</math> מוגדרת באפס, אזי אם כל המומנטום של המשתנה המקרי <math>X</math> מוגדרים עד המומנט ה־<math>k</math> אם <math>k</math> זוגי, ועד המומנט ה־<math>k-1</math> אם <math>k</math> אי-זוגי{{הערה|שם=ה1}}:
::<math> \varphi_X^{(k)}(0) = i^k \operatorname{E}[X^k] </math>
* הפונקציה האופיינית של סכום של שני משתנים אקראיים בלתי תלויים סטטיסטית היא מכפלת הפונקציות האופייניות שלהם:
::<math>\varphi_{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi_X(t) \varphi_Y(t)</math>
* יהי <math>Y= aX + b</math> משתנה המקרי המתקבל על ידי [[העתקה ליניארית|טרנספורמציה ליניארית]] של <math>X</math> עם פרמטרים קבועים <math>a</math> ו־<math>b</math>. הפונקציה האופיינית של <math>Y</math> היא <math>\varphi_Y(t)=e^{itb}\varphi_X(at)</math>.
:עבור וקטורים מקריים <math>X</math> ו-<math>Y = AX + B</math> (כאשר <math>A</math> היא [[מטריצה]] קבועה ו־<math>B</math> הוא וקטור קבוע), אזי:
::<math>\varphi_Y(t) = e^{it^\top B}\varphi_X(A^\top t)</math>.{{הערה|{{Cite web |title=Joint characteristic function |url=https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/joint-characteristic-function |access-date=7 April 2018 |website=www.statlect.com}}}}

==דוגמאות==
{|class="wikitable"
|-
! התפלגות
! הפונקציה האופיינית
|-
| [[התפלגות מנוונת]] <math>\delta_a</math>
| <math>\, e^{ita}</math>
|-
| [[התפלגות בינומית]] <math>B(n,p)</math>
| <math>\, (1-p+pe^{it})^n</math>
|-
| [[התפלגות פואסון]] <math>\text{Pois}(\lambda)</math>
| <math>\, e^{\lambda(e^{it}-1)}</math>
|-
| [[התפלגות אחידה רציפה]] <math>U(a,b)</math>
| <math>\, \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}</math>
|-
|[[התפלגות אחידה בדידה]] <math>DU(a,b)</math>
| <math>\frac{e^{ita} - e^{it(b + 1)}}{(1 - e^{it})(b - a + 1)}</math>
|-
| [[התפלגות נורמלית]] <math>N(\mu,\sigma^2)</math>
| <math>\, e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}</math>
|-
| [[התפלגות כי בריבוע]] <math>X_k^2</math>
| <math>\, (1 - 2it)^{-k/2}</math>
|-
| [[התפלגות קושי]] <math>C(\mu,\theta)</math>
| <math>\, e^{ix_0t -\gamma|t|}</math>
|-
| [[התפלגות מעריכית]] <math>\text{Exp}(\lambda)</math>
| <math>\, (1 - it\lambda^{-1})^{-1}</math>
|-
|[[התפלגות לפלס]] <math>L(\mu,b)</math>
|<math>\frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}</math>
|-
| [[התפלגות ברנולי]] <math>\text{Bern}(p)</math>
| <math>1-p+pe^{it}</math>
|}

== שימושים ==
=== מניפולציות בסיסיות של התפלגויות ===
פונקציות אופייניות שימושיות במיוחד לטיפול בפונקציות ליניאריות של משתנים אקראיים בלתי תלויים. לדוגמה, אם <math>X_1, X_2, \ldots, X_n</math> היא סדרה של משתנים אקראיים בלתי תלויים (ולא בהכרח שווי-התפלגות), ואם
:<math>S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,\,\!</math>
כאשר <math>a_i</math> הם קבועים, אז הפונקציה האופיינית של <math>S_n</math> היא
:<math>\varphi_{S_n}(t)=\varphi_{X_1}(a_1t)\varphi_{X_2}(a_2t)\cdots \varphi_{X_n}(a_nt) \,\!</math>

בפרט, עבור שני משתנים מקריים בלתי תלויים <math>X</math> ו־<math>Y</math>
<math>Y</math> <math>\varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t) \varphi_Y(t) </math>. כדי להראות זאת מספיק להשתמש בהגדרה של הפונקציה האופיינית

: <math>\varphi_{X+Y}(t)= \operatorname{E}\left [e^{it(X+Y)}\right]= \operatorname{E}\left [e^{itX}e^{itY}\right] = \operatorname{E}\left [e^{itX}\right] \operatorname{E}\left [e^{itY}\right] =\varphi_X(t) \varphi_Y(t)</math>

אי התלות של <math>X</math> ו-<math>Y</math> מבטיחה שהביטוי השלישי והרביעי שווים.

מקרה פרטי חשוב הוא כאשר <math>X_1, X_2, \ldots, X_n</math> הם [[משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות]] וכאשר <math>a_i = 1/n</math>. אם נסמן <math>\overline{X}</math> את ממוצע <math>n</math> המשתנים המקריים אז הפונקציה של <math>\overline{X}</math> תהיה:
: <math>\varphi_{\overline{X}}(t)= \varphi_X\!\left(\tfrac{t}{n} \right)^n</math>.

=== מומנטים ===
ניתן להשתמש בפונקציה האופיינית כדי לחשב את המומנטים של משתנה מקרי. בהנחה ש[[מומנט (הסתברות)|המומנט]] ה-''n'' קיים<math display="block">
\operatorname{E}\left[ X^n\right] = i^{-n}\left[\frac{d^n}{dt^n}\varphi_X(t)\right]_{t=0} = i^{-n}\varphi_X^{(n)}(0) ,\!</math>

== קישורים חיצוניים ==
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים| יישור = שמאל}}
[[קטגוריה:תורת ההתפלגויות]]