הצגת המקור של הדף "פונקציה גזירה"

[[קובץ:Polynomialdeg4.svg|שמאל|ממוזער|250px|גרף של [[פולינום]] (ממעלה 4) הגזיר בכל נקודה]]
[[קובץ:Absolute value.svg|שמאל|ממוזער|250px|גרף של פונקציית ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] הגזירה בכל נקודה למעט x=0]]
[[קובץ:WeierstrassFunction.svg|ממוזער|250px|גרף של [[פונקציית ויירשטראס]] שהיא רציפה בכל נקודה אך אינה גזירה באף נקודה]]
ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], '''פונקציה גזירה''' היא [[פונקציה ממשית]] שיש לה [[נגזרת]] בכל [[תחום של פונקציה|תחומה]]. ל[[גרף של פונקציה|גרף]] של פונקציה גזירה יש [[משיק]] בכל נקודה והוא נראה "חלק" יחסית, ללא קווים שבורים ו"השתוללויות". תכונה חשובה של פונקציה גזירה, שגם שקולה לגזירותה, היא האפשרות [[קירוב ליניארי|לקרב אותה ליניארית]].

== הגדרות ==
פונקציה <math>\ f</math> '''גזירה בנקודה <math>\ x</math>''' אם קיים ה[[גבול של פונקציה|גבול]]:
:<math>\ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
תוצאת הגבול נקראת "הנגזרת של <math>\ f</math> בנקודה <math>\ x</math>" ומסומנת <math>\ f'(x)</math>.

פונקציה <math>\ f</math> '''גזירה ב[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>\ D</math>''' אם לכל <math>\ x</math> ב-<math>\ D</math> מתקיים ש-<math> \ f</math> גזירה ב-<math>\ x</math>. פונקציה <math>\ f</math> '''גזירה''' אם היא גזירה בתחום שלה.

על פונקציה שהנגזרת שלה [[רציפות|רציפה]] נאמר כי היא '''גזירה ברציפות'''. אם הנגזרת של פונקציה גזירה בעצמה, נאמר כי הפונקציה "גזירה פעמיים", ובאופן כללי אם לפונקציה יש נגזרת n-ית נאמר כי היא '''גזירה n-פעמים''' או '''גזירה מסדר n'''. פונקציה שהיא גזירה n-פעמים לכל n היא פונקציה '''גזירה אינסוף פעמים''', או פשוט '''[[פונקציה חלקה]]'''.

קבוצת הפונקציות שגזירות n-פעמים ברציפות מסומנת <math>\ C^n</math>, כאשר <math>\ C^0</math> היא קבוצת הפונקציות הרציפות ו-<math>\ C^\infty</math> היא קבוצת הפונקציות החלקות. לכל n,{{כ}} <math>\ C^n</math> [[הכלה (תורת הקבוצות)|מכילה]] את <math>\ C^m</math> כאשר <math>\ m>n</math> וכולן מכילות את <math>\ C^\infty</math>.

פונקציה <math>\ f</math> היא '''גזירה למקוטעין''' ב[[קטע]] אם קיים אוסף [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]] (ואולי אף סופי) של נקודות <math>\ P = \lbrace p_0 < p_1 < \ldots < p_n < \ldots \rbrace </math> עבורו לכל <math>\ x</math> בקטע פתוח <math>\ x \in (p_i, p_{i+1})</math> <math>\ </math> מתקיים כי <math>\ f</math> גזירה ב-<math>\ x</math>.

פונקציה היא '''גזירה מימין''' או '''גזירה משמאל''' כאשר הגבול המגדיר את הנגזרת קיים מימין או משמאל בהתאמה.

כאשר דנים בפונקציות בכמה משתנים, אז פונקציה '''גזירה חלקית לפי x''' אם קיימת לה [[נגזרת חלקית]] לפי המשתנה x. תנאי חזק שמכליל גזירות בכמה משתנים הוא דיפרנציאביליות. '''[[פונקציה דיפרנציאבילית]]''' היא פונקציה שניתן לקרב ליניארית, ובפרט היא גזירה חלקית לפי כל משתנה. במשתנה אחד המונחים פונקציה דיפרנציאבילית ופונקציה גזירה מתלכדים.

== רציפות ==
כל פונקציה גזירה היא בהכרח רציפה (ולכן גם [[אינטגרביליות|אינטגרבילית]]). ניתן להוכיח זאת ישירות מהגדרת הנגזרת. אם <math>\ f</math> אינה רציפה ב-<math>\ x</math> אז <math>\ \lim_{h \to 0}f(x+h)-f(x) \ne 0</math> ולכן הגבול המגדיר נגזרת אינו קיים (הוא ביטוי מהצורה "<math>\ \tfrac{a}{0}</math>" כאשר a שונה מאפס). ההפך אינו נכון - לא כל פונקציה רציפה היא גם גזירה. למשל פונקציית ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] רציפה בנקודה x=0 אך אינה גזירה שם, כי הנגזרת מימין והנגזרת משמאל שונות זו מזו. רוב הפונקציות הרציפות השימושיות גזירות [[כמעט בכל]] נקודה. אולם ב-[[1872]] מצא [[קארל ויירשטראס]] דוגמה ראשונה לפונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה: [[פונקציית ויירשטראס]]. לפי [[משפט הקטגוריה של בר]] כמעט כל הפונקציות הרציפות אינן גזירות באף נקודה.

== גזירות מרוכבת ==
גזירות של [[פונקציה מרוכבת]] היא תנאי חזק בהרבה מגזירות של פונקציה ממשית. פונקציה גזירה במובן המרוכב נקראת [[פונקציה הולומורפית]].

{{עץ מיון של מרחבי פונקציות}}
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות: מאפיינים|גזירה]]