הצגת המקור של הדף "פונקציה הולומורפית"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
[[קובץ:Conformal map.svg|שמאל|250px|ממוזער|תמונתה של רשת מלבנית תחת העתקה קונפורמית. כל פונקציה הולומורפית שנגזרתה איננה מתאפסת בנקודה כלשהי היא קונפורמית בה היא העתקה משמרת זווית בין עקומים.]]
'''פונקציה הולומורפית''' (לעיתים נקראת גם '''פונקציה רגולרית''') היא [[פונקציה מרוכבת]] של משתנה מרוכב אחד או יותר, ה[[גזירות (מתמטיקה)|גזירה]] במובן המרוכב בסביבת כל נקודה ב[[תחום של פונקציה#תחום ההגדרה|תחומה]]. אלו הן [[פונקציה|הפונקציות]] המרכזיות שנחקרות בתורה של [[אנליזה מרוכבת|האנליזה המרוכבת]].

ביתר פירוט, פונקציה הולומורפית היא פונקציה מרוכבת שתחומה הוא [[קבוצה פתוחה]] ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]] וקיימת לה [[נגזרת]] מרוכבת בכל נקודה בתחומה.

==הגדרה פורמלית==
תהא <math>\ U\subseteq\mathbb{C}</math> [[קבוצה פתוחה]] ב[[המישור המרוכב|מישור המרוכב]]. תהא <math>\ f:U\rarr\mathbb{C}</math> פונקציה מרוכבת. נאמר ש-<math>\ f</math> גזירה במובן המרוכב בנקודה <math>\ z_0\isin U</math> אם קיים הגבול
{{משוואה
|הזחה = :
|משוואה = <math>\ f'(z_0)=\lim_{z\rarr z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}</math>
|ריווח תא = 6
|מסגרת = 1
|הפניה=1}}
העניין החשוב בהגדרה הזו היא שהגבול '''(1)''' לא תלוי בבחירת המסלול שיעשה המשתנה <math>z</math> בדרכו לנקודה <math>z_0</math>, דהיינו שהגבול '''(1)''' אכן קיים כאשר <math>|z-z_0|</math> שואף לאפס.<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Henry C. Thacher, Peter Henrici|שם=Applied and Computational Complex Analysis|כתב עת=Mathematics of Computation|כרך=31|שנת הוצאה=1977-01|עמ=325|doi=10.2307/2005805|קישור=http://dx.doi.org/10.2307/2005805}}</ref>

קיום הגבול '''(1)''' שקול לקיום קשר, שניתן לתאר באמצעות [[משוואה דיפרנציאלית חלקית]], בין הנגזרות החלקיות של הפונקציות הממשיות המרכיבות את <math>f(z)</math> – אלו הן [[משוואות קושי-רימן]].

אם הפונקציה <math>\ f</math> גזירה ב'''כל''' נקודה <math>\ z_0\isin U</math>, נאמר עליה שהיא הולומורפית בקבוצה <math>\ U</math>. לפעמים אומרים ש-<math>\ f</math> הולומורפית בנקודה <math>\ z_0</math> אם היא גזירה בכל נקודה באיזושהי סביבה של <math>\ z_0</math>. <ref>Peter Ebenfelt, Norbert Hungerbühler, Joseph J. Kohn, Ngaiming Mok, Emil J. Straube
(2011) ''[https://books.google.com/books?id=3GeUgafFRgMC&q=holomorphic Complex Analysis]'' Springer Science & Business Media</ref>

==טרמינולוגיה==
המונח "הולומורפיות" הוצג על ידי תלמידיו של [[אוגוסטן לואי קושי]],{{הערה|מהמייסדים הבולטים של האנליזה המרוכבת}} [[שארל אוגוסט בריו|בריו]] {{אנ|Charles Auguste Briot}} (1817–1882) ו[[ז'אן-קלוד בוקה]] {{אנ|Jean Claude Bouquet}} (1819–1885), ומקורו במילה היוונית ὅλος (הולוס) שפירושה שָׁלֵם או מלא וב־μορφή (מורפי) שמשמעותה צורה או מראה. כיום, לעיתים המושגים פונקציה הולומורפית ופונקציה אנליטית משמשים במשמעות זהה, אף על פי שהאחרון הוא מושג כללי יותר.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Analytic_function#Analytic_functions_of_one_complex_variable|כותרת=Analytic function - Encyclopedia of Mathematics|אתר=encyclopediaofmath.org|תאריך_וידוא=2024-05-12}}</ref>

==מבוא==
מכיוון שכל [[מספר מרוכב]] מזוהה עם [[זוג סדור]] של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]], ניתן לראות בפונקציה מרוכבת פונקציה בין זוגות של מספרים ממשיים, או באופן שקול כפונקציה בין זוגות של משתנים ממשיים לבין המספרים מרוכבים. מזווית הראייה הזו, התכונה המהותית של גזירות מרוכבת, או הולומורפיות, היא ש[[נגזרת כיוונית|הנגזרת הכיוונית]] בנקודה כלשהי בתחום איננה תלויה ב[[מסילה (מתמטיקה)|מסלול]] שאותו עושה המשתנה במישור המרוכב בדרכו לנקודה; עבור כל המסלולים שבהם יכול לנוע המשתנה המרוכב בדרך אל הנקודה, נגזרת הפונקציה בנקודה זהה (ובאופן כללי תהיה מספר מרוכב). לכן, הולומורפיות היא תכונה שונה מקיומן של [[נגזרת חלקית|נגזרות חלקיות]] עבור שני המשתנים הממשיים – משמעותה לא רק שהנגזרות החלקיות הללו קיימות, אלא גם שהן קשורות זו לזו באופן הדוק: קשר המבוטא ב[[משוואות קושי-רימן]].{{הערה|אך לא בהן בלבד. על הפונקציה הממשית הזו להיות גם [[פונקציה דיפרנציאבילית|דיפרנציאבילית]]. ניתן להגיע למשוואות ללא קושי רב אם לוקחים בחשבון שפונקציה הולומורפית היא כזו שנגזרתה בנקודה כלשהי איננה תלויה במסלול שעושה המשתנה בדרכו לנקודה, והקורא עשוי למצוא עניין בלגלות את המשוואות בכוחות עצמו.}}

האנליזה המרוכבת היא תורה פשוטה יותר, ובמובנים רבים שלמה יותר, מן ה[[אנליזה ממשית|אנליזה הממשית]]. [[פונקציה ממשית]] יכולה להיות גזירה, אבל הנגזרת שלה עלולה שלא להיות גזירה. היא עשויה להיות גזירה 18 פעמים, אבל לא 19. היא עשויה להיות גזירה כל מספר פעמים שהוא, מבלי שיהיה לה יצוג כ[[טור טיילור|טור חזקות]]. אף אחד מן ה"חסרונות" הללו אינו קיים באנליזה המרוכבת. מתוך [[משפט האינטגרל של קושי|משפט האינטגרל של קושי-גורסה]] הוסק שכל פונקציה הולומורפית היא [[פונקציה אנליטית|אנליטית]] מרוכבת, ומכך נובע שהיא גזירה [[אינסוף]] פעמים, ולכן גם הנגזרת שלה היא פונקציה הולומורפית. יתרה מזאת, יש לה יצוג כטור חזקות. גם ה[[משפט הפוך|משפט ההפוך]] נכון; כל פונקציה אנליטית מרוכבת היא הולומורפית, ולכן במסגרת האנליזה המרוכבת משתמשים בשני המושגים באותה משמעות. אמנם לא היה מלכתחילה ברור שכך המצב, והתגלית ששתי התכונות הללו אכן שקולות הייתה תגלית מרכזית בהיסטוריה של האנליזה המרוכבת.

חשיבותן של הפונקציות ההולומורפיות במתמטיקה נובעת מכך שרבות מהפונקציות המרוכבות בעלות החשיבות בענפי המתמטיקה השונים, הן הולומורפיות. כך למשל [[פולינום|פולינומים]], ה[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]], ה[[אקספוננט]], [[פונקציית זטא של רימן|פונקציית הזטא של רימן]], ואף [[העתקה קונפורמית|העתקות קונפורמיות]] (משמרות [[זווית]]) במישור{{הערה|כאשר ההעתקה היא בין שני תחומים פשוטי קשר פתוחים במישור.}} – כולן פונקציות הולומורפיות. [[משפט ההעתקה של רימן]] מראה במובן מסוים עד כמה רחב המגוון האפשרי של פונקציות הולומורפיות, שעשוי להראות דל בתחילה. התורה של הפונקציות ההולומורפיות היא תורה מפותחת היטב, וטבען המופשט של פונקציות כאלו מובן בצורה טובה יחסית.

פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב קרויה [[פונקציה שלמה]]. כאשר אומרים על פונקציה שהיא "הולומורפית בנקודה", הכוונה לכך שהיא גזירה ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] כלשהי של הנקודה.

==דוגמאות==
כל [[פולינום]] במספרים מרוכבים הוא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב, וכך גם פונקציית ה[[אקספוננט]] <math>\ e^z</math>, ופונקציות הקוסינוס והסינוס המרוכבות <math display=inline>\cos{z} = \tfrac12(e^{iz} + e^{-iz})</math> ו־<math display=inline>\sin{z} = -\tfrac12i(e^{iz} - e^{-iz})</math>. הפולינומים ופונקציית האקספוננט הן [[פונקציה שלמה|פונקציות שלמות]]. דוגמאות פחות טריביאליות לפונקציות הולומורפיות הן [[פונקציית זטא של רימן]], או [[פונקציית גמא]]. בניגוד לפולינומים ולאקספוננט, פונקציות אלה אינן שלמות, ויש להן [[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קטבים]].

כיוון שהתנאי לגזירות במובן המרוכב חזק יותר מגזירות במובן הממשי, קיימות פונקציות "יפות" שאינן הולומורפיות, בניגוד לאינטואיציה הממשית. דוגמאות בולטות הן <math> \ z \mapsto \mbox{Re} (z), z \mapsto \mbox{Im}(z), z \mapsto \bar z</math> ו-<math>z \mapsto \operatorname{Arg}(z)</math> כאשר Arg היא פונקציית [[ארגומנט (אנליזה מרוכבת)|הארגומנט הראשי]].

דוגמה נוספת היא הפונקציה <math>\textstyle z \mapsto \frac{1}{z}</math>. פונקציה זו הולומורפית בכל תחום הגדרתה, אך היא אינה הולמורפית בנקודה <math>\ z_0=0</math>, (וגם אינה מוגדרת בה). בכל נקודה אחרת היא גזירה, ולכן היא הולומורפית בקבוצה <math>\ \mathbb{C}\setminus\left\{0\right\}</math>. עם זאת, קיים הגבול <math>\lim_{z \to 0} \textstyle \frac{1}{z} = \infty</math>. נקודה שבה הגבול הוא אינסוף נקראת '''קוטב'''. פונקציה, אשר הולומורפית בכל נקודה שאיננה קוטב בתחום כלשהו, קרויה [[פונקציה מרומורפית]] באותו התחום.

קיימות גם פונקציות שאינן גזירות במובן חזק יותר. לדוגמה, לפונקציה <math>\ e^{\frac{1}{z} }</math> אין כלל גבול בנקודה <math>\ z=0</math>. נקודה כזו נקראת [[סינגולריות עיקרית]], והיא מקיימת תכונה מעניינת – לפי [[משפטי פיקאר|המשפט הגדול של פיקאר]], אם <math>\ f</math> פונקציה הולומורפית בתחום, ו־<math> \ z_0</math> סינגולריות עיקרית בתחום, אזי התמונה של כל סביבה של <math> \ z_0</math> היא <math>\mathbb{C}</math> כולה, למעט אולי נקודה אחת.

==תכונות==
[[קובץ:Curves.png|שמאל|250px|ממוזער|הדגמה של תכונת הקונפורמיות. מוצגות שתי מסילות ישרות ותמונותיהן תחת ההעתקה <math> f(z) = i \cdot z^3</math>. ניתן לראות כי בנקודת המפגש הזווית בין המסילות המקוריות שווה לזווית בין תמונותיהן]]
* פונקציה הולומורפית היא [[רציפות|רציפה]].
*סכום, מכפלה והרכבה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית.
*מנה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית בתנאי שהמכנה אינו מתאפס.
*כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית: היא גזירה אינסוף פעמים וניתנת לתיאור על ידי טור טיילור.
*ערכיה של פונקציה הולומורפית בתחום כלשהו (כולל שפתו) נקבעים בצורה יחידה על ידי הערכים שהפונקציה מקבלת על שפת התחום. זאת לפי [[נוסחת האינטגרל של קושי]].
*פונקציה הולומורפית נקבעת בכל התחום על פי ערכיה בקבוצה עם [[נקודת הצטברות]]. זהו [[משפט היחידות (אנליזה מרוכבת)|משפט היחידות]].
*פונקציה הולומורפית שנגזרתה אינה מתאפסת בנקודה מסוימת היא [[העתקה קונפורמית|קונפורמית]] – היא שומרת את הזווית בין עקומים שהיא מעתיקה. בצורה יותר כללית: אם כל הנגזרות שלה עד לנגזרת ה-<math>n</math> מתאפסות (לא כולל), היא מכפילה את הזווית בין העקומים שהיא מעתיקה פי <math>\ n</math>.
* [[עקרון המקסימום]] – פונקציה הולומורפית לא קבועה בתחום פתוח לא יכולה לקבל מקסימום (ב[[ערך מוחלט]]) ב[[פנים (טופולוגיה)|פנים התחום]], אלא רק על שפתו.

==אנליטיות==
תכונה מרכזית של פונקציות הולומורפיות היא אנליטיות. תכונה זו נובעת מ[[נוסחת האינטגרל של קושי]]. די להראות זאת סביב 0. אם <math>f</math> הולומורפית בעיגול <math>D</math>, אז לפי נוסחת האינטגרל של קושי, לכל <math>z</math> בפנים של <math>D</math>:
:<math>f(z) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(w) \over w-z}\, \mathrm{d}w </math>

מכיוון ש-<math>\left|{z \over w}\right|<1</math> אפשר לפתח את <math>1 \over w-z</math> ל[[טור הנדסי]] ולקבל:
:<math>f(z) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(w) \over w-z}\, \mathrm{d}w = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} f(w)\sum_{n=0}^\infty{z^n \over w^{n+1}}\, \mathrm{d}w = \sum_{n=0}^\infty {z^n \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(w) \over w^{n+1}}\, \mathrm{d}w</math>

כאשר ה[[התכנסות במידה שווה]] מובטחת מ[[מבחן M של ויירשטראס]]. לפי נוסחת האינטגרל של קושי לנגזרת מקבלים:
:<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty {z^n \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(w) \over w^{n+1}}\, \mathrm{d}w = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n</math>

כלומר [[טור טיילור]] של <math>f</math> מתכנס אליה.{{ש}}מ.ש.ל

==פונקציה מרובת משתנים==
באופן אנלוגי לאמור לעיל, ניתן להגדיר להכליל את המושג פונקציה הולומורפית לפונקציה של כמה משתנים. פונקציה <math>f:(z_1,z_2, \ldots, z_n) \mapsto f(z_1,z_2, \ldots, z_n)</math> ב <math>n</math> משתנים היא אנליטית בסביבה {{mvar|p}} אם קיימת סביבה של {{mvar|p}} שבה <math>f</math> שווה לטור חזקות מתכנס ב-<math>n</math> משתנים מרוכבים.<ref>Gunning and Rossi, ''Analytic Functions of Several Complex Variables'', p. 2.</ref> <math>f</math> היא הולומרפית בתחום פתוח {{mvar|U}} של <math>C^n</math> אם היא אנליטית בכל נקודה ב {{mvar|U}}. [[הלמה של אוסגוד]] {{אנג|Osgood's lemma|Osgood's lemma}} מראה כי לפונקציה רציפה <math>f</math>, התנאי לעיל שקול לכך ש<math>f</math> הולומורפית לכל משתנה בנפרד. [[משפט הרטוגס]] {{אנג|Hartogs's theorem on separate holomorphicity|Hartogs's theorem}} מוכיח שהנחת הרציפות אינה הכרחית: פונקציה <math>f</math> היא הולומורפית אם ורק אם היא הולומורפית בכל אחד מהמשתנים שלה בנפרד.

== ראו גם ==
* [[פונקציה אנליטית]]
* [[פונקציה מרומורפית]]
* [[פונקציה אנטי-הולומורפית]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{אנליזה מרוכבת}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות: מאפיינים|הולומורפית]]
[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]