הצגת המקור של הדף "פונקציה חלקה"

ב[[אנליזה מתמטית]], '''פונקציה חלקה''' היא [[פונקציה]] ש[[פונקציה גזירה|גזירה]] אינסוף פעמים, כלומר לכל <math>n</math> טבעי הנגזרת ה-<math>n</math>-ית קיימת.

קבוצת כל הפונקציות החלקות מסומנת <math>C^\infty</math>. הסימון הזה הוא חלק מסימון כללי יותר:

*את קבוצת כל הפונקציות הרציפות מסמנים <math>C^0</math> או רק <math>C</math> (לפעמים עם ציון התחום שבו הפונקציות רציפות, למשל <math>C([a,b])</math>).
*לכל n טבעי מסמנים ב <math>C^n</math> את קבוצת כל הפונקציות שגזירות n פעמים ושהנגזרת ה-<math>n</math>-ית של כל אחת מהן היא פונקציה רציפה.

הקבוצה <math>C^\infty</math> מוגדרת להיות החיתוך של כל הקבוצות <math>C^n</math>; כלומר <math> f \in C^\infty </math> אם ורק אם לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> <math>f \in C^n</math>.
 
==תכונות בסיסיות==
*אם <math>f</math> פונקציה חלקה אז גם ה[[נגזרת]] של <math>f</math> חלקה. יתר על כן, קל לראות ש- <math>C^\infty</math> היא הקבוצה המקסימלית שבה פעולת הגזירה היא באמת [[אופרטור]] (כלומר לכל <math> f \in C^\infty </math> קיימת נגזרת, <math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}</math>, והיא בתוך <math>C^\infty</math>).
*אם <math>f,g</math> פונקציות חלקות אז גם הסכום, המכפלה וההרכבה שלהן חלקות.
*כל [[פונקציה אנליטית]] היא פונקציה חלקה (ובפרט כל [[פונקציה אלמנטרית|הפונקציות האלמנטריות]] הן חלקות בכל תחום הגדרתן) אבל לא להפך.

לרב השימושים באנליזה מספיקות פונקציות גזירות פעמיים או שלוש אבל נוהגים להשתמש בפונקציות חלקות כדי לפשט את הניסוח של ההגדרות והמשפטים.

הפונקציות החלקות הן מאוד "גמישות". לדוגמה ניתן לבנות פונקציה חלקה ששווה ל-<math>1</math> על קבוצה סגורה <math>A</math>, ומתאפסת מחוץ לסביבה פתוחה של <math>A</math>, כאשר גם את <math>A</math> וגם את הסביבה הפתוחה אפשר לבחור כרצוננו. דבר כזה הוא בלתי אפשרי בפונקציות אנליטיות כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על [[קטע (מתמטיקה)|קטע סגור]] כלשהו [[משפט היחידות (אנליזה מרוכבת)|אז היא זהותית אפס]]. בדומה, ניתן לבנות [[חלוקת יחידה|חלוקות יחידה]] חלקות, אך לא ניתן לבנות חלוקות יחידה אנליטיות. על ידי פונקציות כאלו ניתן לבנות לכל [[פונקציה רציפה]] פונקציה חלקה שקרובה אליה כרצוננו.

==ראו גם==
* [[פונקציה אנליטית]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
{{עץ מיון של מרחבי פונקציות}}
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות: מאפיינים|חלקה]]