הצגת המקור של הדף "פונקציה יוצרת-הסתברות"

ב[[תורת ההסתברות]], [[פונקציה]] יוצרת-הסתברות של [[משתנה מקרי]], היא ייצוג על ידי [[טור חזקות]] של [[פונקציית הסתברות|פונקציית ההסתברות]] של ה[[משתנה מקרי|משתנה המקרי]].

== הגדרה מתמטית ==
יהי <math>X</math> משתנה מקרי המקבל ערכים שלמים אי-שליליים. אז עבור <math>s\in(0,1)</math>, פונקציה יוצרת הסתברות של <math>X</math> היא<math display="block">g_X(s):=\mathbb{E}[s^X]=\sum_{n=0}^\infty P(X=n)s^n</math>

== תכונות ==
=== נגזרת ===
עבור משתנה מקרי <math>X</math>, מתקיים <math>P(X=n)=\frac{g_X^{(n)}(0)}{n!}</math>ועבור <math>P(X=\infty)=P(\infty) = 1-g_x(1^-) </math>

=== יחידות ===
עבור משתנה מקרי <math>X</math>, הפונקציה <math>g_X(s)</math> קובעת את [[התפלגות]] <math>X</math> באופן יחיד

=== פונקציה יוצרת-הסתברות של סכום משתנים מקריים ===
עבור זוג [[אי תלות (סטטיסטיקה)|משתנים מקריים בלתי תלויים]], <math>X,Y</math> מתקיים שהפונקציה יוצרת-ההסתברות של הסכום שלהם היא <math>g_{X+Y}(s)=g_X(s)g_Y(s)</math>

יהי <math>N</math> משתנה מקרי, ויהיו <math>\{X_i\}_{i=1}</math> סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות, ונסמן <math>T=X_1+...+X_N</math>. אז הפונקציה יוצרת ההסתברות של <math>T</math> היא<math display="block">g_T(s)=g_N(g_{X_1}(s))</math>

== דוגמאות ==

=== משתנה פואסוני ===
יהי משתנה מקרי <math>X</math> [[התפלגות פואסון|המתפלג פואסונית]] <math>X\thicksim Poi(\lambda)</math>, הפונקציה יוצרת ההסתברות שלו היא

<math>g_X(s):=\sum_{n=0}^\infty P(X=n)s^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-\lambda}}{n!}\lambda^n s^n=e^{-\lambda}\sum_{n=0}^\infty \frac{(\lambda s)^n}{n!}=e^{-\lambda}e^{\lambda s}=e^{\lambda(s-1)}</math>

=== משתנה גאומטרי ===
יהי משתנה מקרי <math>X</math> [[התפלגות גאומטרית|המתפלג גאומטרית]] <math>X\thicksim G(p)</math>, הפונקציה יוצרת ההסתברות שלו היא

<math>g_X(s):=\sum_{n=1}^\infty P(X=n)s^n=\sum_{n=1}^\infty (1-p)^{n-1}p s^n=ps\sum_{n=0}^\infty (1-p)^{n} s^n=ps\frac{1}{1-s(1-p)}</math>

הערה:

יהי [[משתנה בינומי שלילי]] המתפלג <math>Y\thicksim NB(r,p)</math>. ידוע לנו שכל משתנה בינומי שלילי הוא סכום של משתנים גאומטריים בלתי תלויים ולכן מהנוסחה של סכום פונקציות יוצרות מתקיים <math>g_{Y}(s)=(g_X(s))^r</math>.

== לקריאה נוספת ==

* Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) ''Univariate Discrete distributions'' (2nd edition). Wiley. {{ISBN|0-471-54897-9}} (Section 1.B9)

== קישורים חיצוניים ==

* {{וידאו}}[https://www.youtube.com/watch?v=GL5DVQ2-5Fs הסבר כללי על פונקציה יוצרת הסתברות], מועבר על ידי מארק וויליס
{{קצרמר|מתמטיקה}}
[[קטגוריה:תורת ההתפלגויות]]