הצגת המקור של הדף "פונקציה יוצרת מומנטים"

ב[[הסתברות|תורת ההסתברות]] וב[[סטטיסטיקה]], '''פונקציה יוצרת מומנטים''' של [[משתנה מקרי]] היא [[פונקציה יוצרת]], שממנה אפשר לחשב בקלות יחסית את ה[[מומנט (סטטיסטיקה)|מומנטים]] של המשתנה. חשיבותה התאורטית בכך שבתנאים מסוימים אפשר לשחזר ממנה את ההתפלגות של המשתנה, והיא מאפשרת לבנות התפלגות מתוך המומנטים בלבד.

הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה מקרי <math>X</math> היא פונקציה על משתנה ממשי <math>t</math> המוגדרת כ[[תוחלת]] <math>M_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{tX}\right]</math>, כאשר זו קיימת. באופן אנלוגי מוגדרת ה[[פונקציה אופיינית (הסתברות)|פונקציה האופיינית]], כתוחלת <math>\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]</math>.

אם הפונקציה יוצרת המומנטים גזירה <math>n</math> פעמים בקטע הכולל את הנקודה <math>t=0</math>, אז המומנט ה-<math>n</math>-י של המשתנה הוא הנגזרת ה-<math>n</math>-ית של הפונקציה בנקודה זו, כלומר <math>\mathrm{E}[X^n] = M_X^{(n)}(0)</math>. לדוגמה, <math>M_X(0)=1</math>, <math>M_X'(0)=\mathrm{E}[X]</math> ו- <math>M_X''(0)=\mathrm{E}(X^2)</math>. אם הפונקציה גזירה [[אינסוף]] פעמים בסביבה של <math>0</math>, אפשר לפתח את הפונקציה יוצרת המומנטים ל[[טור טיילור]]: <math>M_X(t) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\mathrm{E}[X^n]}{n!}t^n</math>.

כאשר למשתנה יש התפלגות המוגדרת על ידי [[פונקציית צפיפות]], <math>M_X(-t)</math> היא [[התמרת לפלס]] דו-צדדית של פונקציית הצפיפות.

בתנאים מסוימים אפשר לשחזר את ההתפלגות כולה מן הפונקציה יוצרת המומנטים, ולכן גם מתוך המקדמים בפיתוח טיילור שלה, שהם כאמור המומנטים (מחולקים ב-<math>n!</math>).

== דוגמאות ==
הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה מקרי [[התפלגות נורמלית|נורמלי סטנדרטי]] <math>Z</math> היא <math>M_Z(t)=e^{t^2/2}</math>, שהרי

<math>M_Z(t)
= \mathrm{E}\left[e^{tZ}\right]
= \int_{-\infty}^\infty e^{tz} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} \,\mathrm{d}z
= e^{\frac{t^2}{2}} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(z-t)^2} \,\mathrm{d}z
= e^{\frac{t^2}{2}}</math>

והאינטגרל לפני השוויון האחרון הוא <math>1</math>, כאינטגרל של פונקציית צפיפות של משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי מוזז <math>t</math> יחידות (ניתן לראות שהאינטגרל הוא <math>1</math> גם מ[[אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים|החלפת משתנים]]).

למשתנה מקרי <math>X</math> בעל [[התפלגות אקספוננציאלית]] שתוחלתו <math>\theta</math> יש פונקציה יוצרת מומנטים המוגדרת עבור <math>\ t<\frac{1}{\theta}</math>, שהיא <math>M_X(t)=\frac{1}{1-\theta t}</math>. הנגזרת ה-<math>n</math>-ית היא <math>M_X^{(n)}(t)=\frac{n!\cdot \theta^n}{(1-\theta t)^{n+1}}</math>, והצבת <math>t=0</math> נותנת <math>\mathrm{E}[X^n]=M_X^{(n)}(0)=n! \theta^n</math>.

== קשרים בין משתנים ==
אם <math>\ a,b</math> מספרים ממשיים ו- <math>Y=aX+b</math> משתנה מקרי, אז <math>M_Y(t)=\mathrm{E}\left[e^{t(aX+b)}\right]=e^{bt}M_X(at)</math> מליניאריות התוחלת.

אם <math>\ X_1,\dots,X_n</math> [[משתנים בלתי תלויים]] ו- <math>S=X_1+\dots+X_n</math> סכומם, אז <math>M_S(t)=M_{X_1}(t)\cdots M_{X_n}(t)</math>. אפשר להוכיח שאם המשתנים הם שווי התפלגות, ובעלי תוחלת אפס ושונות 1, אז <math>\ M_{S/n}(t)\rightarrow e^{t^2/2}</math>, הפונקציה יוצרת המומנטים של התפלגות נורמלית סטנדרטית; זוהי, בעקרון, הוכחה של [[משפט הגבול המרכזי]].

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* Sheldon Ross, [http://julio.staff.ipb.ac.id/files/2015/02/Ross_8th_ed_English.pdf '''A First Course in Probability'''], Pearson Prentice Hall (8th edition, January 7, 2019), p. 354-365
* Hossein Pishro-Nik, [https://www.probabilitycourse.com/chapter6/6_1_3_moment_functions.php '''Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes'''], Kappa Research, LLC (August 24, 2014), p. 324-328
</div>

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:מומנטים (תורת ההתפלגויות)]]