הצגת המקור של הדף "פונקציה מרוכבת"

{{מקורות|נושא=מדעי הטבע|רמה=מחפש}}
'''פונקציה מרוכבת''' היא [[פונקציה]] המקבלת [[מספר מרוכב]] ומחזירה מספר מרוכב. לדוגמה, ה[[פולינום]] <math>z^2+5</math> מגדיר פונקציה מרוכבת, אבל אפשר לראות בו גם [[פונקציה ממשית]]. במובן הרחב יותר, המונח "פונקציה מרוכבת" עשוי להתייחס לכל פונקציה המחזירה ערכים מרוכבים, ללא חשיבות ל[[תחום של פונקציה#תחום ההגדרה|תחום ההגדרה]].

בשפה [[מתמטיקה|מתמטית]], פונקציה מרוכבת היא פונקציה מ[[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\mathbb{C}</math>, או תחום חלקי לו, אל קבוצת המספרים המרוכבים. בכתיב פונקציות ניתן לכתוב: <math> f : D \to \mathbb{C} </math>, כאשר <math>D \subseteq \mathbb{C}</math>.

==תיאור כפונקציה ממשית==
מכיוון שלכל מספר מרוכב יש חלק [[מספר ממשי|ממשי]] וחלק [[מספר מדומה|מדומה]], אפשר לתאר פונקציה <math> f \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> גם בצורה 
<math> \!\, f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y)</math> כאשר <math> u,v : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} </math>, כאשר <math>x,y</math> ממשיים, ו-<math>u,v</math> פונקציות ממשיות של שני משתנים.

== דוגמאות לפונקציות מרוכבות ==
יש מספר פונקציות מרוכבות בסיסיות:
*אם נסתכל על <math>\mathbb{C}</math> כעל <math>\mathbb{R}^2</math> נקבל את הפונקציות הבסיסיות <math>\operatorname{Re}(x+iy)=x , \operatorname{Im}(x+iy)=y</math> שהן בעצם ההטלות על הצירים.
*על ידי שימוש בתכונות השדה של <math>\mathbb{C}</math> נוכל להגדיר פולינומים עם מקדמים מרוכבים ו[[פונקציה רציונלית|פונקציות רציונליות]] (מנות של פולינומים).
* פונקציה חשובה אחרת היא פונקציית ה[[אקספוננט]] שמוגדרת על ידי הנוסחה:
: <math> \!\, f(z) = e^z = e^{(x+iy)} = e^x e^{iy} = e^x \left( \cos{y} + i \sin{y} \right)</math>
(ראו [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] להרחבה בעניין). קל לראות שעבור כל <math>x\in \mathbb{R}</math> מתקיימות הנוסחאות:<br>
:<math>\sin x =\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math>
:<math>\cos x =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math>
ולכן הגדירו את ה[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]] על המרוכבים לכל <math>z\in \mathbb{C}</math>:<br>
:<math>\sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math>
:<math>\cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>

עבור פונקציית ה[[לוגריתם]] יש בעיה של רב-ערכיות, מכיוון שהפונקציה <math>e^z</math> איננה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד ערכית]] (כלומר לא ניתן להגדיר ישירות את הלוגריתם כפונקציה ההפוכה של האקספוננט) ולכן מגדירים ענפי חיתוך כדי להפוך את הפונקציה לחד-ערכית בחזרה. ענפי החיתוך הם למעשה צמצומים של <math>e^z</math> לרצועות בהם החלק המדומה של המספרים חסום בתחום שקטן מ <math>2\pi</math>. על תחום כזה <math>e^z</math> [[פונקציה חד-חד-ערכית ועל|חד-חד-ערכית ועל]] ולכן [[פונקציה הפיכה|הפיכה]].

ניתן להגדיר בעזרת האקספוננט והלוגריתם גם חזקה מרוכבת: <math>z^w = e^{w\ln z}</math> כאשר <math>z,w</math> מספרים מרוכבים כלליים. הגדרת החזקה תלויה בבחירת ענף שבו מחשבים את הלוגריתם. לדוגמה בענף הסטנדרטי (שבו <math>\operatorname{Im} \ln z \in [0,2\pi )</math>) מתקבל:
:<math>(-1)^i=e^{i \ln(-1)}=e^{i \cdot i\pi}=e^{-\pi}</math>
ולעומת זאת בענף שבו <math>\operatorname{Im} \ln z \in [-\pi,\pi )</math> ההעלאה בחזקה תתן את התוצאה:<br>
:<math>(-1)^i=e^{i \ln(-1)}=e^{i \cdot (-i\pi)}=e^{\pi}</math>
כלומר יכולות להתקבל [[אינסוף]] (בעצם [[עוצמה (מתמטיקה)|אלף אפס]]) תוצאות שונות. כאשר המעריך הוא שלם מתקבלת תוצאה יחידה. באופן יותר כללי- אם המעריך הוא מהצורה <math>\frac{m}{n} \in \mathbb{Q}</math> (כלומר הוא [[מספר רציונלי]]) ו[[שבר (מתמטיקה)|השבר מצומצם]]- מתקבלות <math>n</math> תוצאות שונות מההעלאה בחזקה לפי בחירת הענף שעליו מבצעים את הלוגריתם. <br>
באותה צורה כמו שהפכנו את פונקציית האקספוננט לפונקציה מרוכבת (על ידי הצבת משתנה מרוכב ב[[טור טיילור]] שלו) ניתן להרחיב כל [[פונקציה ממשית]] בעלת טור טיילור לפונקציה מרוכבת.

==אנליזה מרוכבת==
ב[[אנליזה מרוכבת]] חוקרים פונקציות מרוכבות בעלות תכונות נוספות, כגון [[פונקציה הולומורפית|פונקציות הולומורפיות]], [[פונקציה מרומורפית|מרומורפיות]], [[פונקציה הרמונית|הרמוניות]]. ל[[אינטגרל|אינטגרלים]] מקום מרכזי בתאוריה.

===הגדרות===
כמו בפונקציות ממשיות, גם עבור הפונקציות המרוכבות אפשר להגדיר מושגים של [[גבול (מתמטיקה)|גבול]], [[רציפות]] ו[[נגזרת|גזירות]] באופן אנלוגי לחלוטין.

פונקציה שגזירה בכל תחום הגדרתה נקראת [[פונקציה אנליטית]] או [[פונקציה הולומורפית]]. פונקציה שאנליטית בכל המישור נקראת [[פונקציה שלמה]].

פונקציה היא [[פונקציה מרומורפית|מרומורפית]] אם היא הולומורפית בכל המישור פרט לקבוצת [[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קטבים]] מבודדים (או בשקילות, היא הולומורפית לתוך [[הספירה של רימן]]).

===תכונות ומבנה===
התנאי לגזירות של פונקציה מרוכבת מנוסח ב[[משוואות קושי-רימן]] - הפונקציה <math>f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y)</math> (כאשר <math>u,v</math> פונקציות ממשיות גזירות ברציפות) גזירה אם ורק אם <math>u_x=v_y, u_y = -v_x</math>.

משפט טיילור בגרסתו המרוכבת קובע כי אם [[פונקציה גזירה]] בתחום פתוח פעם אחת אזי יש [[טור טיילור]] יחיד שמתכנס אליה בסביבה מסוימת בתוך התחום, ובפרט היא גזירה שם אינסוף פעמים. היות שהחלקים הממשי והמדומה של פונקציה אנליטית הם [[פונקציה הרמונית|פונקציות הרמוניות]] (לפי משוואות קושי-רימן), ניתן להסיק כי [[פונקציה הרמונית]] גזירה אינסוף פעמים.

[[משפט האינטגרל של קושי]] קובע שכל אינטגרל מסילתי של [[פונקציה אנליטית]] על מסלול סגור ש[[הומולוגי לאפס]] שווה ל-0. בפרט, כל אינטגרל על מסילה רציפה וסגורה ב[[מרחב פשוט קשר|תחום פשוט קשר]] שווה לאפס, ולכן ממשפט קושי ניתן להסיק מתי מרחב איננו פשוט קשר. [[נוסחת האינטגרל של קושי]] מהווה כלי לחישוב [[אינטגרל קווי]] של פונקציה מרוכבת. באמצעות הכללה שלה אפשר לחשב את כל הנגזרות של פונקציה אנליטית, ובכך למצוא [[טור טיילור]] שלה.

מחקר של [[סינגולריות (מתמטיקה)|נקודות סינגולריות]] של פונקציות מרוכבות מקנה כלים חזקים לחישוב הפונקציה עצמה, אינטגרלים קוויים ונגזרות שלה. אחד מהם הוא [[משפט השאריות]], המאפשר לחשב [[אינטגרל קווי|אינטגרל מסילתי]] של פונקציה דרך נקודות הסינגולריות שלה. משפט חשוב נוסף הוא [[עקרון הארגומנט]], המהווה גם הוא כלי לחישוב האינטגרל של [[פונקציה מרומורפית]].

==ראו גם==
* [[אנליזה מרוכבת]]
* [[פונקציה הולומורפית]]
* [[פונקציה מרומורפית]]
* [[פונקציה הרמונית]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=פונקציה מרוכבת}}
* {{MathWorld|ComplexFunction}}
* לקריאה נוספת:  Ahlfors, Lars Valerian. ''[https://mccuan.math.gatech.edu/courses/6321/lars-ahlfors-complex-analysis-third-edition-mcgraw-hill-science_engineering_math-1979.pdf Complex Analysis : An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable]''.  3rd ed, McGraw Hill, 1979.

{{אנליזה מרוכבת}}
{{בקרת זהויות}}
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות|*]]

[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
[[uk:Теорія функції комплексної змінної]]