הצגת המקור של הדף "פונקציה סינגולרית"

[[קובץ:CantorEscalier-2.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[פונקציית קנטור]], דוגמה לפונקציה סינגולרית]]
ב[[אנליזה מתמטית]], '''פונקציה סינגולרית''' היא [[פונקציה ממשית]] המוגדרת ב[[קטע]], שהיא [[רציפות|רציפה]], לא־[[פונקציה קבועה|קבועה]], בעלת [[השתנות חסומה]] וש[[נגזרת]]ה מתאפסת [[כמעט בכל מקום]] (כב״מ).

ידוע שפונקציה שנגזרתה מתאפסת בכל מקום היא [[פונקציה קבועה]]. הפונקציות הסינגולריות מתקבלות כאשר מחלישים מעט את התנאי, ומאפשרים לנגזרת שלא להתאפס (ואפילו לא להיות מוגדרת) בחלק מהנקודות, כל עוד קבוצת הנקודות שבה הנגזרת לא מתאפסת היא זניחה ([[קבוצה ממידה אפס]]).

במקורות מסוימים בוחרים לדרוש שהפונקציה גם [[פונקציה מונוטונית|לא יורדת]]. יש גם מקורות שלא דורשים שהפונקציה תהיה רציפה.

==דוגמאות==
* [[פונקציית קנטור]] – זוהי פונקציה רציפה ולא יורדת ב[[קטע היחידה]] שקבועה בכל קטע שמוסר בבנייה של [[קבוצת קנטור]] ולכן היא סינגולרית.
* [[הפונקציה הסינגולרית של לבג]] – מטילים [[אינסוף]] פעמים [[הטלת מטבע|מטבע לא הוגן]] שההסתברות שייצא עץ היא <math>p \ne \tfrac12</math> וההסתברות שייצא פלי היא <math>1-p</math>. מגדירים מספר ממשי <math>X \in [0,1]</math> כך שהספרה ה[[בסיס בינארי|בינארית]] ה־n שלו היא 1 אם בהטלה ה־n יצא עץ, ו־0 אם בהטלה ה־n יצא פלי. [[פונקציית הצטברות|פונקציית ההצטברות]] של ה[[משתנה מקרי|משתנה המקרי]] <math>X</math>: <math>L_p(t) = P(X\le t)</math> היא הפונקציה הסינגולרית של לבג עם הפרמטר <math>p</math>. זוהי [[פונקציה מונוטונית|פונקציה עולה חזק]] ורציפה שלמרות זאת נגזרתה מתאפסת כב״מ.
* [[פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי]] – פונקציה המוגדרת לפי <math>\textstyle {\rm ?}(x) = a_0 + 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2^{a_1 + \cdots + a_n}}</math> כאשר <math>x = [a_0; a_1, a_2, \ldots]</math> היא ההצגה של x כ[[שבר משולב]] (מגדירים באופן אנלוגי לשבר משולב סופי). הפונקציה עולה חזק ובעלת מספר תכונות מעניינות. למשל היא ממפה שורשים של [[משוואה ריבועית]] למספרים רציונליים ומקיימת [[משוואה פונקציונלית|משוואות פונקציונליות]] מעניינות.

==תכונות==
[[אינטגרל לבג]] אינו מושפע מקבוצות ממידה אפס, ולכן לצורכי אינטגרציה של הנגזרת ניתן להניח שהנגזרת של פונקציה סינגולרית מוגדרת בכל מקום כפונקציית האפס.

פונקציות סינגולריות אינן [[אינטגרל לא מסוים]] של הנגזרת שלהן (בניגוד לקביעה של [[נוסחת ניוטון לייבניץ]] העוסקת בפונקציות גזירות בכל מקום). מכיוון שפונקציה סינגולרית <math>f</math> אינה קבועה קיימות נקודות <math>a<b</math> בתחומה כך ש־<math>f(a) \ne f(b)</math>, ולכן:
:<math>\int_a^b f' d\lambda = 0 \ne f(b)-f(a)</math>

זאת מכיוון שפונקציה סינגולרית אמנם רציפה, אך אינה [[רציפות בהחלט|רציפה בהחלט]] בקטע.{{הערה|[[פונקציה רציפה בהחלט]] היא פונקציה המקיימת שלכל <math>0<\epsilon</math> קיים <math>0<\delta</math> כך שלכל אוסף סופי של קטעים זרים בזוגות בתחום <math>(x_1,y_1),\ldots,(x_n,y_n)</math> המקיימים <math>\sum_{i=1}^n |y_i-x_i|< \delta</math> מתקיים <math>\sum_{i=1}^n |f(y_i)-f(x_i)|< \epsilon</math>.
}}
ידוע שפונקציה היא אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלה בקטע אם ורק אם היא רציפה בהחלט בקטע. כל אינטגרל לא מסוים הוא רציף בהחלט, ולכן פונקציה סינגולרית אינה אינטגרל מסוים של אף פונקציה.

==פירוק לבג==
לכל פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה <math>f</math> בקטע <math>[a,b]</math> יש פירוק מהצורה <math>f = f_1+f_2</math> כאשר <math>f_1</math> רציפה בהחלט ו־<math>f_2</math> סינגולרית או קבועה. הפירוק יחיד [[עד כדי]] חיבור קבוע לרכיב אחד וחיסורו מהרכיב השני. אפשר גם לדרוש ש־<math>f(a) = f_1(a)</math> ואז הפירוק יחיד לגמרי (ו־<math>f_2</math> היא סינגולרית או זהותית 0). משפט זה הוכח על ידי [[אנרי לבג]] ב־[[1904]]. בהסתמך על התכונות הידועות של פונקציות רציפות בהחלט ההוכחה פשוטה:

נגדיר <math>f_1(x) = \int_a^x f' d\lambda + f(a)</math> (פונקציה בעלת השתנות חסומה היא [[פונקציה גזירה|גזירה]] כב״מ ולכן הביטוי מוגדר היטב). כל אינטגרל לא מסוים הוא רציף בהחלט ולכן <math>f_1</math> רציפה בהחלט (ובפרט בעלת השתנות חסומה). פונקציה רציפה בהחלט היא אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלה ולכן <math>f_1' = f'</math> כב״מ. נגדיר <math>f_2 = f-f_1</math>. זו פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה (כהפרש פונקציות רציפות בעלות השתנות חסומה) ומתקיים <math>f_2' = f'-f_1' = 0</math> כב״מ, ולכן <math>f_2</math> סינגולרית או קבועה.

נראה שהפירוק יחיד. נניח שגם <math>f = g_1+g_2</math> פירוק של <math>f</math> ומתקיים <math>f(a) = g_1(a)</math>. אז מתקיים כב״מ:
:<math>(f_1-g_1)' = ((f-f_2)-(f-g_2))' = g_2'-f_2' = 0</math>

אולם <math>f_1-g_1</math> רציפה בהחלט ולכן אינה סינגולרית. מכאן שהיא קבועה. נשים לב כי <math>(f_1-g_1)(a) = f(a)-f(a) = 0</math> ולכן <math>f_1-g_1</math> פונקציית האפס. קיבלנו ש־<math>f_1 = g_1, f_2 = g_2</math> כנדרש.

אם מתירים לפונקציה סינגולרית [[קבוצה בת מנייה]] של [[נקודת אי רציפות|נקודות אי־רציפות]], אז לכל פונקציה בעלת השתנות חסומה (לא בהכרח רציפה) יש פירוק לבג. ההוכחה זהה, בתוספת העובדה שקבוצת נקודות האי־רציפות של פונקציה בעלת השתנות חסומה היא בת־מנייה, והיא גזירה כב״מ.

==ראו גם==
* [[רציפות בהחלט]]

==לקריאה נוספת==
* [http://www.ams.org/journals/tran/1943-053-03/S0002-9947-1943-0007929-6/S0002-9947-1943-0007929-6.pdf R. SALEM, On some singular monotonic functions what are strictly increasing]

==קישורים חיצוניים==
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Singular_function}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות: מאפיינים|סינגולרית]]
[[קטגוריה:תורת המידה]]
[[קטגוריה:פונקציות פתולוגיות|סינגולריות]]