הצגת המקור של הדף "פונקציה סתומה"

ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה סתומה''' היא [[פונקציה ממשית|פונקציה]] המוגדרת על ידי [[משוואה]], ולא באופן ישיר. לפעמים אפשר לפתור את המשוואה ולהציג את ה[[פונקציה]] באופן מפורש, אבל במקרים רבים ההצגה המפורשת פחות סימטרית מן המשוואה, ואין בה תועלת. [[משפט הפונקציה הסתומה]] מספק תנאים לקיומה של פונקציה המוגדרת באופן סתום על ידי מערכת משוואות, ואף מאפשר לחשב את הנגזרות שלה.

לדוגמה, משוואת ה[[מעגל]] <math>x^2+y^2=1</math> מגדירה שתי פונקציות -<math>y = \sqrt{1-x^2}</math> ו-<math>y = -\sqrt{1-x^2}</math>. את ה[[נגזרת]] של <math>y</math> לפי <math>x</math> אפשר לחשב ישירות מן המשוואה הקושרת את שני המשתנים: <math>2x+2yy'=0</math> ולכן <math>y' = -\frac{x}{y}</math>.

==דוגמאות==
[[עקום|עקומים]] מפורסמים רבים מוגדרים בצורה הפשוטה ביותר על ידי פונקציות סתומות:

===[[הלמניסקטה של ברנולי]]===
[[קובץ:Lemniscate.png|שמאל|ממוזער|100px|הלמניסקטה של ברנולי]]
* בקואורדינטות קרטזיות: <math>(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)</math>
* בקואורדינטות פולאריות: <math>r^2=a^2\cos2\theta</math>
כאשר <math>a</math> פרמטר קבוע כלשהו המשפיע על גודל וצורת העקום. ככל ש-a גדול יותר כך העקום גדול ומתוח יותר.

===[[הפוליום של דקארט]]===
[[קובץ:Foliumd1.gif|שמאל|ממוזער|100px|הפוליום של דקארט]]
* בקואורדינטות קרטזיות: <math>x^3+y^3=3axy</math>
* בקואורדינטות פולאריות: <math>r(\cos^3\theta+\sin^3\theta)=3a\sin\theta \cos\theta</math>

===השבלול של [[בלז פסקל|פסקל]]===
[[קובץ:Limacon of Pascal.png|שמאל|ממוזער|100px|השבלול של פסקל]]
* בקואורדינטות קרטזיות: <math>(x^2+y^2+ax)^2=b^2(x^2+y^2)</math>
* בקואורדינטות פולאריות: <math>(r+a\cos\theta)^2=b^2</math>

===הפרח של גראנדי===
[[קובץ:Grandi Seven petaled rose.jpg|שמאל|ממוזער|100px|הפרח של גראנדי (7 עלים)]]
* בקואורדינטות קרטזיות: <math>(x^2+y^2)^3=4a^2x^2y^2</math>
* בקואורדינטות פולאריות: <math>r=a\sin2\theta</math> או בצורה כללית: <math>r=\cos(n\theta)</math>

== נגזרת של פונקציה סתומה ==
ישנן מספר שיטות לגזירת פונקציה ומציאת הנגזרת שלה.

=== נגזרת של פונקציה מורכבת ===
לפי גישה אחת המשמשת אותנו למציאת הנגזרת של פונקציה סתומה, נכתוב <math>y=y(x)</math>, ואז <math>\frac{dy}{dx}=\frac{dy(x)}{dx}=y'</math>. לאחר שלקחנו נקודה זו בחשבון, נתייחס לגודל <math>y(x)</math> כפונקציה מורכבת של המשתנה הבלתי תלוי <math>x</math>. למשל, כאשר נגזור את המכפלה <math>xy</math> נגזור כאילו שהפונקציה <math>y</math> היא פונקציה ידועה. כלומר:

<math>\frac{d}{dx}(xy)=\frac{dx}{dx}y+x\frac{dy}{dx}=y+x \frac{dy}{dx}=y+xy'</math>

=== שימוש בנגזרות חלקיות===
לפי גישה אחרת, כל משוואה שמתארת פונקציה סתומה ניתן להביא לצורה <math>F(x,y)=0</math> (למשל על ידי העברת אגפים). היות שהפונקציה <math>F(x,y)</math> היא אפס באופן זהותי, גם <math>\frac{dF}{dx}=\frac{dF}{dy}=0</math> וכן <math>dF=0</math>. למעשה, הביטוי האחרון הוא [[המרחב המשיק|הדיפרנציאל השלם]] של הפונקציה, שעל פי הגדרתו ניתן להצגה בצורה הבאה:

<math>dF=\frac{\partial F }{\partial x} dx+ \frac{\partial F }{\partial y} dy</math>, וכמובן שבגלל [[יחס טרנזיטיבי|טרנזיטיביות]] יחס השוויון מתקיים <math>\frac{\partial F }{\partial x} dx+ \frac{\partial F }{\partial y} dy=0</math>. נחלק את שני אגפי המשוואה ב-<math>dx</math> ונקבל <math>\frac{\partial F }{\partial x}+\frac{\partial F }{\partial y} \frac{dy}{dx}=0</math>. כדי למצוא את הנגזרת של הפונקציה הסתומה, נרצה לבודד את <math> \frac{dy}{dx}</math>, וכאשר נצליח לעשות זאת, בדיוק נמצא את הנגזרת הסתומה. על ידי העברת אגפים, וחלוקה ב-<math>\frac{\partial F }{\partial y}</math> נקבל:

<math>\frac{dy}{dx}=- \frac{\partial F}{\partial x} / \frac{\partial F}{\partial y}</math>.

דוגמה:

נניח שנתונה המשוואה הסתומה <math>\sin(xy)=\ln(x^2+y^2)</math>, נעביר אגפים כדי לקבל את הצורה <math>\sin(xy)-\ln(x^2+y^2)=0</math>, וכעת נגדיר <math>F(x,y)=\sin(xy)-\ln(x^2+y^2)</math>.

נשתמש בזהות שפיתחנו, ולשם כך נמצא תחילה את <math>\frac{\partial F}{\partial x}</math> ו-<math>\frac{\partial F}{\partial y}</math>:

<math>\frac{\partial F}{\partial x}= y \cos(xy) - \frac{2x}{x^2+y^2}=\frac{(x^2+y^2)y \cos(xy)-2x}{x^2+y^2}</math>, <math>\frac{\partial F}{\partial y}=x \cos(xy)- \frac{2y}{x^2+y^2}= \frac{(x^2+y^2)x \cos(xy)-2y}{x^2+y^2}</math>.

עתה נציב את [[נגזרת חלקית|הנגזרות החלקיות]] לנוסחה שפיתחנו קודם לכן:

<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{(x^2+y^2)y \cos(xy)-2x}{x^2+y^2}/ \frac{(x^2+y^2)x \cos(xy)-2y}{x^2+y^2}= - \frac{(x^2+y^2)y \cos(xy)-2x}{(x^2+y^2)x \cos(xy)-2y}</math>

====שיטה לגזירה של פונקציה סתומה עם שני משתנים (וגם יותר)====
בהינתן משוואה המתארת פונקציה <math>F_{(x,y)}</math> בעלת 2 משתנים (לא משנה אם המשוואה מפורשת או נתונה בצורה סתומה):

# מבודדים את האפס - כלומר, מעבירים את כל האיברים לאגף אחד (לא חשוב איזה), כך שבאגף האחר יהיה רק אפס.
# מגדירים את האגפים כפונקציה חדשה של שלושה משתנים <math>G_{(x,y,F)}</math>, כמובן ששני אגפי המשוואה שווים, ולכן הפונקציה החדשה שווה לאפס.
# כעת נשתמש בנוסחה:

<math>F'_x = -\tfrac{G'_x}{G'_F}</math> זאת למעשה הנגזרת של <math>F</math> לפי <math>x</math>, ובאותו אופן נמצא את <math>F</math> לפי <math>y</math>:

<math>F'_y = -\tfrac{G'_y}{G'_F}</math> בנוסף, ניתן לקבל גם כן את הנגזרת של <math>x</math> לפי <math>F</math> וכן הלאה... (כאילו ש-<math>x</math> הוא הפונקציה ו-<math>F</math> היא המשתנה.)

וכעת דוגמה:

נתונה המשוואה: <math>ln(x)+y+sin(z)+z^2 = 4x

</math> ונניח שאנו רוצים את הנגזרת של <math>z</math> לפי <math>x</math>

# <math>ln(x)+y+sin(z)+z^2-4x = 0</math>
# <math>G_{(x,y,F)} = ln(x)+y+sin(z)+z^{2}-4x = 0</math>
# כעת יש לגזור את <math>G</math> לפי <math>x</math> ולגזור את <math>G</math> שוב, הפעם לפי <math>z</math>, ואז להציב בנוסחה.

==== הערה ====
יכול להיות (לדוגמה) שהנגזרת של אחד המשתנים (נניח <math>z</math>) לפי משתנה מסוים (נניח <math>x</math>), תהיה תלויה בין היתר גם במשתנה עצמו אשר אותו אנו גוזרים <math>(z)</math>, ולכן אם מבקשים מאיתנו למצוא את הנגזרת של <math>z</math> לפי <math>x</math> בנקודה מסוימת, לדוגמה <math>(1,2)</math> - אזי עלינו להציב במשוואה המקורית <math>x=1,y=2</math>. לאחר שנקבל את <math>z</math>, נוכל להציב את שלושתם בנגזרת.

==ראו גם==
* [[משפט הפונקציה הסתומה]]

==קישורים חיצוניים==

*[http://mathworld.wolfram.com/Rose.html הפרח של גראנדי]
*{{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}


[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות: מאפיינים|סתומה]]