הצגת המקור של הדף "פונקציה עצמית"

[[קובץ:Drum_vibration_mode12.gif|מסגרת|פתרון זה של בעיית התוף הרוטט היא - בכל נקודת זמן - פונקציה עצמית של [[לפלסיאן]] על דיסקה.]]
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה עצמית''' של [[העתקה ליניארית]] ''D'' המוגדרת על מרחב פונקציות כלשהו היא כל פונקציה ''f'', שאינה [[פונקציה אפסית|פונקציית האפס]] במרחב זה, שכאשר מופעלת על ידי ההעתקה ''D'', היא רק מוכפלת ב[[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]], המכונה [[ערך עצמי]]. ניתן להציג תנאי זה על ידי ה[[משוואה]] Df = λf עבור ערך עצמי [[סקלר (מתמטיקה)|סקלרי]] λ {{Sfn|Davydov|1976|p=20}}{{הערה|שם=Wolfram Eigenfunction|{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Eigenfunction.html|title=Eigenfunction|accessdate=April 12, 2016|publisher=Wolfram Research, Inc.|last=Wasserman|first=Eric W.|year=2016|work=MathWorld--A Wolfram Web Resource}}}}.

פתרונות המשוואה הזו אף עשויים להיות מוגדרים על ידי [[תנאי שפה]], אשר מגבילים את הערכים האפשריים של ה[[ערך עצמי|ערכים העצמיים]] ושל הפונקציות העצמיות.

פונקציה עצמית היא [[מקרה פרטי]] של '''[[ערך עצמי|וקטור עצמי]]'''.

== פונקציות עצמיות ==
באופן כללי, [[וקטור עצמי]] של ה[[אופרטור|אופרטור הליניארי]] ''D'' מוגדר ב[[מרחב וקטורי]] הוא [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]], אשר כאשר ההעתקה ''D'' פועלת עליו הוא אינו משנה את כיוונו, אלא גודלו מוכפל בערך סקלרי הנקרא ערך עצמי. במקרה המיוחד בו ''D'' מוגדר על מרחב פונקציות, הווקטורים העצמיים מכונים '''פונקציות עצמיות'''. כלומר, הפונקציה ''f'' היא פונקציה עצמית של ''D,'' אם היא מקיימת את המשוואה Df = λf, כאשר λ הוא סקלר.{{Sfn|Davydov|1976|p=20}}{{הערה|שם=Wolfram Eigenfunction|{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Eigenfunction.html|title=Eigenfunction|accessdate=April 12, 2016|publisher=Wolfram Research, Inc.|last=Wasserman|first=Eric W.|year=2016|work=MathWorld--A Wolfram Web Resource}}}} כאמור לעיל, פתרונות המשוואה עשויים להיות כפופים ל[[תנאי שפה]]. משום כך, אוסף הערכים האפשריים של λ בדרך כלל מוגבל לסט ערכים בדידים ... λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, או רצף ערכים בטווח מסוים. קבוצת הערכים העצמיים האפשריים של ''D'' מכוּנה לפעמים [[ספקטרום (מתמטיקה)|ספקטרום הערכים]], אשר עשוי להיות בדיד, רציף, או שילוב של שניהם.{{Sfn|Davydov|1976|p=20}}

כל ערך של λ מתאים לאחת או יותר פונקציות עצמיות. אם מספר פונקציות עצמיות בלתי תלויות ליניארית בעלות ערך עצמי זהה, אזי הערך העצמי הנ"ל נקרא [[ניוון (פיזיקה)|מנַוון]] והמספר המרבי של פונקציות עצמיות בלתי תלויות ליניארית הקשורות באותו ערך עצמי הוא דרגת הניוון של הערך העצמי או "ה[[ערך עצמי|ריבוי הגאומטרי]]".{{Sfn|Davydov|1976|p=21}}

=== דוגמת שימוש בגזירה ===
מחלקה נפוצה לדוגמה היא אופרטורים דיפרנציאליים במרחב <sup>∞</sup>'''C''' של פונקציות אמתיות או מדומות, הגזירות [[אינסוף]] פעמים המהווים מחלקה של אופרטורים ליניאריים על ארגומנט ממשי או מרוכב t. לדוגמה, נבחן את אופרטור הגזירה <math>\tfrac{d}{dt}</math> עם משוואת ערך עצמי
:<math> \frac{d}{dt}f(t) = \lambda f(t).</math>
ה[[משוואה דיפרנציאלית רגילה|משוואה הדיפרנציאלית]] שלמעלה, ניתנת לפתרון על ידי הכפלת שני הצדדים ב <math>\tfrac{dt}{f(t)}</math> ואז ביצוע אינטגרציה. הפתרון שלה, ה[[אקספוננט|פונקציה המעריכית]]
:<math> f(t)=f_0 e^{\lambda t},</math>
הוא פונקציה עצמית של אופרטור הנגזרת, כאשר ''f''<sub>0</sub> הוא פרמטר התלוי בתנאי הגבול. נשים לב כי במקרה זה הפונקציה העצמית היא בעצמה הפונקציה של הערך העצמי המשויך אליה λ, אשר יכול לקבל כל ערך אמיתי או מרוכב. בפרט, נשים לב כי עבור λ = 0 את הפונקציה העצמית (''f''(''t'' קבועה.

נניח בדוגמה ש (''f''(''t'' נתון לתנאי השפה (א) ''f''(0) = 1, (ב) 2 = <math>\tfrac{df}{dt}|_{t=0}</math> אם כך אנו מוצאים ש
:<math> f(t)=e^{2t},</math>
כאשר λ = 2 הוא הערך העצמי היחיד של המשוואה הדיפרנציאלית שגם עונה על תנאי הגבול.

=== קישור לערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות ===
ניתן להביע פונקציות עצמיות כעמודה וקטורית ואופרטורים ליניאריים ניתנים להבעה כמטריצות, אולם הם יכולים להיות בעלי ממדים אינסופיים. כתוצאה מכך, רבים מהמושגים הקשורים לווקטורים עצמיים של מטריצות דורשים מחקר של פונקציות עצמיות.

להגדיר את [[מרחב מכפלה פנימית|המכפלה הפנימית]] בתוך מרחב הפונקציות כל ''D'' מוגדר
:<math> \langle f,g \rangle = \int_{\Omega} dt\ f^*(t)g(t),</math>
[[אינטגרל]] על טווח של ''t'' הנקרא Ω.

נניח שלמרחב הפונקציות [[מערכת אורתונורמלית שלמה|בסיס אורתונורמלי]] הנתון על ידי קבוצת פונקציות {(''u''<sub>1</sub>(''t''), ''u''<sub>2</sub>(''t''), ..., ''u''<sub>''n''</sub>(''t''}, כאשר ''n'' יכול להיות אינסופי. עבור בסיס אורתונורמלי
:<math> \langle u_i,u_j \rangle = \int_{\Omega} dt\ u_i^*(t)u_j(t) = \delta_{ij} =
\begin{cases}
 1 & i=j \\
 0 & i \ne j
\end{cases},</math>
כאשר δ<sub>ij</sub> היא [[הדלתא של קרונקר]] , ויכולה להיחשב כאלמנטים של [[מטריצת היחידה]].

פונקציות יכולות להיכתב כצרוף ליניארי של פונקציות הבסיס,
:<math>f(t) = \sum_{j=1}^n b_j u_j(t),</math>
לדוגמה בעזרת [[טור פורייה|התמרת פורייה]] של (''f''(''t''. המקדמים ''b''<sub>''j''</sub> יכולים להערם לוקטור עמודה (''n'' על 1), כלומר {{ללא גלישה|1=''b'' = [''b''<sub>1</sub> ''b''<sub>2</sub> ... ''b''<sub>''n''</sub>]<sup>T</sup>}}. במקרים מיוחדים, כגון המקדמים של סדרת פורייה של פונקציית סינוס, לוקטור העמודה יש מימד סופי.

בנוסף, נגדיר ייצוג מטריציוני של האופרטור הליניארי ''D'' עם אלמנטים
:<math> A_{ij} = \langle u_i,Du_j \rangle = \int_{\Omega} dt\ u^*_i(t)Du_j(t).</math>
אנחנו יכולים לכתוב את הפונקציה (''Df(t'' כצירוף ליניארי של פונקציות הבסיס או כ ''D'' הפועל על ההרחבה של (''f''(''t'',
:<math>Df(t) = \sum_{j=1}^n c_j u_j(t) = \sum_{j=1}^n b_j Du_j(t).</math>
אם לוקחים את החלק הפנימי של כל צד של המשוואה עם בסיס שרירותי של פונקציות (''ui''(''t'',
:<math>\begin{align}
 \sum_{j=1}^n c_j \int_{\Omega} dt\ u_i^*(t)u_j(t) &= \sum_{j=1}^n b_j \int_{\Omega} dt\ u_i^*(t)Du_j(t), \\
 c_i &= \sum_{j=1}^n b_j A_{ij}.
\end{align}</math>
זהו כפל מטריצה ''Ab'' = ''c'' הכתוב כסכימה והוא המקביל המטריצי של האופרטור ''D'' הפועל על הפונקציה (''f''(''t'' ומובע בעזרת הבסיס האורתונורמלי. אם (''f''(''t'' היא פונקציה עצמית של ''D'' עם ערך עצמי λ, אז ''Ab'' = λ''b''.

=== ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות של אופרטורים הרמיטיים ===
רבים מהאופרטורים שפוגשים בפיזיקה הם [[אופרטור הרמיטי|הרמיטיים]]. נניח את אופרטור ליניארי ''D'' הפועל על מרחב פונקציות המהווה [[מרחב הילברט]] עם בסיס אורתונורמלי הנתון על ידי קבוצת פונקציות {''u''<sub>1</sub>(''t''), ''u''<sub>2</sub>(''t''), ..., ''u''<sub>''n''</sub>(''t''}, כאשר ''n'' יכול להיות אינסופי. בבסיס זה, לאופרטור ''D'' יש מטריצת ייצוג ''A'' עם אלמנטים
:<math> A_{ij} = \langle u_i,Du_j \rangle = \int_{\Omega} dt\ u^*_i(t)Du_j(t).</math>
אינטגרל על טווח של t הנקרא Ω.

באנלוגיה עם מטריצות הרמיטיות, ''D'' הוא אופרטור הרמיטי אם *''A''<sub>''ij''</sub> = ''A''<sub>''ji''</sub>, או
:<math>\begin{align}
\langle u_i,Du_j \rangle &= \langle Du_i,u_j \rangle, \\
\int_{\Omega} dt\ u^*_i(t)Du_j(t) &= \int_{\Omega} dt\ u_j(t)[Du_i(t)]^*
\end{align}</math>
נשקול את האופרטור ההרמיטי ''D'' עם ערכים עצמיים ... ,λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, הפונקציות העצמיות המקבילות ... ,(''f''<sub>1</sub>(''t''), ''f''<sub>2</sub>(''t''. לאופרטור ההרמיטי יש את התכונות הבאות:
* הערכים העצמיים שלו אמיתיים, λ''i*'' = λ''i''{{Sfn|Davydov|1976|p=21}}
* הפונקציות העצמיות שלו מקיימות תנאי [[אורתוגונליות]] תנאי, 0=<math>\langle f_i,f_j \rangle </math> אם i≠j{{Sfn|Davydov|1976|p=24}}{{Sfn|Davydov|1976|p=29}}
התנאי השני תמיד טומן בחובו λ<sub>''i''</sub> ≠ λ<sub>''j ''</sub>. בשביל פונקציות עצמיות מנוונות עם אותו ערך עצמי λ<sub>''i''</sub>, ניתן תמיד למצוא פונקציות עצמיות אורתוגונליות שיפרשו את המרחב העצמי הקשור ל λ<sub>''i''</sub>, למשל באמצעות [[תהליך גרם-שמידט]]. כתלות ברציפות או בדידות הספקטרום, הפונקציות העצמיות יכולות להיות מנורמלות על ידי הגדרת תוצר פנימי של פונקציות עצמיות השווה לדלתא של קרונקר או [[פונקציית דלתא של דיראק|פונקציית הדלתא של דיראק]], בהתאמה.{{Sfn|Davydov|1976|p=29}}{{Sfn|Davydov|1976|p=25}}

עבור אופרטורים הרמיטיים רבים, כגון [[תורת שטורם-ליוביל|אופרטורים של שטורם-ליוביל]], תכונה שלישית היא
* הפונקציות העצמיות יוצרות בסיס של מרחב הפונקציות שבו האופרטור מוגדר
כתוצאה מכך, במקרים חשובים רבים, הפונקציות העצמיות של אופרטור הרמיטי יוצרות בסיס אורתונורמלי. במקרים אלו, פונקציה שרירותית יכולה [[צירוף ליניארי]] של הפונקציות העצמיות של האופרטור ההרמיטי.

== יישומים במשוואות דיפרנציאליות חלקיות==
אחד היישומים העיקריים של פונקציות עצמיות בפיזיקה והנדסה היא ב[[משוואות דיפרנציאליות חלקיות]]. משוואות אלו מתארות קשרים בין השינויים של הפונקציה בפרמטרים שונים, לדוגמה, [[התפלגות]] חום על מוט לרוב תקיים את [[משוואת החום]]: <math>\frac{\partial \psi}{\partial t} - D \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=0</math> כש-<math>D</math> מקדם הדיפוזיה, וסטיית הטמפרטורה משיווי משקל בכל נקודה נתונה על ידי <math>\psi(x,t)</math>. אחת השיטות הנפוצות לפתירת משוואות מסוג זה נקראת [[הפרדת משתנים]], בה לרוב מנסים להגיע להפרדה של כל הגורמים התלוי במשתנה אחד באגף אחד של המשוואה משאר האגפים (במשוואת החום העברת אגף פשוטה מספיקה: <math>\frac{\partial \psi}{\partial t} = D \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}</math>). אחרי שעושים זאת, באגף המופרד קיים אופרטור ליניארי שעל ידי מציאת הפונקציות העצמיות שלו ניתן לקבל הורדה של אחת הנגזרות מהמשוואה. הפונקציות העצמיות של <math>D\frac{\partial^2}{\partial x^2}</math> הן <math>\cos kx, \sin kx </math> עבור k כלשהו (משום שגזירה פעמיים של הפונקציות האלו נותנות אותן פונקציות עד כדי כפל ב- <math>-Dk^2</math>). כלומר, עבור התפלגות חום שהיא כפל של הפונקציה העצמית המרחבית בפונקציה זמנית כלשהי: <math>\psi(x,t)=\cos kx \cdot T(t)</math>, נקבל משוואה פשוטה על החלק הזמני: <math> \frac{dT}{dt}=-Dk^2 T</math>, לה קיים פתרון: <math>T(t)=A e^{-Dk^2 t}</math>. כלומר, מציאת הפונקציות העצמיות של האופרטור נתנו לנו תיאור פשוט של ההתנהגות שלהן בזמן. השיטה נפוצה במשוואות דיפרנציות חלקיות רבות כמו [[משוואת הגלים]], [[משוואת לפלס]], [[משוואת שרדינגר]] ועוד.

=== מיתרים רוטטים - משוואת הגלים ===
[[קובץ:Standing_wave.gif|ממוזער|270x270 פיקסלים|צורה של גל עומד במיתר הקבוע בשני קצותיו הוא דוגמה של פונקציה עצמית של אופרטור דיפרנציאלי. הערכים העצמיים הקבילים נקבעים על ידי אורך המיתר, וקובעים את תדירות התנודה.]]
אם <math>h(x, t)</math> מציין את המרחק האנכי של מיתר [[אלסטיות|אלסטי]] מתוח, כגון מיתרים רוטטים של [[כלי מיתר]], כפונקציה של המיקום x לאורך החוט, ושל הזמן t. החלת חוקי המכניקה לחלקים [[אינפיניטסימל|האינפיניטסימליים]] של המיתר, הפונקציה h עונה על [[משוואה דיפרנציאלית חלקית|המשוואה הדיפרנציאלית החלקית]]
:<math>\frac{\partial^2 h}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2 h}{\partial x^2},</math>
הנקראת [[משוואת הגלים]] (בחד־ממד). כאן c היא מהירות קבועה, התלויה במתח ומסת החוט.

בעיה זו פועלת על פי עקרונות ה[[הפרדת משתנים]]. אם נניח כי <math>h(x, t)</math> יכול להיכתב כתוצר מהצורה <math>X(x)T(t)</math>, אנו יכולים ליצור זוג משוואות דיפרנציאליות רגילות:
:<math>\frac{d^2}{dx^2}X=-\frac{\omega^2}{c^2}X, \qquad \frac{d^2}{dt^2}T=-\omega^2 T.</math>
כל אחת היא משוואת ערך עצמי עם ערכים עצמיים <math>-\tfrac{\omega^2}{c^2}</math> ו־''ω<sup>2</sup>'', בהתאמה. עבור כל הערכים של ω ו־c, המשוואות מקוימות על ידי הפונקציות
:<math>X(x) = \sin\left(\frac{\omega x}{c} + \varphi\right), \qquad T(t) = \sin(\omega t + \psi),</math>
כאשר [[זווית|זוויות]] הפאזה φ ו־ψ הם קבועים שרירותיים אמיתיים.

אם נכפה תנאי סף, לדוגמה שקצות המיתר מקובעים ב x = 0, וב x = L כלומר X(0) = X(L) = 0 וגם ש T(0) = 0 מקבעים את הערכים העצמיים. עבור תנאי סף אלו, sin(φ) = 0 וגם sin(ψ) = 0 לכן זוויות הפאזה φ = ψ = 0 וגם 
:<math>\sin\left(\frac{\omega L}{c}\right) = 0.</math>
תנאי הגבול האחרון מחייב את ω לקחת את הערך

: <math>\omega_n = \frac{nc\pi}{L}</math>

, שבו n הוא כל [[מספר שלם]]. לפיכך, המיתר המהודק תומך במשפחה של [[גל עומד|גלים עומדים]] של מהצורה
:<math>h(x,t) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L} \right) \sin(\omega_n t).</math>
בדוגמה של כלי זמר בעלי מיתרים, התדירות <math>\omega_n</math> הוא התדירות של ההרמוניה ה- n<sup>th</sup>, אשר נקראת הצליל העילי ה[[צליל עילי]] ה n − 1)<sup>th</sup>).

=== משוואת שרדינגר ===
{{ערך מורחב|משוואת שרדינגר}}
ב[[מכניקת הקוונטים]], משוואת שרדינגר
:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = H \Psi(\mathbf{r},t)</math>
עם אופרטור [[המילטוניאן]]
:<math> H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+ V(\mathbf{r},t)</math>
ניתנת לפתרון על ידי הפרדת משתנים, אם ההמילטוניאן אינו תלוי במפורש בזמן.{{Sfn|Davydov|1976|p=51}} במקרה זה, [[פונקציית גל|פונקציית הגל]] (<span class="texhtml">Ψ('''r''',''t'') = ''φ''('''r''')''T''(''t''</span> מובילה לשתי משוואות דיפרנציאליות,

שתי המשוואות הדיפרנציאליות הן משוואות עצמיות, עם ערך עצמי E. כפי שמוצג בדוגמה הקודמת, את הפתרון של המשוואה הוא מעריכי:
:<math> T(t) = e^\tfrac{-iEt}{\hbar}</math>
משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן. הפונקציות העצמיות φ של אופרטור ההמילטוניאן הן מצבים יציבים של המערכת הקוונטית, כל אחד עם המקבילה האנרגטית E<sub>k</sub>. הם מייצגים ערכים מותרים מצבים אנרגטיים של המערכת, ועשויים להיות מוגבלים על ידי תנאי השפה.

אופרטור ההמילטוניאן H הוא דוגמה של [[אופרטור הרמיטי]] שלו פונקציות עצמיות היוצרים בסיס אורתונורמלי. כאשר ההמילטוניאן אינו תלוי מפורשות בזמן, פתרונות כלליים של משוואת שרדינגר הם קומבינציה ליניארית המצבים היציבים מוכפלים באוסילטור (<span class="texhtml">''T''(''t'')</span>,{{Sfn|Davydov|1976|p=52}}
:<math> \Psi(\mathbf{r},t) = \sum_k c_k \varphi_k(\mathbf{r}) e^\tfrac{-iE_kt}{\hbar} </math>
או, עבור מערכת עם [[ספקטרום רציף]],
:<math> \Psi(\mathbf{r},t) = \int dE c_E \varphi_E(\mathbf{r}) e^\tfrac{-iEt}{\hbar}</math>
ההצלחה של משוואת שרדינגר להסביר את מאפייני הספקטרום של מימן נחשב לאחד ההישגים הגדולים ביותר של הפיזיקה במאה ה-20.

=== אותות ומערכות ===
במחקר של אותות ומערכות, פונקציה עצמית של מערכת היא אות (<span class="texhtml">''f''(''t''</span>, אשר כאשר נקלט למערכת, מייצר תגובה (<span class="texhtml">''y''(''t'') = ''λf''(''t''</span>, כאשר λ הוא ערך עצמי מרוכב סקלרי.

== ראו גם ==
* [[התמרת פורייה]]

== לקריאה נוספת ==
{{ltr|
* Courant, R.; Hilbert, D. ''Methods of Mathematical Physics''. {{ISBN|0471504475}} (Volume 1 Paperback), {{ISBN|0471504394}} (Volume 2 Paperback), {{ISBN|0471179906}} (Hardback)
* {{Cite book|title=Quantum Mechanics|last=Davydov|first=A. S.|publisher=Pergamon Press|others=Translated, edited, and with additions by D. ter Haar|year=1976|isbn=0080204384|edition=2nd|location=Oxford}}
* {{Cite book|title=Signals and systems|last2=Rabenstein|first2=Rudolf|last3=Stenger|first3=Alexander|publisher=Wiley|year=2001|isbn=0471988006|edition=2nd|last1=Girod|first1=Bernd}}
* {{Cite book|title=Mathematical Physics|last2=Westwig|first2=Erik|publisher=Wiley Interscience|year=1998|isbn=0471154318|location=New York|last1=Kusse|first1=Bruce}}
}}

== קישורים חיצוניים ==
* תמונות נוספות (לא GPL) ב [https://daugerresearch.com/orbitals/index.shtml אטום בקופסה]
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]