הצגת המקור של הדף "פונקציה קעורה"

[[קובץ:Concave.png|שמאל|ממוזער|דוגמה ל[[גרף של פונקציה]] קעורה: כל הקטעים המחברים בין שתי נקודות בגרף נמצאים מתחתיו.]]
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציה קעורה''' ב[[קטע]] מסוים היא [[פונקציה]] אשר עבור כל שתי נקודות באותו הקטע, הישר המחבר בין שתי הנקודות נמצא מתחת ל[[גרף פונקציה|גרף הפונקציה]].

אף על פי שעל פי ההגדרה הלשונית של המילים "[[קמרון (אדריכלות)|קמור]]" ו"[[קערה|קעור]]", העקום המתקבל הוא '''קמור''' מלמעלה, בהגדרה המתמטית העקום נבחן מלמטה ולכן הוא מכונה '''פונקציה קעורה'''.

==הגדרה==
:'''הגדרה''': תהא <math>\ f(x)</math> פונקציה המוגדרת בקטע <math>\left[a,b\right]</math>. הפונקציה תקרא '''קעורה''' בקטע אם עבור כל <math>\!\, x,y\isin [a,b]</math> וכל <math>\!\, 0\le \lambda \le 1</math> מתקיים אי השוויון <math>\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)\le f(\lambda x + (1-\lambda)y)</math>.
:בפשטות, הגדרה זו מציינת כי לכל פונקציה <math>f(x), \{ \; x \;| \;x \isin R \;\}</math>, כל נקודה על הקטע שבה <math>x \isin [a, b]</math> תהיה מעל או על הישר המחבר את הנקודות <math>(a, f(a))</math> ו- <math>(b, f(b))</math>.
:אם הפונקציה היא עקומה, אז הנקודה תהיה מעל הישר במקרה ש- <math>x \isin (a, b)</math> ותהיה על הישר במקרה ש- <math>x = a, b</math>. אם הפונקציה היא [[ישר|קו ישר]], אז הנקודה תמיד תהיה על הישר.

:'''הגדרה שקולה''': <math>\ f(x)</math> היא קעורה אם <math>\ -f(x)</math> היא [[פונקציה קמורה|קמורה]].

אם <math>\,f</math> גזירה בקטע פתוח, אזי <math>\,f</math> קעורה בו '''אם ורק אם''' הנגזרת <math>\,f'</math> היא [[פונקציה מונוטונית]] יורדת.

אם הפונקציה גזירה פעמיים בקטע, ניתן לזהות קעירות באמצעות ה[[נגזרת]] השנייה שלה: אם הנגזרת השנייה שלילית בכל הקטע, הפונקציה קעורה בו.

[[תנאי מספיק]] נוסף לקעירות פונקציה מבוטא בעזרת ה[[היפוגרף]] שלה: פונקציה היא קעורה אם ההיפוגרף שלה הוא [[קבוצה קמורה]].

==פונקציות ליניאריות==
[[פונקציה ליניארית]] נחשבת קעורה ו[[פונקציה קמורה|קמורה]] בעת ובעונה אחת, בגלל אי־השוויון החלש (<math>\leq</math> ו־<math>\geq</math>). פיתוח של הגדרת הקמירות או הקעירות, כאשר הפונקציה המדוברת היא ליניארית, מוביל לשוויון ממש בין שני האגפים.

==ראו גם==
* [[פונקציה קמורה]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=פונקציה קעורה}}
* {{MathWorld}}

{{אנליזה מתמטית}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אופטימיזציה רציפה]]
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות: מאפיינים|קעורה]]
[[קטגוריה:קמירות]]