הצגת המקור של הדף "פונקציה רציפה (אנליזה)"

{{מפנה|רציפות|תפיסה האינטואיטיבית של רצף|רציפות (פילוסופיה)}}
{{מפנה|פונקציה רציפה|מונח בתחום הטופולוגיה|פונקציה רציפה (טופולוגיה)}}
{{סימון מתמטי}}
[[קובץ:Sin.svg|שמאל|ממוזער|250px|פונקציית ה[[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] רציפה בכל נקודה]]
[[קובץ:Dirac distribution CDF.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[פונקציית מדרגה|פונקציית המדרגה]] אינה רציפה בנקודה <math>x=0</math>]]
ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], '''רְצִיפוּת''' היא תכונה של [[פונקציה ממשית]]. נאמר על פונקציה שהיא רציפה אם לכל נקודה ב[[תחום של פונקציה|תחום]] ה[[גבול של פונקציה|גבול]] שווה לערך הפונקציה באותה נקודה. באופן אינטואיטיבי, פונקציה רציפה היא פונקציה שאפשר לצייר את ה[[גרף של פונקציה|גרף]] שלה מבלי להרים את העיפרון מהדף.  

רציפות היא [[תנאי הכרחי]] ל[[פונקציה גזירה|גזירות]], אך לא [[תנאי מספיק]]. בנוסף, כל [[פונקציה אלמנטרית]] היא פוקנציה רציפה ב[[תחום הגדרה|תחום הגדרתה]].  

רעיונות דומים מופיעים באופן כללי יותר ב[[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]] ואפילו [[מרחב טופולוגי|מרחבים טופולוגיים]] כלליים, ראו: [[רציפות (טופולוגיה)]].

== הגדרות ==
פונקציה רציפה בנקודה אם יש לה [[גבול של פונקציה|גבול]] באותה נקודה והוא שווה לערך הפונקציה, כלומר <math> \lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)</math>. לפיכך, ניתן להגדיר רציפות בשתי גישות שונות, כמו בהגדרת גבול.

תהי <math>f</math> פונקציה המקבלת ומחזירה ערכים ממשיים, המוגדרת בסביבה של <math>\ x_0</math>.

'''הגדרת הרציפות על-פי [[ויירשטראס]] באפסילון ודלתא''' (<math>\varepsilon,\delta</math>):

: הפונקציה <math>f</math> '''רציפה''' בנקודה <math>x_0</math> אם לכל <math>\varepsilon > 0</math> (קטן כרצוננו) קיים <math>\delta>0</math> מתאים כך שאם <math>|x-x_0| < \delta </math> אז <math>|f(x)-f(x_0)| < \varepsilon</math>.

'''הגדרת הרציפות על-פי [[אדוארד היינה|היינה]], בלשון הסדרות''':

: הפונקציה <math>f</math> '''רציפה''' בנקודה <math>x_0</math> אם לכל סדרה <math>\left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>x_n\to x_0</math> מתקיים <math>f(x_{n})\to f(x_0)</math>.

כאמור לעיל, שתי ההגדרות לרציפות שקולות.

==פעולות בין פונקציות==
* סכום והפרש של שתי פונקציות רציפות הן פונקציות רציפות (דהיינו, בכל נקודה בה שתי הפונקציות רציפות, גם פונקציות הסכום וההפרש רציפות).
* מכפלה של שתי פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.
* מנה של שתי פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה, דהיינו בכל נקודה בה הפונקציה במכנה אינה מתאפסת.
* [[הרכבה של פונקציות]] רציפות היא פונקציה רציפה.

==רציפות בקטע==
אם פונקציה היא רציפה בכל נקודה <math>x_0</math> בקטע, אומרים שהיא רציפה בקטע. במקרה כזה מותר למהירות שבה מתקרבים הערכים של <math>f(x)</math> לערכים של <math>f(x_0)</math> (כשהיא נמדדת בגודל של <math>\delta</math> עבור <math>\varepsilon</math> נתון) להיות תלויה ב- <math>x_0</math>. הפונקציה [[רציפות במידה שווה|רציפה במידה שווה]] אם לכל <math>\varepsilon>0</math> אפשר לבחור את <math>\delta</math> באופן שאינו תלוי ב- <math>x_0</math>; זוהי תכונה חזקה יותר. מאידך, לפי [[משפט קנטור (לרציפות במידה שווה)|משפט קנטור]], אם פונקציה רציפה בכל נקודה של קטע סגור (ובאופן כללי יותר [[קומפקטיות|קבוצה קומפקטית]] במרחב מטרי), אז היא רציפה במידה שווה.

מקובל לומר שפונקציה רציפה היא פונקציה בקטע ש"אפשר לצייר בלי להרים את העפרון מהדף". תיאור זה נכון לפונקציות [[רציפות במידה שווה]], אבל סתם פונקציה רציפה (המוגדרת על קטע סופי שאינו סגור) עלולה להיות בעלת אורך אינסופי בקטע; למשל הפונקציה <math>f(x)=\sin(1/x)</math> בקטע <math>(0,1]</math>.

== תכונות של פונקציות רציפות==
*'''[[משפט ויירשטראס הראשון]]''' אומר כי כל פונקציה שרציפה בקטע סגור [[פונקציה חסומה|חסומה]] בקטע.
*'''[[משפט ויירשטראס השני]]''' אומר שפונקציה שרציפה בקטע סגור מקבלת בו את המקסימום והמינימום שלה.

שני המשפטים נכונים באופן כללי יותר, עבור פונקציה ממשית רציפה המוגדרת על קבוצה [[קומפקטיות|קומפקטית]] (בכל מרחב טופולוגי).
*'''[[משפט ערך הביניים]]''' אומר כי פונקציה רציפה בקטע מקבלת כל ערך שבין הערכים אותם היא מקבלת בקצות הקטע.
*פונקציה רציפה בקטע סגור [[אינטגרביליות|אינטגרבילית]] בו.
*רציפות בנקודה היא תנאי הכרחי (אך לא מספיק) לקיום [[נגזרת]] באותה נקודה.

==נקודות אי רציפות==
{{הפניה לערך מורחב|נקודת אי רציפות}}
נקודה שבה הפונקציה אינה רציפה נקראת '''נקודת אי רציפות'''. ניתן למיין את נקודות אי הרציפות לשלושה סוגים:
# '''אי רציפות סליקה''': יש לפונקציה גבול בנקודה אך ערך הפונקציה שם שונה מן הגבול, או שהפונקציה כלל אינה מוגדרת באותה נקודה.
# '''אי רציפות מהסוג הראשון''': אין בנקודה גבול, אך קיימים גבולות חלקיים. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד, קיים הגבול מימין, וקיים הגבול משמאל, אך הם שונים זה מזה.
# '''אי רציפות מהסוג השני''': לפחות אחד מהגבולות, משמאל או מימין, אינו קיים.

==אפיון קבוצת נקודות הרציפות של פונקציה==
אם <math>f \colon X\to Y</math> פונקציה, כאשר <math>X,Y </math> מרחבים מטריים, אזי קבוצת נקודות הרציפות של <math>f</math> היא קבוצת <math>G_\delta</math>, דהיינו חיתוך [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]] של [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]]. מ[[משפט הקטגוריה של בר]] ניתן להראות שקבוצת [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] אינה קבוצת <math>G_\delta</math>, ולכן אין פונקציה ממשית שרציפה רק במספרים הרציונליים, ואינה רציפה במספרים האי-רציונליים.

== דוגמאות ==
* כל [[פולינום]] הוא פונקציה רציפה.
* הפונקציה [[ערך מוחלט]] היא רציפה בכל מקום, אך לא גזירה בנקודה <math>x = 0</math>.
* [[פונקציה מעריכית]] היא פונקציה רציפה (וגזירה [[אינסוף]] פעמים).
* [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] ו[[קוסינוס]] הן פונקציות רציפות (וגזירות אינסוף פעמים).
* [[פונקציית מדרגה]] (שמחזירה <math>1</math> למספרים אי-שליליים ו-<math>0</math> למספרים שליליים) איננה רציפה בנקודה <math>x = 0</math>.
* [[פונקציית הערך השלם]] (המחזירה את הערך הגדול ביותר מבין כל המספרים השלמים הקטנים או שווים ל-<math>x</math>) אינה רציפה לכל <math>x</math> שלם.
* [[פונקציית דיריכלה]] אינה רציפה באף נקודה על הישר.
* [[פונקציית רימן]] רציפה בכל הנקודות ה[[מספר אי רציונלי|אי רציונליות]] ואינה רציפה בכל הנקודות ה[[מספר רציונלי|רציונליות]].

== ראו גם ==
* [[פונקציה רציפה במידה שווה|רציפות במידה שווה]]
* [[פונקציה]]
* [[נגזרת]]

==קישורים חיצוניים==
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Continuous_function}}
* {{MathWorld}}

{{אנליזה מתמטית}}
{{עץ מיון של מרחבי פונקציות}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:רציפות|*]]
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות: מאפיינים|רציפות]]