הצגת המקור של הדף "פונקציות ברילואן ולנז'וון"

'''פונקציות ברילואן ולנז'וון''' הן זוג [[פונקציה|פונקציות מיוחדות]] {{כלומר?|מה זה פונקציה "מיוחדת"?}} המשמשות לחקר חומר [[פאראמגנטיות|פאראמגנטי]] אידיאלי ב[[מכניקה סטטיסטית]].

== פונקציית ברילואן ==
[[פונקציית ברילואן]] (על שמו של [[לאון ברילואן]]){{הערה|שם=:0|{{צ-ספר|מחבר = C. Kittel|שם = Introduction to Solid State Physics|מו"ל = .John Wiley & Sons, Inc|שנת הוצאה = 2004|מהדורה = 8th Edition|עמ = 303-304|ISBN = 978-0-471-41526-8|קישור = http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000803.html}}}}{{הערה|{{צ-מאמר|מחבר = .Darby, M.I|שם = "Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization"|כתב עת = Brit. J. Appl. Phys.|כרך = 18|עמ = 1415–1417|שנת הוצאה = 1967|קישור = http://iopscience.iop.org/article/10.1088/0508-3443/18/10/307/meta;jsessionid=B73FDC852B5327AA1239F2A4136C572A.c1.iopscience.cld.iop.org}}}} היא פונקציה מיוחדת המוגדרת על ידי המשוואה הבאה:
<blockquote style="border: 1px solid black; padding:10px;">
:::<math>B_J(x) = \frac{2J + 1}{2J} \coth \left ( \frac{2J + 1}{2J} x \right )
 - \frac{1}{2J} \coth \left ( \frac{1}{2J} x \right )</math>
</blockquote>

הפונקציה מיושמת בדרך כלל (ראה להלן) בהקשר שבו '''x''' הוא משתנה ממשי ו-'''J''' הוא מספר חיובי שלם או חצי-שלם. במקרה זה, הפונקציה משתנה מ-1 עד 1, מתקרבת ל-1 כאשר <math>x \to +\infty</math> ול-1- כאשר <math>x \to -\infty</math>.

הפונקציה ידועה בעיקר בשל השימוש שנעשה בה לצורך חישוב ה[[מגנוט]] של [[פאראמגנטיות|פאראמגנט]] אידיאלי. ליתר פירוט, היא מתארת את התלות של ה[[מגנטיזציה]] '''M''' ב[[שדה מגנטי|שדה המגנטי]] '''B''' וב[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי הקוונטי הכולל]] '''J''' של ה[[מומנט מגנטי|מומנטים המגנטיים]] ה[[מיקרוסקופ]]יים של החומר. המגנטיזציה ניתנת על ידי:{{הערה|שם=:0}}

:<math>M = N g \mu_B J \cdot B_J(x)</math>
:
כאשר:
* <math>N </math> הוא מספר האטומים ליחידת נפח.
* <math>g</math> הוא [[פקטור g]].
* <math>\mu_B </math> הוא [[מגנטון בוהר]].
* <math>x</math> הוא היחס בין [[אפקט זימן|אנרגיית זימן]] של המומנט המגנטי בשדה החיצוני לבין [[אנרגיה תרמית|האנרגיה התרמית]] <math>k_B T</math>:

:<math>x = \frac{g \mu_B J B}{k_B T}</math>

*<math>k_B</math> הוא [[קבוע בולצמן]] ו-<math>T</math> היא ה[[טמפרטורה]].
ב[[מערכת היחידות SI]], השדה המגנטי <math>B</math>נמדד ביחידות [[טסלה]] ו-<math>B=\mu_0 H</math> כאשר <math>H</math> הוא השדה המגנטי בריק הנמדד ביחידות [[אמפר|A]]/[[מטר|m]] ו-<math>\mu_0</math> הוא קבוע ה[[פרמאביליות]] בריק.

== פונקציית לנז'ווין ==
בגבול הקלאסי, כל ה[[מומנט מגנטי|מומנטים המגנטיים]] מיושרים בכיוון ה[[שדה מגנטי|שדה המגנטי]], וה[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי]] <math>J \to +\infty</math>. אזי, ניתן לפשט את פונקציית ברילואן ל[[פונקציית לנז'וון]], (על שמו של [[פול לנז'וון]]):
<blockquote style="border: 1px solid black; padding:10px; width:230px">
::<math>L(x) = \coth(x) - \frac{1}{x}</math>
</blockquote>

עבור ערכים קטנים של '''x''', ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון על ידי חיתוך [[טור טיילור]]:{{הערה|שם=:1|{{צ-מאמר|מחבר = Johal, A. S.; Dunstan, D. J.|שם = "Energy functions for rubber from microscopic potentials"|כתב עת = Journal of Applied Physics|כרך = 101|קישור = http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jap/101/8/10.1063/1.2723870|שנת הוצאה = 2007}}}}

<math> L(x) = \tfrac{1}{3} x - \tfrac{1}{45} x^3 + \tfrac{2}{945} x^5 - \tfrac{1}{4725} x^7 + \dots
</math>

חלופה טובה יותרכאש לקירוב עבור פונקציית לנז'וון ניתן לקבל מהצגת <math>\tanh(x)</math> כ[[שבר משולב]] על פי [[יוהאן היינריך למברט|למברט]]:

<math>L(x) = \frac{x}{3+\tfrac{x^2}{5+\tfrac{x^2}{7+\tfrac{x^2}{9+\ldots}}}}
</math>

פונקציית לנז'וון ההפוכה <math> L^{-1}(x)
</math>, מוגדרת במרווח הפתוח (1, 1-).עבור ערכים קטנים של '''x''', ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון ההפוכה על ידי חיתוך [[טור טיילור]]:{{הערה|שם=:1}}

<math> L^{-1}(x) = 3 x + \tfrac{9}{5} x^3 + \tfrac{297}{175} x^5 + \tfrac{1539}{875} x^7 + \dots

</math>

== גבול טמפרטורה גבוהה ==
כאשר <math> x \ll 1
</math>, כלומר, כאשר <math> \mu_B B / k_B T
</math> קטן מאוד - בגבול טמפרטורה <math> T
</math> גבוהה, ערך ה[[מגנטיזציה]] ניתן לקירוב על ידי [[חוק קירי]]:

:<math>M = C \cdot \frac{B}{T}</math>

כאשר, <math>C = \frac{N g^2 J(J+1) \mu_B^2}{3k_B}</math> הוא קבוע ו[[מגנטון בוהר]] האפקטיבי הוא <math>g\sqrt{J(J+1)}\mu_B</math>.

== גבול שדה רחוק ==
כאשר <math>x \to +\infty</math> פונקציית ברילואן שואפת ל-1. אזי, ה[[מגנטיזציה]] מגיעה ל[[רוויה (מגנטית)|רוויה]] כאשר כל ה[[מומנט מגנטי|מומנטים המגנטיים]] מיושרים בכיוון ה[[שדה מגנטי|שדה המגנטי]]:

:<math>M = N g \mu_B J</math>

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
[[קטגוריה:פיזיקה סטטיסטית]]
[[קטגוריה:מגנטיות]]