הצגת המקור של הדף "פונקציות היפרבוליות הפוכות"

[[קובץ:Hyperbolic_functions-2.svg|שמאל|ממוזער|300x300 פיקסלים| קרן דרך היפרבולת היחידה <math>\scriptstyle x^2\ - \ y^2\ =\ 1</math> בנקודה <math>\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a)</math>, כשהגודל של a הוא פי שניים מהשטח שבין הקרן, ההיפרבולה וציר הx.]]
[[קובץ:Mplwp_inverse_hyperbolic_functions.svg|שמאל|ממוזער|300x300 פיקסלים| הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות]]
ב[[מתמטיקה]], '''הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות''' הן [[פונקציה הפיכה|הפונקציות ההופכיות]] ל[[פונקציות היפרבוליות|פונקציות ההיפרבוליות]], כלומר לכל h פונקציה היפרבולית <math>h(x)\Longrightarrow h^{-1}(h(x))=x</math>.

פונקציות היפרבוליות מופיעות בחישובי זוויות ומרחקים ב[[גאומטריה היפרבולית]], [[משוואה דיפרנציאלית|משוואות דיפרנציאליות]], [[פונקציה ממעלה שלישית|משוואות מעוקבות]], ו[[משוואת לפלס]] [[מערכת צירים קרטזית|בקואורדינטות קרטזיות]]. המשוואות של לפלס חשובות בתחומים רבים ב[[פיזיקה]], כולל [[אלקטרומגנטיות|תיאוריה אלקטרומגנטית]], [[מעבר חום|העברת חום]], דינמיקת נוזלים, [[תורת היחסות הפרטית|ותורת היחסות הפרטית.]]

== כתיב ==
סטנדרט ISO 80000-2 קובע שהשמות של הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות יורכבו מהתחילית '''ar''' ואחריה השמות של הפונקציות ההיפרבוליות המתאימות. לדוגמה, הפונקציה ההפוכה ל-'''sinh''' תיקרא '''arsinh'''.

ניתן למצוא גם שימוש שגוי בקידומת '''arc''' בתור אנלוגיה לשמות של [[פונקציות טריגונומטריות הפוכות|הפונקציות הטריגונומטרית ההפוכות]]. קידומת זו לא מתאימה לפונקציות ההיפרבוליות מכיוון שהיא קיצור למילה הלטינית ''arcus'' (קשת)'','' בעוד שהקידומת '''ar''' היא קיצור של המילה האנגלית ''area'' (שטח)<ref name=Gullberg1997>As stated by [[Jan Gullberg]], ''Mathematics: From the Birth of Numbers'' (New York: [[W. W. Norton & Company]], 1997), {{ISBN|0-393-04002-X}}, p. 539:
<blockquote>Another form of notation, {{nowrap|arcsinh ''x''}}, {{nowrap|arccosh ''x''}}, etc., is a practice to be condemned as these functions have nothing whatever to do with arc, but with area, as is demonstrated by their full Latin names,
<p>arsinh ''area sinus hyperbolicus''</p>
arcosh ''area cosinus hyperbolicus, etc.''</blockquote>
</ref><ref name="ZeidlerEtAl2004">As stated by [[Eberhard Zeidler (mathematician)|Eberhard Zeidler]], [[Wolfgang Hackbusch]] and Hans Rudolf Schwarz, translated by Bruce Hunt, ''[[Oxford Users' Guide to Mathematics]]'' (Oxford: [[Oxford University Press]], 2004), {{ISBN|0-19-850763-1}}, Section 0.2.13: "The inverse hyperbolic functions", p. 68: "The Latin names for the inverse hyperbolic functions are area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus and area cotangens hyperbolicus (of ''x''). ..." This aforesaid reference uses the notations arsinh, arcosh, artanh, and arcoth for the respective inverse hyperbolic functions.</ref><ref name="BronshteinEtAl2007">As stated by [[Ilja N. Bronshtein]], [[Konstantin A. Semendyayev]], Gerhard Musiol and Heiner Mühlig, ''[[Handbook of Mathematics]]'' (Berlin: [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]], 5th ed., 2007), {{ISBN|3-540-72121-5}}, {{doi|10.1007/978-3-540-72122-2}}, Section 2.10: "Area Functions", p. 91:
<blockquote>The ''area functions'' are the inverse functions of the hyperbolic functions, i.e., the ''inverse hyperbolic functions''. The functions {{nowrap|sinh ''x''}}, {{nowrap|tanh ''x''}}, and {{nowrap|coth ''x''}} are strictly monotone, so they have unique inverses without any restriction; the function cosh ''x'' has two monotonic intervals so we can consider two inverse functions. The name ''area'' refers to the fact that the geometric definition of the functions is the area of certain hyperbolic sectors ...</blockquote></ref>.

אחרים מעדיפים להשתמש בתחילית '''arg,''' שהיא קיצור למילה הלטינית ''argumentum''<ref>{{צ-ספר|שם=Differential and Integral Calculus: By Harold Maile Bacon ...|קישור=https://books.google.com/books?id=3shEAAAAIAAJ|מו"ל=McGraw-Hill book Company, Incorporated|שנת הוצאה=1942|מחבר=Harold Maile Bacon|שפה=en}}</ref>. במדעי המחשב נהוג לקצר את התחילית לאות '''a''' (לדוגמה asinh, acosh וכו').

הכתיב <math>\sinh^{-1}{\left(x\right)}</math> גם נמצא בשימוש<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://mathworld.wolfram.com/|הכותב=Eric W. Weisstein|כותרת=Inverse Hyperbolic Functions|אתר=mathworld.wolfram.com|שפה=en|תאריך_וידוא=2022-02-21}}</ref>, חרף העובדה שהוא עלול להתפרש בטעות כחזקה.

== הגדרות ==
פונקציות היפרבוליות הם [[פונקציה ממשית|פונקציות ממשיות]] על <math>e^x</math> ממעלה שנייה לכל היותר ניתן להפוך אותן באמצעות ה[[משוואה ממעלה שנייה|נוסחה הריבועית]] ואז באמצעות ה[[לוגריתם טבעי|לוגריתם הטבעי]] לקבל את x.

[[מספר מרוכב|למספרים מורכבים]], הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות, [[שורש ריבועי|השורש הריבועי]] והלוגריתם הם [[פונקציה רב-ערכית|פונקציות רב ערכיות]], ולכן עבור ערכים שונים יכול להיות שהפונקציות יחזירו את אותו ערך.

לכל הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות (חוץ מהקוטנגנס, הקוסכנת ההיפרבולים ההפוכים), [[תחום של פונקציה#תחום ההגדרה]] של הפונקציה הממשית [[מרחב קשיר|קשיר]].

=== סינוס היפרבולי הפוך ===
''סינוס היפרבולי הפוך'' :<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Inverse Hyperbolic Functions|url=https://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicFunctions.html|accessdate=2020-08-30|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=Inverse hyperbolic functions - Encyclopedia of Mathematics|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Inverse_hyperbolic_functions|accessdate=2020-08-30|website=encyclopediaofmath.org}}</ref>

: <math> \operatorname{arsinh} x =\ln \left ( x + \sqrt{x^2 + 1} \right )
</math>

תחום ההגדרה הוא כל [[הישר הממשי]].

=== קוסינוס היפרבולי הפוך ===
''קוסינוס היפרבולי הפוך'':{{הערה|שם=:0}}{{הערה|שם=:1}}

: <math> \operatorname{arcosh} x =\ln \left ( x + \sqrt{x^2 - 1} \right )
</math>

תחום ההגדרה: <math>.x\in [1, +\infty)</math>

=== טנגנס היפרבולי הפוך ===
''טנגנס היפרבולי הפוך'' :{{הערה|שם=:1}}

: <math>
 \operatorname{artanh} x =\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
</math>

תחום ההגדרה הוא [[קטע (מתמטיקה)|הקטע:]] {{נוסחה|(−1, 1)}}.

=== קוטנגנס היפרבולי הפוך ===
''קוטנגנס היפרבולי הפוך:''

: <math>
 \operatorname{arcoth} x = \frac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)
</math>

תחום ההגדרה הוא: <math>x \in (- \infty,-1)\cup(1,\infin)</math>.

=== הסכנת היפרבולי הפוך ===
''הסכנת ההיפרבולי הפוך:''

: <math>
 \operatorname{arsech} x
= \ln \left( \frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}- 1} \right)
= \ln \left( \frac{1 +\sqrt{1- x^2}}{x} \right)
</math>

תחום הגדרה: <math>x \in (0,1]</math>

=== כוסכנת היפרבולי הפוך ===
''כוסכנת היפרבולי הפוך:''

: <math>
\operatorname{arcsch} x
= \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+ 1} \right)
= \ln \left( \frac{1 +\sqrt{1+ x^2}}{x} \right)
</math>

תחום ההגדרה <math>x \in R,x \neq 0</math>

== זהויות חיבור ==

: <math>\operatorname{arsinh} u \pm \operatorname{arsinh} v = \operatorname{arsinh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right)</math>

: <math>\operatorname{arcosh} u \pm \operatorname{arcosh} v = \operatorname{arcosh} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right)</math>

: <math>\operatorname{artanh} u \pm \operatorname{artanh} v = \operatorname{artanh} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right)</math>

: <math>\operatorname{arcoth} u \pm \operatorname{arcoth} v = \operatorname{arcoth} \left( \frac{1 \pm uv}{u \pm v} \right)</math>

: <math>\begin{align}\operatorname{arsinh} u + \operatorname{arcosh} v & = \operatorname{arsinh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\
 & = \operatorname{arcosh} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}</math>

== זהויות נוספות ==

: <math>
\begin{align}
2\operatorname{arcosh}x&=\operatorname{arcosh}(2x^2-1) &\quad \hbox{ for }x\geq 1 \\
4\operatorname{arcosh}x&=\operatorname{arcosh}(8x^4-8x^2+1) &\quad \hbox{ for }x\geq 1 \\
2\operatorname{arsinh}x&=\operatorname{arcosh}(2x^2+1) &\quad \hbox{ for }x\geq 0 \\
4\operatorname{arsinh}x&=\operatorname{arcosh}(8x^4+8x^2+1) &\quad \hbox{ for }x\geq 0
\end{align}
</math>

: <math>
\ln(x) = \operatorname{arcosh} \left( \frac{x^2 + 1}{2x}\right) = \operatorname{arsinh} \left( \frac{x^2 - 1}{2x}\right)
= \operatorname{artanh} \left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right)
</math>

== הרכבת פונקציות היפרבוליות על פונקציות היפרבוליות הפוכות ==

: <math>\begin{align}
 &\sinh(\operatorname{arcosh}x) = \sqrt{x^{2} - 1} \quad \text{for} \quad |x| > 1 \\
 &\sinh(\operatorname{artanh}x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\
 &\cosh(\operatorname{arsinh}x) = \sqrt{1+x^{2}} \\
 &\cosh(\operatorname{artanh}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\
 &\tanh(\operatorname{arsinh}x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \\
 &\tanh(\operatorname{arcosh}x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} \quad \text{for} \quad |x| > 1
\end{align}</math>

== המרות בין פונקציות היפרבוליות הפוכות שונות ==

: <math>
 \ln x = \operatorname{artanh} \left( \frac{x^2-1}{x^2+1}\right)
= \operatorname{arsinh} \left( \frac{x^2-1}{2 x}\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{x^2+1}{2 x}\right)
</math>

: <math>
 \operatorname{artanh} x
= \operatorname{arsinh} \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)
</math>

: <math>
 \operatorname{arsinh} x
= \operatorname{artanh} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \sqrt{1+x^2}\right)
</math>

: <math>
 \operatorname{arcosh} x
= \left| \operatorname{arsinh} \left( \sqrt{x^2-1}\right) \right|
= \left| \operatorname{artanh} \left( \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}
\right) \right|
</math>

== נגזרות ==

: <math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \text{ for all real } x\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \text{ for all real } x>1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ for all real } |x|<1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ for all real } |x|>1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech} x & {}= \frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}, \text{ for all real } x \in (0,1)\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch} x & {}= \frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}, \text{ for all real } x\text{, except } 0\\
\end{align}</math>

== הגדרות בעזרת טורי חזקות ==

: <math>\begin{align}\operatorname{arsinh} x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} \pm\cdots \\
 & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {2n+1}, \qquad \left| x \right| < 1 \end{align} </math>

: <math>\begin{align}\operatorname{arcosh} x & = \ln(2x) - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\
 & = \ln(2x) - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {2n}, \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} </math>

: <math>\begin{align}\operatorname{artanh} x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\
 & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {2n+1}, \qquad \left| x \right| < 1 \end{align} </math>

: <math>\begin{align}\operatorname{arcsch} x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} \pm\cdots \\
 & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1}, \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} </math>

: <math>\begin{align}\operatorname{arsech} x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\
 & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n}, \qquad 0 < x \le 1 \end{align} </math>

: <math>\begin{align}\operatorname{arcoth} x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
 & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1}, \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} </math>

: <math>\operatorname{arsinh} x = \ln(2x) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}</math>

== במישור המורכב ==
[[אנליזה מרוכבת|כפונקציות של משתנה מורכב]], פונקציות היפרבוליות הפוכות הן [[פונקציה רב-ערכית|פונקציות רב ערכיות]] שהן [[פונקציה אנליטית|אנליטיות]], למעט במספר סופי של נקודות.

מפני שהפונקציות הן רב ערכיות במישור המורכב אז כמו בפונקציות טריגונומטריות הפוכות מעדיפים להגדיר אותם רק מעל תחום מסוים בו הן חד ערכיות.

=== ההגדרה של הסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב ===
ההגדרה של הסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב ניתן על ידי

: <math>\operatorname{arsinh} z = \operatorname{Log}(z + \sqrt{z^2 + 1} \,)\,.</math>

התוצאה השורש הריבועי הוא מספר ממשי שאינו חיובי, אם ורק אם <math>z \in(- \infin i,-i) \cup (i,\infin)
</math>. אם הערך המוצב בלוגריתם הוא ממשי, הרי שתוצאת הלוגריתם היא מספר חיובי. לפיכך נוסחה זו מגדירה תחום בו arcsin הוא חד ערכי.

=== הגדרת קוסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב ===

: <math>\operatorname{arcosh} z = \operatorname{Log}(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,)\,.</math>

=== הגדרת הטנגנס והקוטנגנס ההיפרבוליים ההפוכים במישור המורכב ===

: <math>
\begin{align}
\operatorname{artanh} z &=\frac12\operatorname{Log}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)
 \\
 \operatorname{arcoth} z &= \frac12\operatorname{Log}\left(\frac{z+1}{z-1}\right)
 \end{align}
</math>

== ראו גם==
* [[לוגריתם|לוגריתם מורכב]]

== לקריאה נוספת ==
* הרברט בוסמן ופול ג'יי קלי (1953) ''גאומטריה השלכתית ומדדים השלכתיים'', עמוד 207, העיתונות האקדמית.
* Weisstein, Eric W. "[https://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicFunctions.html Inverse Hyperbolic Functions]." From ''MathWorld''—A Wolfram Web Resource.
*Inverse hyperbolic functions. [http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Inverse_hyperbolic_functions&oldid=47421 Encyclopedia of Mathematics].:

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:פונקציות טריגונומטריות]]
[[קטגוריה:היפרבולה]]
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות]]