הצגת המקור של הדף "פונקציות טריגונומטריות"

[[קובץ:Periodic sine.svg|שמאל|ממוזער|250px|בראש התמונה מוצגת הפונקציה הטריגונומטרית [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]] (sin) עבור הזוויות θ, π − θ, π + θ ו-2π − θ בארבעת הרבעים של [[מעגל היחידה]]. בתחתית התמונה מוצג ה[[גרף של פונקציה|גרף]] של פונקציית הסינוס, כשהזוויות מראש התמונה מודגשות]]

ב[[מתמטיקה]], '''הפונקציות ה[[טריגונומטריה|טריגונומטריות]]''' הן [[פונקציה|פונקציות]] של [[זווית]]. הן משמשות, בין השאר, לקשור בין הזוויות ב[[משולש]] לאורכי [[צלע (גאומטריה)|צלעותיו]]. הפונקציות הטריגונומטריות המוכרות ביותר הן [[סינוס (טריגונומטריה)|סינוס]], [[קוסינוס]] ו[[טנגנס]]. הפונקציות הטריגונומטריות חשובות במחקר המשולשים, ב[[מודל מתמטי|מידול]] תופעות מחזוריות ובשימושים רבים נוספים. שני משפטים בסיסיים הנוגעים לפונקציות הטריגונומטריות הם [[משפט הסינוסים]] ו[[משפט הקוסינוסים]].

== הפונקציות הטריגונומטריות במשולש ישר-זווית==
[[קובץ:Rtriangle2.svg|שמאל|250px]]
[[קובץ:Sine cosine plot.svg|300px|שמאל|ממוזער|הפונקציות סינוס וקוסינוס על מערכת הצירים.]]

{{ש}}
כאשר x היא זווית סמוכה ליתר ב[[משולש ישר-זווית]] (x בין 0° ל-90° ב[[מעלה (זווית)|מעלות]] או בין 0 ל-π/2 ב[[רדיאן|רדיאנים]]):
*סינוס של הזווית (sin x) מבטא את ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] שבין הניצב שמול הזווית והיתר במשולש; בדוגמה המופיעה בתרשים

:<math>
\sin \angle A = \frac{a}{c}
</math>
*קוסינוס של הזווית (cos x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית והיתר במשולש; בדוגמה המופיעה בתרשים

:<math>
\cos \angle A = \frac{b}{c}
</math>

:השם קוסינוס הוא קיצור של complement sines - סינוס הזווית המשלימה.

:ההגדרות לעיל לא תקפות עבור הזווית 0 והזווית הישרה; עבור זוויות אלה מוגדרים ערכי הסינוס כ-0 ו-1 בהתאמה, וערכי הקוסינוס כ-1 ו-0 בהתאמה. ערכים אלה הם [[גבול (מתמטיקה)|הגבולות]] של היחסים המתאימים. הגדרות אחרות של הפונקציות הטריגונומטריות (להלן) אינן דורשות טיפול מיוחד בזוויות אלה.
*טנגנס של הזווית (tg x או tan x) הוא היחס בין הניצב שמול הזווית והניצב שליד הזווית; בדוגמה המופיעה בתרשים

:<math>
\tan \angle A = \frac{a}{b}
</math>

:הטנגנס מתקבל גם על ידי חלוקת סינוס בקוסינוס, וניתן להגדיר אותו לאורך כל הישר הממשי בעזרת ההגדרות המורחבות של פונקציות אלה (להלן). הטנגנס לא מוגדר עבור הזוויות 90°+k•180° (כש-k הוא [[מספר שלם]]), שכן הקוסינוס של זוויות אלה הוא 0.

ב[[גאומטריה אנליטית]], כאשר מייצגים ישר על ידי [[משוואה אפינית]]: y=mx+n, הקבוע m הוא טנגנס הזווית שבין הישר ובין כיוונו החיובי של ציר ה-X.

הפונקציות מקיימות <math>\sin \alpha = \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)</math> ו- <math>\cos \alpha = \sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha \right)</math> כאשר הזוויות נתונות ברדיאנים.

מ[[משפט פיתגורס]] נובע כי סכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית שווה ל-1.

{{עוגן|סקאנס}}
{{עוגן|קוסקאנס}}

לכל אחת מפונקציות אלו מוגדרת גם פונקציה שערכה הוא ה[[מספר הופכי|הופכי]] הכפלי של ערך הפונקציה:
* '''[[קוטנגנס]]''' של זווית (ctg x או cot x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית לבין הניצב הרחוק ממנה, כלומר ערכו הוא ההופכי של הטנגנס. הקוטנגנס שווה ליחס בין הקוסינוס של זווית לסינוס של אותה זווית. לכן, הוא לא מוגדר עבור כפולות שלמות של 180° (שהסינוס שלהן הוא 0).
* '''סקאנס''' של זווית (sec x) השווה ל-<math>\left(\cos x\right)^{-1}=\frac{1}{\cos x}</math> כלומר ערכו ההופכי של הקוסינוס.
* '''קוסקאנס''' של זווית (cosec x) השווה ל-<math>\left(\sin x\right)^{-1}=\frac{1}{\sin x}</math>, כלומר ערכו ההופכי של הסינוס.

על ידי צמצום לתחום מתאים, הפונקציות הטריגונומטריות הופכות ל[[פונקציה הפיכה|פונקציות הפיכות]]. [[פונקציות טריגונומטריות הפוכות]] מסומנות:
arcsin x או sin<sup>&minus;1</sup>(''x'')&lrm;{{כ}},
arccos x או cos<sup>&minus;1</sup>(''x'')&lrm;{{כ}},
arctan x או tan<sup>&minus;1</sup>(''x'')&lrm;{{כ}}
וערכן היא הזווית שנותנת את היחס הטריגונומטרי x.

הטבלה הבאה מסכמת את הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות, הפונקציות ההפוכות ופונקציות הערך ההופכי שלהן. את פונקציית הקוסקנט רושמים לעיתים בצורה הארוכה יותר cosec במקום csc.

{|class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
!colspan="2"| פונקציה
!colspan="2"| [[פונקציה הפוכה]]
!colspan="2"| [[הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות|הופכי של הפונקציה]]
!colspan="2"| הופכי של הפונקציה ההפוכה
|-
| סינוס
| sin
| arcsine
| arcsin
| cosecant
| csc
| arccosecant
| arccsc
|-
| קוסינוס
| cos
| arccosine
| arccos
| secant
| sec
| arcsecant
| arcsec
|-
| טנגנס
| tan
| arctangent
| arctan
| cotangent
| cot
| arccotangent
| arccot
|}

== הפונקציות הטריגונומטריות על מעגל היחידה ==
[[קובץ:מעגל_סינוס_30.png|שמאל|דוגמה לסינוס 30° על מעגל היחידה]]

[[מעגל היחידה]] הוא מעגל ברדיוס של יחידה אחת, שמציג באופן גרפי את הפונקציות הטריגונומטריות.{{ש}}

הסינוס והקוסינוס מורחבות גם לזוויות שאינן יכולות להופיע במשולש ישר-זווית, בהן <math>\ x \ge 90^{\circ}</math> או <math>\ x \le 0^{\circ}</math>, על ידי הגדרתן באמצעות ה[[מערכת צירים קרטזית|קואורדינטות]] של [[מעגל היחידה]], שמרכזו ב[[ראשית הצירים]] ורדיוסו 1. לפי הגדרה זו, הסינוס של הזווית <math>\theta</math> הוא קואורדינטת ה-y של הנקודה הנוצרת על היקף מעגל היחידה עם "סיבוב" הרדיוס נגד [[כיוון השעון]] החל מקרן המספרים החיוביים בציר ה-X לאורך זווית <math>\theta</math>, וקוסינוס הזווית הוא קואורדינטת ה-x של אותה נקודה. לפי הגדרה זו, עבור זוויות כלליות ייתכן שהסינוס או הקוסינוס יהיו שליליים (מה שלא אפשרי עבור זוויות שבין 0<sup>0</sup> ל-90<sup>0</sup>, שם הפונקציות מייצגות יחס בין אורכים), אך סכום הריבועים שלהם הוא תמיד 1. מסיבה זו, [[ערך מוחלט|ערכם המוחלט]] חסום על ידי 1.

לסיכום:
* '''סינוס''' הוא ערך ה-Y של הנקודה
* '''קוסינוס''' הוא ערך ה-X של הנקודה
* '''טאנגנס''' הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה (1,0) או היחס בין סינוס לקוסינוס
* '''קוטנגנס''' הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה (0,1) או היחס בין קוסינוס לסינוס

מעגל היחידה מהווה שיטה נוחה לזכור את הסימן (+/-) של ערכי הפונקציות הטריגונומטריות.

== קירובים של הפונקציות הטריגונומטריות ==
{{ערך מורחב|ערך=[[קירוב זוויות קטנות]]}}

את [[טור טיילור|טורי טיילור]] של הפונקציות הטריגונומטריות אפשר למצוא בעזרת חישובי נגזרות, שהבסיס להם הוא [[הגבול של sin(x)/x]]. הטורים המתקבלים הם:
: <math>\ \sin(x) =x - \frac {x^3}{3!} + \frac {x^5}{5!} -... \approx x</math>
ו-
: <math>\ \cos(x) =1 - \frac {x^2}{2!} + \frac {x^4}{4!} -... \approx 1-\frac{x^2}{2}</math>
(כל החישובים נעשים ב[[רדיאן|רדיאנים]]).
פונקציות הסינוס והקוסינוס הן [[פונקציה אנליטית|פונקציות אנליטיות]]. טורי טיילור שלהן מתכנסים אליהן [[התכנסות במידה שווה|במידה שווה]] על כל [[קבוצה קומפקטית]] [[הישר הממשי|בישר הממשי]] ובפרט בכל [[קטע]] סגור. הטורים לא מתכנסים במידה שווה על כל הישר בבת אחת.

כדי לקבל קירובים טובים לפונקציות צריך באופן כללי לחשב כמה שיותר איברים בטור. עם זאת, קצב התכנסות הטורים תלוי במרחק מהאפס - עבור נקודות הקרובות לאפס הטורים מתכנסים מאוד מהר וככל שמתרחקים ממנו הטורים מתכנסים יותר לאט. מהסיבה הזו נוח יותר להעריך את הפונקציות באמצעות טור טיילור עבור זוויות שקרובות יחסית לאפס, ולהשתמש ככל הניתן ב[[זהויות טריגונומטריות]] כדי לקבל תוצאות עבור זוויות גדולות יותר. למשל, כדי לחשב את <math>\ \sin(80^{\circ})</math> ניתן להשתמש בנוסחה <math>\ \sin(x)=\cos(90^{\circ}-x)</math> ולחשב רק את <math>\ \cos(10^{\circ})</math>, וזווית זו קרובה יחסית לאפס.

קירוב מסדר ראשון ושני של פונקציות אלו נמצא בשימוש נרחב בניתוחים פיזיקליים שונים ונקרא [[קירוב זוויות קטנות]].

== הקשר לפונקציות מעריכיות והרחבה לערכים מרוכבים ==
פונקציות הסינוס והקוסינוס הן פתרונות של [[משוואה דיפרנציאלית|המשוואה הדיפרנציאלית]]

<math>\ f''(x) = -f(x)</math>

פתרון של משוואה זו בשדה [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]] <math>\mathbb{C}</math> הוא פונקציית [[אקספוננט#האקספוננט המרוכב|האקספוננט]] של מספר מרוכב טהור. [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] מקשרת בין פונקציית האקספוננט המרוכב והפונקציות הטריגונומטריות:

<math>\ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) </math>

מה[[פונקציה זוגית|זוגיות]] של הפונקציות הטריגונומטריות מקבלים
<math>\ e^{-ix} = \cos(x) - i\sin(x) </math>
ולכן:

<math>\ \cos(x)= \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \quad; \quad \sin(x)= \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} </math>

הצגה זו של הפונקציות הטריגונומטריות מאפשרת לנו להרחיב את [[תחום של פונקציה#תחום ההגדרה]] שלהן לשדה המספרים המרוכבים. בדרך זו מתקבלות [[פונקציה הולומורפית|פונקציות הולומורפיות]] במקרה של סינוס וקוסינוס ו[[פונקציה מרומורפית|פונקציות מרומורפיות]] במקרה של טנגנס וקוטנגנס.

== סינוס וקוסינוס של זוויות אי-רציונליות ==

מהצבה ב[[פולינומי צ'בישב|פולינום צ'בישב]] נובע שהסינוס והקוסינוס של זווית (ברדיאנים) שהיא כפולה [[מספר רציונלי|רציונלית]] של π הוא תמיד [[מספר אלגברי]]. עם זאת, הערך אינו יכול להיות מספר רציונלי, אלא אם הזווית היא כפולה של π/6.

==ראו גם==
*[[הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות]]
* [[זהויות טריגונומטריות]]
* [[נגזרת#נגזרות עיקריות|נגזרות של פונקציות טריגונומטריות]]
* [[פונקציות היפרבוליות]]
* [[טור טיילור]]
* [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)]]
* [[טור פורייה]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פונקציות טריגונומטריות|*]]
[[קטגוריה:טריגונומטריה]]
[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות|טריגונומטריות]]
[[קטגוריה:יחסים]]