הצגת המקור של הדף "פונקציית בטא של דיריכלה"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
[[קובץ:Mplwp dirichlet beta.svg|שמאל|350px|פונקציית בטא של דיריכלה]]
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציית בטא של דיריכלה''' הנקראת על שם [[יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה]] היא [[פונקציה]] אשר קשורה ל[[פונקציית זטא של רימן]]. פונקציית בטא של דיריכלה מוגדרת על ידי :

:<math>\beta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s}</math>,

או

:<math>\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}}{1 + e^{-2x}}\,dx</math>.

הפונקציה מוגדרת לכול [[מספר מרוכב]] שמקיים <math>Re(s)>0</math>. אפשר גם להגדיר את פונקציית בטא של דיריכלה על ידי [[פונקציית פוליגמא]] אשר מאפשרת הכללה לכול מספר בתחום [[המישור המרוכב]].
:<math>\beta(s) =\frac{1}{2^s} \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}}{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{s}}=\frac1{(-2)^{2s}(s-1)!}\left[\psi^{(s-1)}\left(\frac{1}{4}\right)-\psi^{(s-1)}\left(\frac{3}{4}\right)\right]</math>.
ה[[משוואה הפונקציונלית]] של פונקציית בטא של דיריכלה (אשר מוגדרת לכול מספר מרוכב) היא 
:<math>\beta(1-s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-s}\sin\left(\frac{\pi}{2}s\right)\Gamma(s)\beta(s)</math>
כאשר <math>\Gamma(s)</math> היא [[פונקציית גמא]].

==ערכים מיוחדים==
הנה כמה ערכים מיוחדים של פונקציית בטא של דיריכלה

:<math>\beta(0)= \frac{1}{2} </math>,

:<math>\beta(1)\;=\;\tan^{-1}(1)\;=\;\frac{\pi}{4} </math>,

:<math>\beta(2)\;=\;G</math>,
( ''G'' נקרא [[קבוע קטלן]])
:<math>\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}</math>,

:<math>\beta(4)\;=\;\frac{1}{768}(\psi_3(\frac{1}{4})-8\pi^4)</math>,

:<math>\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}</math>,

:<math>\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}</math>,

כאשר <math>\psi_3(1/4)</math> היא מוגדרת להיות פונקציית פוליגמא. בצורה יותר כללית, לכל [[מספר טבעי]] <math>k</math>:

:<math>\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!}} </math>,

כאשר <math> E_{n} </math> הוא[[מספרי אוילר| מספר אוילר]] ה-<math>n</math>-י.

על ידי הכללה אפשר להסיק שלכל מספר טבעי ''<math>k</math>'':

:<math>\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}</math>.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:פונקציות ממשיות ומרוכבות]]
[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]
[[קטגוריה:תורת המספרים האנליטית]]
[[קטגוריה:פונקציות זטא]]
[[קטגוריה:טורים מתמטיים]]