הצגת המקור של הדף "פונקציית הזרם של סטוקס"

[[קובץ:Stokes sphere.svg|שמאל|ממוזער|150px|קווי זרימה מסביב לספירה בזרימת סטוקס עם סימטריה גלילית. כאשר העצם הכדורי מגיע למהירות הטרמינלית כוח הגרר <math>F_d</math> משתווה לכוח היוצר את התנועה <math>F_g</math>.]]
ב[[מכניקת הזורמים]], '''פונקציית הזרם של סטוקס''' (ב[[אנגלית]]: '''Stokes stream function''') משמשת כדי לתאר את [[קווי זרם, קווי סימון וקווי מסלול|קווי הזרימה]] ומהירות הזרימה ב[[זרימה דחיסה|זרימה אי-דחיסה]] תלת-ממדית עם סימטריה גלילית. משטח עליו יש ערך קבוע של הפונקציה תוחם שפופרת זרימה, המשיקה בכל מקום לווקטורי שדה הזרימה. יותר מכך, השטף הנפחי של הזרימה לאורך שפופרת הזרימה הזאת קבוע - בהגדרתה פונקציית זרם היא נקייה מ[[דיברגנץ|דיברגנצים]] (אין בה בורות או מקורות). פונקציית הזרם הזאת נקראת על שם [[ג'ורג' גבריאל סטוקס]].

השימוש בפונקציית הזרם הוא בכל בעיה בה הזרימה היא בעלת סימטריה סביב ציר מסוים. סטוקס נעזר בה במקור כדי לחשב את שדה המהירות מסביב ל[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] ברדיוס a בגבול של [[מספר ריינולדס|מספרי ריינולדס]] נמוכים. הדבר אפשר לו לגזור את [[חוק סטוקס]] לזרימה [[צמיגות|צמיגה]].

== רקע: פונקציית זרם ופוטנציאל מהירות ==

פונקציית הזרם <math>\Psi</math> היא דרך לתאר את [[התפלגות]] הספיקה הנפחית של זרימה במרחב. למשל, במקרה הדו-ממדי, הפרש הערכים שלה בין שני קצוות של עקום מבטא את הספיקה הכוללת של הזרימה דרך העקום הזה. יש להבהיר שפונקציית זרם יכולה להיות [[מוגדר היטב|מוגדרת היטב]] רק במקרה של זרימה נטולת מקורות או בורות, בדיוק כשם שפונקציית פוטנציאל מהירות מוגדרת היטב רק לזרימה ללא ערבוליות. אחרת, ניתן לבנות מסלול סגור (או משטח סגור במקרה התלת-ממדי), ולקבל שכאשר הולכים לאורכו עד שחוזרים לנקודת ההתחלה ערך פונקציית הזרם משתנה - כלומר היא אינה מקבלת ערך יחיד בנקודה ([[פונקציה רב-ערכית]]). לפונקציית הזרם יש התנהגות הפוכה לזה של [[זרימה פוטנציאלית|פוטנציאל המהירות]] <math>\phi</math>; בכיוון המרחבי בו פוטנציאל המהירות משתנה בצורה המרבית פונקציית הזרם אינה משתנה כלל, בעוד בכיוון בו פונקציית הזרם משתנה בצורה המרבית פוטנציאל המהירות אינו משתנה כלל. בשפה [[מתמטיקה|מתמטית]]: <math>(\nabla \Psi)\cdot (\nabla \phi) = 0</math>, כלומר ה[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]] של [[גרדיאנט]] פונקציית הזרם בגרדיאנט פוטנציאל המהירות היא אפס (שני הווקטורים ניצבים זה לזה). אינטואיטיבית, התמונה נראית כך: פוטנציאל המהירות משתנה בצורה המרבית כאשר הולכים לאורך קו הזרם, בעוד פונקציית הזרם משתנה בצורה המרבית כאשר הולכים בניצב לקו הזרם (כלומר היא "סופרת" את קווי הזרימה). לכן, קווים הניצבים לקווי הזרם נקראים גם קווים "שווי פוטנציאל" (פוטנציאל המהירות).

== הפונקציה בקואורדינטות כדוריות ==
[[קובץ:spherical with grid.svg|ממוזער|שמאל|300px|נקודה המצוינת באמצעות שימוש בקואורדינטות כדוריות.]]

ב[[קואורדינטות כדוריות]] ( ''r'', ''θ'', ''φ'' ), המרחק הרדיאלי מהראשית הוא ''r'', הזווית   ''θ'' היא [[זנית|זווית הזנית]] ו- ''φ'' היא ה[[אזימוט|זווית האזימוטלית]]. בזרימה עם סימטריה גלילית, בה θ = 0 הוא ציר הסימטריה הסיבובית, הגדלים שמתארים את הזרימה הם בלתי תלויים באזימוט φ. מכיוון שאלמנט [[נפח]] בקואורדינטות כדוריות מקיים:

<math>\mathrm{d}V=r^2 \sin \theta \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi</math>.

כיוון שפונקציית זרם מוגדרת כך שהפרש ערכיה בין שתי נקודות (או [[עקומה|עקומות]] סגורות במקרה התלת-ממדי) שווה לספיקה העוברת דרך קו המחבר ביניהן, ניתן לקבל לפי הגדרת פונקציית הזרימה ש-:

<math>
  \begin{align}
  u_r      &= + \frac{1}{r^2\, \sin(\theta)}\, \frac{\partial \Psi}{\partial \theta},
  \\
  u_\theta &= - \frac{1}{r\, \sin(\theta)}\, \frac{\partial \Psi}{\partial r}.
  \end{align}
</math>.

השטף הנפחי דרך שפופרת זרם התחומה על ידי משטח שעליו ערך הפונקציה  ψ קבוע, הוא  2π ψ.


=== דיברגנץ אפס ===
הדיברגנץ של שדה הזרימה בכל נקודה במרחב, לפי הנחת אי-הדחיסות של הזורם, הוא: 

:<math>
\begin{align}
  \nabla \cdot \boldsymbol{u} &= 
  \frac{1}{r\, \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\Bigl( u_\theta\, \sin(\theta) \Bigr)
  + \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\Bigl( r^2\, u_r \Bigr) 
  \\
  &=
  \frac{1}{r\, \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( - \frac{1}{r} \frac{\partial \Psi}{\partial r} \right)
  + \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{\sin(\theta)} \frac{\partial \Psi}{\partial \theta} \right)
  = 0.
\end{align}
</math>.

=== הערבוליות ===

ה[[ערבוליות]] מוגדרת כ-: 

:<math>\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \boldsymbol{u} = \nabla \times \nabla \times \boldsymbol{\psi}</math>, כאשר  <math>\boldsymbol{\psi}=-\frac{\Psi}{r\sin\theta}\boldsymbol{\hat \phi}</math>

ו-<math>\boldsymbol{\hat \phi}</math> הוא [[וקטור יחידה]] בכיוון <math>\phi</math> (הכיוון האזימוטלי).

{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!     גזירה של הערבוליות '''<math>\omega</math> באמצעות פונקציית הזרימה של סטוקס
|-'''
|בהינתן ההגדרה של הערבוליות:

:<math>\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \boldsymbol{u}.</math>

מהגדרת הרוטור בקואורדינטות כדוריות נקבל:

:<math>
\begin{align}
\omega_r      &= {1 \over r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( u_\phi\sin\theta \right) - {\partial u_\theta \over \partial \phi}\right) \boldsymbol{\hat r}, \\
\omega_\theta &= {1 \over r}\left({1 \over \sin\theta}{\partial u_r \over \partial \phi} - {\partial \over \partial r} \left( r u_\phi \right) \right) \boldsymbol{\hat \theta}, \\
\omega_\phi   &= {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r u_\theta \right) - {\partial u_r \over \partial \theta}\right) \boldsymbol{\hat \phi}.
\end{align}
</math>

ראשית שים לב שרכיבי העירבוליות בצירים <math>r</math> ו-<math>\theta</math> שווים לאפס. שנית, נציב את הביטויים ל-<math>u_r</math> ו-<math>u_{\theta}</math> בביטוי ל-<math>\omega_{\phi}</math>. התוצאה היא:
:<math>
\begin{align}
\omega_r      &= 0, \\
\omega_\theta &= 0, \\
\omega_\phi   &= {1 \over r}\left({\partial \over \partial r} \left( r \left(-\frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial r}\right) \right) - 
{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta}\right)\right).
\end{align}
</math>

לאחר מכן, התהליך האלגברי הבא מניב:

:<math>
\begin{align}
\omega_\phi   &= {1 \over r}\left(-\frac{1}{\sin\theta}\left({\partial \over \partial r} \left(\frac{\partial\Psi}{\partial r}\right)\right) - 
\frac{1}{r^2 }{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta}\right)\right) \\
&= {1 \over r}\left(-\frac{1}{\sin\theta}\left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2}\right) - 
\frac{\sin\theta}{r^2 \sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta}\right)\right) \\
&= -\frac{1}{r\sin\theta} \left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta}{r^2}{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta}\right)\right).
\end{align}
</math>
|}

כתוצאה, החישוב של וקטור הערבוליות נותן:

<math>\boldsymbol{\omega} = 
\begin{pmatrix}
  0 \\[1ex]
  0 \\[1ex]
  \displaystyle -\frac{1}{r\sin\theta} \left(\frac{\partial^2\Psi}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta}{r^2}{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial\Psi}{\partial \theta}\right)\right)
\end{pmatrix}.
</math>

כאשר ה[[אופרטור]] E המוגדר כ-: <math>E = \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta}{r^2}{\partial \over \partial \theta}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\right)\right)
</math> הוא אופרטור חשוב בחישוב פילוג הלחץ על כדור (פילוג [[מאמץ לחיצה|מאמצי הלחיצה]]) וכוחות הצמיגות (פילוג [[מאמץ גזירה|מאמצי הגזירה]]) שהזורם מפעיל על השכבה הצמודה לכדור, ולפיכך שימוש בו הוא שלב קריטי בגזירת חוק סטוקס: <math>F_d = 6 \pi\,\mu\,R\,V\,</math>.

== ראו גם ==

* [[משוואות סטוקס]]



[[קטגוריה:מכניקת הזורמים]]