הצגת המקור של הדף "פונקציית מביוס"

{{פירוש נוסף|נוכחי=פונקציה אריתמטית של המספרים הטבעיים|אחר=פונקציה מרוכבת המוגדרת על ספירת רימן|ראו=העתקת מביוס}}
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''פונקציית מביוס''', המסומנת <math>\mu(n)</math> היא [[פונקציה אריתמטית]] שהוצגה לראשונה על ידי [[אוגוסט פרדיננד מביוס]]. הפונקציה מוגדרת על [[מספר טבעי|המספרים הטבעיים]] והיא תלויה רק ב[[פירוק לגורמים של מספר שלם|פירוק לגורמים]] של המספר שעליו היא פועלת. לפונקציה שימושים ב[[תורת המספרים]] וב[[קומבינטוריקה]], ויש לה גרסאות מוכללות (המוגדרות על [[קבוצה סדורה]]).

==הגדרה פורמלית==
אם יש ל-<math>n</math> גורם ריבועי אז <math>\mu(n)=0</math>. אחרת <math>n</math> הוא מכפלה של (נאמר) <math>r</math> גורמים ראשוניים שונים, ואז <math>\mu(n)=(-1)^r</math>. בפרט <math>\mu(1)=1</math>.

כלומר, הפונקציה מחזירה 1 עבור מכפלה של מספר זוגי של ראשוניים, ו-1- עבור מכפלה של מספר אי-זוגי של ראשוניים, לרבות עבור הראשוניים עצמם.

==תכונות==
*פונקציית מביוס היא פונקציה כפלית, כלומר אם <math>\gcd(m,n)=1</math> אז <math>\mu(mn)=\mu(m)\mu(n)</math>.
*<math>\sum_{d\,|\,n}\mu(d)=\begin{cases}1&:n=1\\0&:n\ge2\end{cases}</math>
*תכונה שימושית היא [[נוסחת ההיפוך של מביוס]], הנובעת מהיותה של פונקציית מביוס [[איבר הופכי|האיבר ההופכי]] לפונקציה <math>\mathbf{1}(n)\equiv1</math> ביחס ל[[קונבולוציית דיריכלה]].

==דוגמה לשימוש==
נסמן <math>f(m,n)=\left|\bigl\{k:1\le k\le m,\gcd\{k,n\}=1\bigr\}\right|</math>, פונקציית מספר המספרים בין 1 ל-<math>m</math> שזרים ל-<math>n</math>. נרצה למצוא נוסחה לחישוב <math>f</math>.

נסמן ב-<math>p_1,p_2,\ldots,p_r</math> את הראשוניים השונים שמחלקים את <math>n</math> (ייתכן יותר מפעם אחת). נחשב את <math>f</math> לפי [[עקרון ההכלה וההפרדה]]: ראשית נוסיף את כל המספרים בין 1 ל-<math>m</math>, יש <math>m</math> כאלה. אחר כך לכל <math>p_i</math> נוריד את כל המספרים שמתחלקים בו, יש <math>\left\lfloor\frac{m}{p_i}\right\rfloor</math> כאלה (לפירוש הסימון ראו [[פונקציית רצפה]]) אחר כך נוסיף לכל <math>p_i,p_j</math> את כל המספרים שמתחלקים בשניהם, יש <math>\left\lfloor\frac{m}{p_ip_j}\right\rfloor</math> כאלה, וכן הלאה. בסך הכל נקבל את הנוסחה:
:<math>f(m,n)=\sum_{S\sub\{1,\ldots,r\}}{(-1)^{|S|}\left\lfloor\frac{m}{\prod\limits_{s\in S}p_s}\right\rfloor}</math>
שבעזרת פונקציית מביוס אפשר להציגה בדרך פשוטה יותר:
:<math>f(m,n)=\sum_{d\,|\,n}\mu(d)\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor</math>
אם לוקחים <math>m=n</math> הביטוי בתוך הערך השלם נהיה שלם; במקרה זה אפשר לפשט את הביטוי ל-<math>n\left(1-\frac{1}{p_1}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{p_r}\right)</math>, שהיא הנוסחה הידועה לחישוב [[פונקציית אוילר]].

==הכללה==
אם <math>X</math> היא קבוצה עם [[סדר חלקי|יחס סדר חלש]], פונקציית מביוס של הקבוצה מוגדרת לפי השוויון <math>\mu(x,y)=[X]^{-1}_{a,b}</math>, כאשר ה[[מטריצה]] <math>[X]</math> מתארת את היחס
:<math>[X]_{a,b}=\begin{cases}1&:a\le b\\0&:a>b\end{cases}</math>
עבור המספרים הטבעיים עם יחס החילוק, מתקבלת פונקציית מביוס הרגילה.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
*{{לא מדויק|2012/01/07/mobius_inversion_formula|נוסחת ההיפוך של מביוס}}
*{{MathWorld|MoebiusFunction}}

[[קטגוריה:פונקציות אריתמטיות|מביוס]]
[[קטגוריה:קומבינטוריקה]]