הצגת המקור של הדף "פונקציית L של ארטין"

ב[[תורת המספרים]] '''פונקציית L של ארטין''' היא [[פונקציית L]] שמספקת מידע על ההתהגות של [[איבר פרובניוס]] המתאים [[ראשוני (שדה מספרים)|לראשוניים]] שונים [[הרחבת שדות|בהרחבת]] [[שדה מספרים|שדות מספרים]] נתונה. פונקציית L של ארטין מכלילה את [[פונקציית L של דיריכלה]]. כמו שפונקציית L של דירכלה מאפשרת לחקור התפלגות של ראשוניים בסדרה חשבונית, פונקציית L של ארטין מאפשרת לחקור התפלגות של ראשוניים בעלי תכונות [[תורת המספרים|אריתמטיות]] מורכבות יותר. לפי [[השערת לנגלנדס]], כל פונקציית L של ארטין שווה ל[[פונקציית L של תבנית אוטומורפית|פונקציית L]] של [[תבנית אוטומורפית]] מתאימה.

את הפונקציה הגדיר [[אמיל ארטין]] בשנת [[1923]] על מנת לפרק את [[פונקציית זטא של דדקינד]] למכפלה של פונקציות בצורה שתכליל פירוקים קודמים של [[ריכרד דדקינד|דדקינד]] ו[[היינריך מרטין ובר|ובר]].{{הערה|{{harv|ארטין|1923}}}}
==הקשר טרמינולגיה וסימונים==
בהינתן הרחבת גלואה של שדות מספרים <math>L/K</math> ו[[הצגה ליניארית|הצגה]] ([[שדה המספרים המרוכבים|מרוכבת]]) <math>\rho</math> של [[חבורת גלואה]] <math>Gal(L/K)</math>, פונקציית L של ארטין היא [[פונקציה מרומורפית]] על {{C}}. את ערכה של פונקציית L של ארטין בנקודה <math>s\in \C</math> מסמנם ב:
<math display="block">L(\rho,s).</math>
כרגיל בפונקציות L, הגדרות שונות של הפונקציה מגדירת פונקציה אנליטית רק בחלק מ[[המישור המרוכב]], כך שגם לצימצום של פונקציית L של ארטין לתחומים אלו קוראים לעיתים פונקציית L של ארטין ומסמנים אותה באותו האופן.

לפונקציית L של ארטין יש גם גרסה עבור הצגה של חבורת גלואה של הרחבה של [[שדה מקומי|שדות מקומיים]]. גרסה זו נקראת [[פונקציית L המקומית של ארטין]]. כשרוצים להדגיש שמדברים על פונקציית L של ארטין הלא מקומית מכנים אותה פונקציית L הגלובלית של ארטין. הסימונים במקרה המקומי מקבילים לסימונים במקרה הגלובלי. פונקציית L המקומית של ארטין פשוטה בהרבה מזאת הגלובלית. במקרה של [[שדה מקומי לא ארכימדי|שדות מקומיים לא ארכימדיים]] היא מהווה [[פונקציה רציונלית]] ב - <math>p^{s}</math> כאשר <math>p</math> הוא [[מציין שארית|מציין השארית]] של השדות המקומיים הרלוונטיים.

פונקציית L הגלובלית של ארטין היא [[מכפלה אינסופית]] של פונקצייות L מקומיות של ארטין המתאימות להרחבות שדות מקומיים לא ארכימדיים המתקבלים מההרחבה <math>L/K</math>. מסיבות טכניות לעיתים יותר נוח להגדיר את פונקציות L המקומיות של ארטין רק עבור חלק מהמקרים. אם מחליפים את המכפלה המלאה במכפלה חלקית מקבלים את פונקציית L החלקית של ארטין. למושג זה אין הגדרה מוסכמת אחת הוא טכני ותלוי הקשר.

ניתן להרחיב את המכפלה המגדירה את פונקציית L של ארטין כך שהיא תכיל גם פונקצייות L מקומיות המתאומות [[שדה ארכימדי|לשדות ארכימדיים]]. הפונקציה המתקבלת בצורה כזאת נקראת פונקציית L המורחבת של ארטין (או פונקציית <math>\Lambda</math> של ארטין) ומסומנת לעיתים ב - <math>\Lambda</math> במקום ב - <math>L</math>. היחס בין פונקציות L המורחבת של ארטין ופונקציות L של ארטין נקרא לעיתים כופל גמא. זאת משום שניתן להביע אותו באמצעות ביטוי פשוט יחסית שמערב את [[פונקציית גמא]].

כרגיל בפונקציות L, המכפלה שמגדירה את הפונקציה, הטור שמתקבל מפתיחת הסוגריים בה, הפונקציה עצמה וההמשכות האנליטיות שלה לקבוצות שונות במישור כולן נקראות באותו השם.

==רקע==
===מקומות בשדה מספרים===
בהינתן [[שדה מספרים]] <math>K</math>, [[מקום סופי של שדה מספרים|מקום סופי]] של <math>K</math> הוא [[אידיאל ראשוני]] של החוג <math>O_K</math> של [[חוג השלמים בשדה מספרים|השלמים]] ב - <math>K</math>.{{הערה|לעיתים המקומות הסופיים של <math>K</math> נקראים ראשוניים של <math>K</math> ולעיתים
הם נקראים גם המקומות ה[[ערך מוחלט לא-ארכימדי|לא-ארכימדיים]] של  <math>K</math>}} אם <math>K=\Q</math> אז המקומות של <math>K</math> הם פשוט [[מספר ראשוני|מספרים ראשוניים]].

מקומות סופיים של <math>K</math> הם מקרה פרטי של [[מקום של שדה מספרים|מקומות של <math>K</math>]]. המקומת של <math>K</math> כוללים מלבד המקומות הסופיים של <math>K</math> גם את המקומות האינסופיים של <math>K</math>.{{הערה|נרקאים לעיתים המקומות ה[[ערך מוחלט ארכימדי|הארכימדיים]]  של  <math>K</math>}} ניתן להגדיר את המקומות הארכימדיים בתור שיכונים של <math>K</math> ל - {{C}}.

נסמן את אוסף המקומות הסופיים של שדה <math>K</math> ב - <math>\Pi_K</math>.

===מקומות לא מסועפים===
נקבע הרחבה סופית של שדות מספרים <math>L/K</math>.
בהינתן מקום סופי <math>\mathcal P \subset O_K</math> ניתן לפרק את האידיאל <math>\mathcal P O_L\subset O_K</math> לאידיאלים ראשוניים:
<math display="block">\mathcal P O_L=\mathcal Q_1^{e_1}\cdots \mathcal Q_n^{e_n}</math>
אומרים שמקומות <math>\mathcal Q_i</math> נמצאים מעל המקום <math>\mathcal P</math>. אומרים ש - <math>\mathcal Q_i</math> אינו מסועף ביחס להרחבה <math>L/K</math> אם <math>e_i=1</math>.
אומרים ש - <math>\mathcal P</math> אינו מסועף ביחס להרחבה <math>L/K</math> כל המקומות של <math>L</math> הנמצאים מעליו אינם מסועפים.

ניתן להראות ש[[כמעט כל]] המקומות (הסופיים) של <math>K</math> (זאת אומרת כולם פרט למספר סופי) הם לא מסועפים ביחס להרחבה הנתונה <math>L/K</math>.
נסמן את אוסף המקומות הסופיים של שדה <math>K</math> שאינם מסועפים ביחס ל - <math>L/K</math> ב - <math>\Pi_K^{L-un}</math>.
 <!-- שראשוני <math>\mathcal Q \subset O_E</math> נמצא מעל ראשוני <math>\mathcal P \subset O_K</math> אם <math>\mathcal Q \cap O_F= \mathcal P</math>. -->

===איבר פרובניוס===
{{ערך מורחב|איבר פרובניוס}}
עבור [[הרחבת גלואה]] סופית של שדות מספרים <math>L/K</math> ועבור מקום סופי <math>\mathcal Q\subset O_L</math> שאינו מסועף ביחס להרחבה זאת [[פרדיננד גאורג פרובניוס|פרובניוס]] הגדיר איבר <math>Fr_{\mathcal Q}</math> ב[[חבורת גלואה]] <math>Gal(L/K)</math>. איבר זה נקרא [[איבר פרובניוס]]. ניתן להראורת שאם <math>\mathcal Q_1, \mathcal Q_2 \subset \mathcal O_L</math> הם שני מקומות הנמצאים מעל אותו מקום סופי של <math>K</math> אז איברי פרובניוס
<math>Fr_{\mathcal Q_1}</math> ו - <math>Fr_{\mathcal Q_2}</math> [[הצמדה (תורת החבורות)|צמודים]] בחבורת גלואה <math>Gal(L/K)</math>. בהתאם, עבור ראשוני <math>\mathcal P\subset O_K</math> שאינו מסועף ביחס להרחבה <math>L/K</math>, מגדירים את איבר פרובניוס <math>Fr_{\mathcal P}\in Gal(L/K)</math> להיות איבר פרובניוס של אחד הראשוניים של <math>L</math> הנמצאים מעל <math>\mathcal P</math>. איבר זה אינו מוגדר היטב כאיבר בחבורה אך מוגדר עד כדי הצמדה. במילים אחרות [[מחלקת צמידות|מחלקת הצמידות]] שלו מוגדרת היטב. ניתן להרחיב הגדרה זו גם למקומות סופיים מסועפים, אולם במקרה זה איבר פרובניוס יהיה איבר בחבורת גלואה שונה במקצת.

==הגדרה==
נקבע [[הרחבת גלואה]] של [[שדה מספרים|שדות מספרים]] <math>L/K</math> ו[[הצגה ליניארית|הצגה]] ([[שדה המספרים המרוכבים|מרוכבת]]) <math>\rho</math> של [[חבורת גלואה]] <math>Gal(L/K)</math>.
===פונקציית L המקומית של ארטין ===
יהי <math>\mathcal P \subset O_K</math> [[מקום של שדה מספרים|מקום]] סופי של <math>K</math> שאינו מסועף ביחס להרחבה <math>L/K</math>. נגדיר
<math display="block">L_{\mathcal P}(\rho,s):=\frac{1}{\det\left((1-|O_K/\mathcal P|^{-s}\rho(Fr_{\mathcal P}) \right) }</math>
פונקציה זו (כפונקציה מ - <math>s</math>) נקראת פונקציית L המקומית של ארטין. זוהי פונקציה רצינלית ב - <math>p^s</math> ובפרט [[פונקציה מרומורפית]] ב - <math>s</math>. ניתן להרחיב הגדרה זו גם עבור מקומות סופיים מסועפים. ההגדרה מסובכת מעט יותר אך עדיין נותנת פונקציות רציונליות ב - <math>p^s</math>. ניתן גם להרחיב הגדה זו גם עבור מקומות אינסופיים. אולם במקרה זה לא יהיה ניתן להביע את הפונקציה שתתקבל באמצעות פונקציה רציונלית, ותתקבל פונקציה מרומורפית מסובכת יותר הניתנת להבעה באמצעות [[פונקציית גמא]].

'''הערה:''' אם בוחרים מקום סופי <math>\mathcal Q</math> הנמצא מעל <math>\mathcal P</math> אז ניתן להגדיר הרחבת [[שדה מקומי|שדות מקומיים]]
<math>L_{\mathcal Q}/K_{\mathcal P}</math> כאשר <math>L_{\mathcal Q} </math> ו - <math>K_{\mathcal P}</math> הם ההשלמות של <math>L </math> ו - <math>K</math> על פי ה[[ערך מוחלט|ערכים המוחלטים]] המוגדרים באמצעות המקומות המתאימים. מכאן מקבלים שיכון של [[חבורת גלואה|חבורות גלואה]]
<math>Gal(L_\mathcal Q/K_\mathcal P)\subset Gal(L/K)</math>. קל לראות שפונקציית L המקומית של ארטין תלויה רק בשדות <math>L_{\mathcal Q} </math> ו - <math>K_{\mathcal P}</math> ובצימצום <math>\rho|_{Gal(L_{\mathcal Q}/K_{\mathcal P})}</math>. למעשה ניתן להגדיר אותה עבור כל הצגה <math>\tau</math> של <math>Gal(E/F)</math> כאשר <math>E/F</math> היא הרחבת גלואה של [[שדה מקומי|שדות מקומיים]]. במקרה כזה מסמנים את ערכה של פונקציית L המקומית של ארטין ב - <math>L(\tau,s)</math>.

===פונקציית L הגלובלית של ארטין ===
פונקציית L של ארטין מוגדרת באופן הבא:
<math display="block">L(\rho,s)=\prod_{\mathcal P \in \Pi_K^{}}L_\mathcal P(\rho,s).</math>
קל לראות שמכפלה זו מתכנסת עבור <math>s</math> בעל [[חלק ממשי]] גדול מספיק, ובהתאם מגדירה [[פונקציה אנליטית]] ב[[חצי מישור]] ימני.

===פונקציית L החלקית של ארטין ===
בהינתן [[קבוצה סופית]] של מקומות סופיים <math>S\subset \Pi_K</math> ניתן להגדיר את פונקציית L החלקית של ארטין על ידי
<math display="block">L^S(\rho,s)=\prod_{\mathcal P \in \Pi_K\smallsetminus S}L_\mathcal P(\rho,s).</math>
בדרך כלל בוחרים את <math>S</math> כך שתכיל את כל ההמקומות המסועפים. בכך אפשר להימנע מהעיסוק בראשוניים המסועפים בהם ההגדרה של פונקציות L המקומייות מסובכת יותר.
בחירות שונות של <math>S</math> ישנו את הפונקציה, אבל, למטרות רבות, שינוי זה לא יהיה משמעותי. יחס בין שתי פונקציות L חלקיות הוא [[פונקציה מרומורפית]] עם תיאור פשוט יחסית. הנתוח של פונקציית L החלקית פשוט יותר מזאת של המלאה (בהנחה שבוחרים את <math>S</math> באופן מתאים), עם זאת הוא מספק מידע רב על פונקציית L המלאה, כך שדי בו כדי להוכיח תכונות רבות של פונקציית L של ארטין. לאומת זאת, עבור תכונות עדיונת יותר, כמו [[השערת ארטין]] ומשוואה פונקציאלית (ראו להלן) לא די בפונקציית L החלקית.

===פונקציית L המורחבת של ארטין ===
פונקציית L המורחבת של ארטין מוגדרת באופן דומה לפונקציית L של ארטין אלא שהמכפלה היא על כל [[מקום (שדה מספרים)|המקומות]] של <math>K</math>. במילים אחרות פונקציית L המורחבת של ארטין היא המכפלה של פונקציית L של ארטין במכפלת פונקציית L המקומיות של ארטין עבור כל [[מקום ארכימדי|המקומות הארכימדיים]]. המכפלה של פונקציית L המקומיות של ארטין עבור כל [[מקום ארכימדי|המקומות הארכימדיים]] של <math>K</math> נקראת לעיתים כופל גמה והגדרתה מבוססת על [[פונקציית גמא]]. כופל גמה פשוט בהרבה מפונקציית L של ארטין (בגלל שהמכפלה בהגדרתו היא סופית) אולם מסובך יותר מפונקציית L המקומית של ארטין.

==תכונות==
{{מספור מקונן 2|
# {{עוגן|ת1|'''[[המשכה אנליטית|המשכה]] [[פונקציה מרומורפית|מרומורפית]]:'''}} לפונקציית L של ארטין יש המשכה מרומורפית לכל המישור.
# {{עוגן|ת2|'''[[השערת ארטין]]:'''}} על פי השערה זו, עבור הצגה לא טריוויאלית <math>\rho</math>, פונקציית L של ארטין היא [[פונקציה שלמה|אנליטית בכל המישור]].
# {{עוגן|ת3|'''[[משוואה פונקציונלית]]:'''}} יש משוואה פונקציונלית הקושרת בין ערכי פונקציות L של ארטין בנקודות <math>s</math> ו - <math>1-s</math> במונחים של פונקציית L המורחבת של ארטין ניתן להביע משוואה זו כך:<math display="block">\Lambda(\rho,s)= W(\rho)\Lambda(\rho^*, 1 - s)</math> כאשר <math>\rho^*</math> מסמנת את [[הצגה דואלית|ההצגה הדואלית]] ו - <math>W(\rho)</math> הוא [[מספר מרוכב]] עם [[ערך מוחלט]] 1.
# {{עוגן|ת4|'''[[פונקציה כפלית|כיפליות]]:'''}} בהינתן 2 הצגות של חבורת גלואה <math>\rho_1</math> ו - <math>\rho_2</math> מתקיים: <math display="block">L(\rho_1\oplus \rho_2,s)=L(\rho_1,s)L(\rho_2,s)</math>
# {{עוגן|ת5|'''קשר בין הפונקציות לשדות שונים:'''}} בהינתן זוג הרחבות גלואה <math display="block">M/L/K</math> ובהינתן הצגה <math>\rho</math> של <math>Gal(M/L)</math> מתקיים: <math display="block">L(\rho,s)=L(Ind_{Gal(M/L)}^{Gal(M/K)}(\rho),s)</math> כאשר <math>Ind_{Gal(M/L)}^{Gal(M/K)}</math> מסמן את [[הצגה מושרית|פנקטור האינדוקציה]] מ - <math>Gal(M/L)</math> ל - <math>{Gal(M/K)}</math>
# {{עוגן|ת6|'''קשר ל[[פונקציית זטא של דדקינד]]:'''}} אם <math>\rho</math> היא ההצגה הטריביאלית של <math>Gal(L/K)</math> אז מתקיים <math display="block">L(\rho,s)=\zeta_K(s)</math> כאשר <math>\zeta_K</math> היא פונקציית זטא של דדקינד
# {{עוגן|ת7|'''פרוק של פונקציית זטא של דדקינד לפונקציות L של ארטין:'''}} משלושת הטענות האחרונות (ומהפרוק של ההצגה הרגולרית של חבורת גלואה) קל להסיק את הטענה הבאה: <math display="block">\zeta_L(s)=\prod_{\rho\in irr(Gal(L/K))}L(\rho,s)^{dim(\rho)}=\zeta_K(s)\prod_{\rho\in irr(Gal(L/K))\smallsetminus {1}}L(\rho,s)^{dim(\rho)}</math>
# {{עוגן|ת8|'''אי התאפסות'''}}
## {{עוגן|ת81|פונקציית L של ארטין לא מתאפסת בתחום <math>\{s\in \C|\Re(s)\geq 1\}</math>}} (ההוכחה מקבילה להוכחת הטענה המקבילה עבור פונקציית זטא של רימן שמהווה חלק עיקרי בהוכחת משפט המספרים הראשוניים).
## בדומה לפונקציוית זטא של רימן ושל דדקינד, במרוצת השנים הוכחו משפטים על אי התאפסות של פונקציות L של ארטין.
## [[השערת רימן המוכללת]] ביחד עם השערת ארטין גוררות שפונקציות L של ארטין לא מתאפסת בחצי המישור: <math display="block">\{s\in \C|\Re(s)> \frac{1}{2}\}.</math> זוהי ההכללה האולטימטיבית של כל תוצאות אי-ההתאפסות האמורות.}}
'''הערות:'''
* [[משפט בראואר]] (יחד עם תכונות [[#ת4|4]],[[#ת5|5]]) מאפשר לעשות רדוקציה עבור תכונות [[#ת1|1]],[[#ת3|3]] למקרה בו <math>\rho</math> היא [[קרקטר כפלי]]. מקרה זה דומה למדי להוכחות של הטענות המקבילות עבור [[פונקציית זטא של רימן]], [[פונקציית זטא של דדקינד]], [[פונקציית L של דיריכלה]], ו[[פונקציית L של הקה]].
* תכונות [[#ת4|4]]-[[#ת7|7]] תקפות גם עבור יתר הגרסאות של פונקציית L של ארטין.

==שימושים וקשרים לתחומים שונים==
===קשר להתפלגות איבר פרובניוס===
כמו שאי-התאפסות של [[פונקציית זטא של רימן]] מספקת מידע על ההתפלגות של [[מספר ראשוני|המספרים הראשוניים]], ואי-התאפסות של פונקציית L של דיריכלה מספקת מידע על [[משפט דיריכלה|ההתפלגות של המספרים הראשוניים בסדרה חשבונית]], כך גם אי-התאפסות של פונקציית L של ארטין מספקת מידע על ההתפלגות של [[איבר פרובניוס|איברי פרובניוס]] של מספרים ראשוניים שוניים ביחס להרחבת שדות נתונה. בפרט אפשר להסיק מתכונה 8.1 למעלה, את משפט הצפיפות של צ'בוטרב בגרסתו הנוגעת לצפיפות הטבעית.

מידע זה נותן מידע על התפלגות של ההתנהגות של [[פולינום]] עם מקדמים [[מספר שלם|שלמים]] כאשר חוקרים אותו מודולו מספר ראשוני רץ, או באופן כללי יותר על התפלגות של ההתנהגות של [[סכמה (מתמטיקה)|סכמה]] כאשר חוקרים אותה מודולו מספר ראשוני רץ.
===השערת לנגלנדס===
{{ערך מורחב|השערת לנגלנדס}}
השערת לנגלנדס מקשרות בין הצגות (n-ממדיות) של [[חבורת גלואה האבסולוטית]] של שדה מספרים {{לאטך|K}} לבין [[תבנית אוטומורפית|תבניות אוטומורפיות]] המתאימות לחבורה {{לאטך|GL_n}} מעל השדה {{לאטך|K}}. הצגה של חבורת גלואה האבסולוטית של {{לאטך|K}} [[הרכבה של פונקציות|מתפקטרת]] דרך הצגה של חבורת גלואה של הרחבה נורמלית <math>L/K</math>. אחת הדרכים לאפיין את התאמת לנגלנדס היא הטענה שפונקציית L של ארטין המתאימה להצגה {{לאטך|\rho}} שווה ל[[פונקציית L של תבנית אוטומורפית|פונקציית L שמתאימה לתבנית האוטומורפית]] המתאימה ל - {{לאטך|\rho}} תחת התאמת לנגלנדס.

== ראו גם ==
{{תקציר פורטל|מתמטיקה}}
* [[פונקציית L של דיריכלה]]
* [[איבר פרובניוס]]
* [[משפט הצפיפות של צ'בוטרב]]
* [[השערת לנגלנדס]]

==לקריאה נוספת==
*{{Cite journal
|first=אמיל
|last=ארטין
| author1-link=אמיל ארטין
|title=Über eine neue Art von L Reihen |journal=Hamb. Math. Abh. |volume=3 |year=1923 }} Reprinted in his collected works, {{ISBN|0-387-90686-X}}. English translation in [https://web.archive.org/web/20120127220201/http://www.math.columbia.edu/~nsnyder/thesismain.pdf Artin L-Functions: A Historical Approach] by N. Snyder.
*{{Citation
| last1=ארטין | first1=אמיל
| author1-link=אמיל ארטין
| title=Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren. | language=de | doi=10.1007/BF02941010 |jfm=56.0173.02 | year=1930 | journal=  Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg| volume=8 | pages=292–306| s2cid=120987633 }}
*{{Cite journal |doi=10.1090/S0273-0979-1981-14936-3 |last=Tunnell |first=Jerrold |title=Artin's conjecture for representations of octahedral type |journal=Bull. Amer. Math. Soc. |series=N. S. |volume=5 |year=1981 |issue=2 |pages=173–175 |doi-access=free }}
*{{Cite book
|last=גלברט|first=סטיבן
| author-link = סטיבן גלברט
|chapter=Automorphic forms and Artin's conjecture |title=Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976) |pages=241–276 |series=Lecture Notes in Math. |volume=627 |publisher=Springer |location=Berlin |year=1977 }}
*{{cite web
|last=לנגלנדס
|first=רוברט
|author-link=רוברט לנגלנדס
|title=Letter to Prof. Weil|year=1967|url=http://publications.ias.edu/rpl/section/21}}
*{{cite book | last1=Langlands | first1=Robert P. | title=Lectures in modern analysis and applications, III | url=http://publications.ias.edu/rpl/section/21 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series= Lecture Notes in Math | isbn=978-3-540-05284-5 | doi=10.1007/BFb0079065 | mr=0302614 | year=1970 | volume=170 | chapter=Problems in the theory of automorphic forms | pages=18–61}}
*{{cite book | last=Martinet | first=J. | chapter=Character theory and Artin L-functions | pages=1–87 | title=Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975 | editor1-last=Fröhlich | editor1-first=A. | editor1-link=Albrecht Fröhlich | publisher=Academic Press | year=1977 | isbn=0-12-268960-7 | zbl=0359.12015 }}
*{{Springer|first=R.|last= Perlis|id=a/a120270|title=Artin root numbers}}
*{{cite book | last1=Prasad|first1=Dipendra |last2=Yogananda|first2=C. S. |editor1-last=Bambah|editor1-first=R. P.|editor2-last=Dumir|editor2-first=V. C.|editor3-last=Hans-Gill|editor3-first=R. J.|chapter=A Report on Artin's Holomorphy Conjecture|title=Number Theory|year=2000|publisher=Birkhäuser Basel|pages=301–314|isbn=978-3-0348-7023-8|doi=10.1007/978-3-0348-7023-8_16|url=http://www.math.tifr.res.in/~dprasad/artin.pdf}}

==קישורים חיצוניים==
* [https://people.math.osu.edu/cogdell.1/artin-www.pdf מאמר סקירה] מאת [[ג'יימס קוגדל]] על הנושא.
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
{{פונקציות L וזטא}}

[[קטגוריה:תורת המספרים]]
[[קטגוריה:פונקציות זטא]]