הצגת המקור של הדף "פורמליזם (מתמטיקה)"

ה'''פורמליזם''' (ב[[עברית]]: '''הצרנה''') הוא [[מתודולוגיה|מתודה]] [[מתמטיקה|מתמטית]], שמהווה מלבד שיטת עבודה גם [[פילוסופיה]] ותפיסה כוללת לגבי מהות המתמטיקה.

== הפורמליזם כשיטה ==

הפורמליזם כשיטה מתייחס למערכת ה[[משוואה|משוואות]], ה[[נוסחה|נוסחאות]], ה[[סימון מתמטי|סימנים]] ו[[כלל היסק|חוקי ההסקה]], שבאמצעותם תורה מתמטית מביעה את ה[[טענה|טענות]] שלה. לפי שיטה זו, ניתן לתאר אותה על ידי '''הצרנה''' שלה (רישומה והצגתה באמצעות סמלים ועצמים של התאוריה) ואז [[היסק|להסיק]] ממנה מסקנות על ידי הפעלה מכנית של כללי הלוגיקה עליה. אף שזו אינה דרך פעולה נוחה להוכחת טענות חדשות, היא יעילה כאמצעי ל[[אישוש]] נכונותן של טענות קיימות (אם ניתן להצרין את ההוכחות הקיימות עבורן), ולחיפוש מכני של הוכחות חדשות (למשל, באמצעות [[מחשב]]).

השימוש הידוע ביותר (לקהל הרחב) בהצרנה הוא הצרנת [[לוגיקה|טענות לוגיות]] לשם ניתוח המבנה והתוקף שלהן. שיטה זו שימושית במיוחד כדי לטפל בשאלות היגיון במבחנים דוגמת [[הפסיכומטרי]].

=== דוגמה להצרנה ===

לדוגמה, נראה את [[חידת היגיון|שאלת ההיגיון]] הבאה:
:"אם יֵרד גשם, רוני ייקח מטרייה." מהי הקביעה השקולה לקביעה הנתונה?
:# רוני ייקח מטרייה.
:# אם לא יֵרד גשם, רוני לא ייקח מטרייה.
:# אם לא יֵרד גשם, רוני ייקח מטרייה.
:# אם רוני לא ייקח מטרייה, סימן שלא יֵרד גשם.

התשובה הנכונה היא תשובה 4.

'''הסבר:'''

אם נסמן את הביטוי "יֵרד גשם" ב-<math>R</math> ואת הביטוי "רוני ייקח מטרייה" ב-<math>U</math>, אזי ההצרנה של "אם יֵרד גשם, רוני ייקח מטרייה" היא <math>\ R \rightarrow U</math> (<math>R</math> [[גרירה לוגית|גורר]] <math>U</math>).

כעת נצרין את התשובות:
# <math>\ U </math>
# <math>\ \lnot R \rightarrow \lnot U </math>
# <math>\ \lnot R \rightarrow U </math>
# <math>\ \lnot U \rightarrow \lnot R </math>
מבחינה [[לוגיקה|לוגית]], רק תשובה 4 שקולה להצהרה המקורית, ובפרט, היא היחידה שנובעת ממנה.
את ה[[שקילות (לוגיקה)|שקילות]] הנ"ל אפשר לוודא ישירות באמצעות [[טבלת אמת]].

להסברים מפורטים יותר בנושא זה, ראו בערך [[תחשיב הפסוקים]].

==הרחבה==
===שקילות===
ניקח לדוגמה את המשפט: "כל הילדים שותים פטל".
:# '''היפוך סדר הטענות''': "כל הילדים שותים פטל" ← "כל מי ששותה פטל הוא ילד".
:# '''הוספת המילה 'רק' או גריעת המילה 'רק'''': "כל הילדים שותים פטל" ← "רק הילדים שותים פטל".
:# '''הפיכת טענות לשליליות או לחיוביות''': "כל הילדים שותים פטל" ← "כל מי שלא ילד לא שותה פטל".

אם עשינו שתיים מהפעולות האלו<!-- צריך לציין אם שתיים בדיוק או לפחות שתיים. --> – המשפט שקול.

'''תרגיל:'''

עבור הטענה "כל ספרי המדע הוזלו", מצא את הטענה השקולה לה:
:# כל מה שהוזל הוא ספרי מדע.
:# כל מה שלא הוזל אינו ספרי מדע.
:# רק ספרי מדע הוזלו.
:# יש ספרים שהוזלו.

===יחס טרנזיטיבי===
{{הפניה לערך מורחב|יחס טרנזיטיבי}}
אם <math>a</math> גורר את <math>b</math> ו-<math>b</math> גורר את <math>c</math>, הרי ש-<math>a</math> גורר את <math>c</math>.

==התזה האקסיומטית==
ה[[אסכולה]] הפורמליסטית אימצה את התזה האקסיומטית של [[דויד הילברט]], הטוענת כי ה[[מתמטיקה]] היא [[נוסחה|הנוסחאות]] הקונקרטיות עצמן, שהן אוסף עצמים קונקרטיים המהווים 'אותיות', ולא [[משמעות]] כלשהי שנייחס לנוסחאות. כלומר, לעצמי המתמטיקה אין שום משמעות כי הם לא מורים על שום דבר מלבד עצמם. כדי להשיג מצב כזה, פיתח הילברט שיטה של "הגדרה מקופלת", בה העצמים המתמטיים מוגדרים בשלמות על ידי ה[[אקסיומה|אקסיומות]] אותן הם מקיימים (ראו למשל: [[נקודה (גאומטריה)|נקודה גאומטרית]]). כאשר הילברט ניגש לנסח את התזה הזאת הוא הושפע מאוד מ[[עמנואל קאנט]] ומטרתו הייתה להעניק למתמטיקה ול[[משפט (מתמטיקה)|משפטיה]] ודאות מוחלטת ושלמות (כלומר: התורה המתמטית מכילה רק את מה שה[[מתמטיקאי]] מכניס לתוכה, כך שהוא יכול להכירה באופן שלם ובלתי אמצעי).

על סמך [[תזה]] זו פיתח הילברט [[תוכנית הילברט|מפעל שלם]], שמטרתו היה לבסס את המתמטיקה במסגרת ההצרנה (פורמליזציה) המלאה שלה וניסוח [[ריגורוזיות|ריגורוזי]] ומקיף של האקסיומות העומדות בבסיסה. תוכנית זאת התגלתה כחסרת תוחלת, אחרי שהלוגיקן ה[[אוסטריה|אוסטרי]] [[קורט גדל]] הוכיח את [[משפטי האי-שלמות של גדל|משפטי האי-שלמות שלו]], שהוכיחו שאי אפשר לנסח תורה אקסיומטית המכילה את ה[[אריתמטיקה]], שתהיה גם [[עקביות (לוגיקה)|עקבית]] וגם [[שלמות|שלמה]] (כלומר, שכל טענה ניתן להוכיח או להפריך במסגרת האקסיומות; או במילים אחרות: לא קיים משפט אמיתי שאי-אפשר להוכיח באמצעות האקסיומות). תגלית זו הנחיתה מכת מוות על התוכנית של הילברט.

אף על פי שהפורמליזם כשל כפילוסופיה יסודית ומקיפה, הוא פרח ביותר כשיטת עבודה וכחלק מהתרבות המתמטית.

== ראו גם ==
* [[מתמטיקה]]
* [[ריגורוזיות]]
* [[פילוסופיה של המתמטיקה]]
* [[פילוסופיה של המדע]]
* [[שלוש מהפכות קופרניקניות]]
* [[מערכת פורמלית]]

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:מושגים במתמטיקה]]
[[קטגוריה:פילוסופיה של המתמטיקה]]
[[קטגוריה:דויד הילברט]]