הצגת המקור של הדף "פיזיקה סטטיסטית"

[[קובץ:Milk clouds in tea.jpeg|שמאל|ממוזער|200px|במערכות מרובות עצמים, מציאת מצבו של כל עצם בנפרד היא בלתי אפשרית. שאיפתה של הפיזיקה הסטטיסטית היא לתאר את המערכת כולה, ולא כל עצם בה. כך, לדוגמה, תיאור מצבה של כל מולקולה בתוך [[כוס (כלי)|כוס]] ה[[תה]] הוא בלתי אפשרי, אך ניתן למצוא גדלים כלליים של המערכת, כמו את ה[[טמפרטורה]] של התה, [[נפח]]ו או ה[[לחץ]] שהוא מפעיל על דפנות הכוס.]]
'''פיזיקה סטטיסטית''' (או '''מכניקה סטטיסטית''') היא תחום ב[[פיזיקה]], המנתח את התנהגותן של מערכות פיזיקליות בכלים מתמטיים של [[תורת ההסתברות]]. הפיזיקה הסטטיסטית, בניגוד לתחומים פיזיקליים אחרים (כמו, למשל, [[מכניקה קלאסית]]), איננה שואפת לתאר את מצבה המדויק של מערכת פיזיקלית נתונה אלא את הערכים הממוצעים (או המסתברים ביותר) בהן היא יכולה להימצא. מניתוח ההתנהגות הממוצעת של כל חלקיקי המערכת, יכולה הפיזיקה הסטטיסטית להגדיר ולנתח מאפיינים של המערכת הגדולה, מאפיינים כגון [[לחץ]], [[נפח]], [[טמפרטורה]] ו[[אנטרופיה]]. בכך הפיזיקה הסטטיסטית מניחה את הבסיס המיקרוסקופי לתורת ה[[תרמודינמיקה]]. 

תיאור הכולל מידע אודות כל עצם במערכת ומאפייניו הפיזיקליים נקרא "תיאור מיקרוסקופי" ובהתאם למצבים השונים של העצמים מתאימים "[[מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)|מצבים מיקרוסקופיים]]". מנגד, תיאור של מאפיינים כלליים של המערכת נקרא "תיאור מאקרוסקופי" ומצבים כלליים של המערכת נקראים "מצבים מאקרוסקופיים".

הצורך לבצע הערכות סטטיסטיות כלליות אודות מערכות פיזיקליות עולה בעת הניסיון לנתח מערכות מרובות חלקיקים, משום ששם מאבדות התורות המכניות הקלאסיות – הן הניוטונית והן [[מכניקה אנליטית|הניסוחים האנליטיים]] – את יישומיותן. אין זה מעשי לכתוב או לפתור משוואות תנועה עבור כמות חלקיקים מסדר גודל של [[מספר אבוגדרו]] הן מבחינה חישובית והן משום שקשה עד בלתי אפשרי למדוד את תנאי ההתחלה של המערכת, מה גם שלרוב ידיעת מצבו המדויק של עצם אחד בתוך מערכת גדולה (למשל, [[מולקולה|מולקולת]] נוזל אחת בתוך כוס) איננה נדרשת ואילו ידיעת מצבה הכללי של המערכת (למשל, [[טמפרטורה]] של הנוזל בכוס) היא שימושית בהרבה.

הכלים אשר מספקת הפיזיקה הסטטיסטית ניתנים ליישום הן עבור מערכות קלאסיות והן עבור מערכות [[תורת הקוונטים|קוונטיות]] ו[[תורת היחסות|יחסותיות]]. כמו כן, בחלק מכלים אלו ניתן לטפל גם במערכות שאינן בהכרח פיזיקליות, בהן מערכות [[ביולוגיה|ביולוגיות]], [[כלכלה|כלכליות]], ונוספות.

== היסטוריה ==
[[קובץ:Danielbernoulli.jpg|שמאל|ממוזער|130px|[[דניאל ברנולי]] – אבי מודל ה[[גז אידיאלי|גז האידיאלי]] אותו פיתח על סמך אנלוגיה לכדורי [[ביליארד]]]]
[[קובץ:Hermann von Helmholtz.jpg|שמאל|ממוזער|130px|[[הרמן פון הלמהולץ]] – מאבות [[חוק שימור האנרגיה]] ומפתח רעיון האנרגיה החופשית]]
[[קובץ:James Clerk Maxwell big.jpg|שמאל|ממוזער|130px|[[ג'יימס קלרק מקסוול]] – מפתח [[התפלגות מקסוול-בולצמן|התפלגות מקסוול]] והוגה רעיון [[השד של מקסוול]]]]
[[קובץ:Max planck.jpg|שמאל|130px|ממוזער|[[מקס פלאנק]] – תרם לפיתוח ההסבר של [[קרינת גוף שחור]] וחישב את [[מספר אבוגדרו]]]]
[[קובץ:Boltzmann-Ludwig.jpg|שמאל|ממוזער|130px|[[לודוויג בולצמן]] – הוגה [[הנחת הארגודיות]] ומנסח [[משפט ה-H]] ו[[התפלגות בולצמן]]]]
[[קובץ:Albert Einstein Head.jpg|שמאל|ממוזער|130px|[[אלברט איינשטיין]] – פיתח הסבר לתופעת ה[[תנועה בראונית|תנועה הבראונית]] ובעזרת [[תורת הקוונטים]] הסביר את התנהגות [[קיבול חום|קיבול החום]] של מוצקים בטמפרטורות נמוכות וחזה את [[עיבוי בוז-איינשטיין]]]]
=== התפתחות התרמודינמיקה ===
להתפתחותה של הפיזיקה הסטטיסטית קשר הדוק להתפתחותה של תורת ה[[תרמודינמיקה]] שהתפתחה ב[[המאה ה-19|מאה ה-19]]. החלוצים בפיתוחה של תורה זו היו [[סאדי קרנו]], [[יוליוס פון מאייר]] (Julius von Mayer) <!-- Julius Robert von Mayer -->, [[הרמן פון הלמהולץ]], [[ויליאם תומסון]] (הלורד קלווין) ו[[רודולף קלאוזיוס]]. מאייר היה הראשון שהציג גרסה של [[החוק הראשון של התרמודינמיקה]] במאמר משנת [[1842]] בו הראה שקילות בין [[עבודה (פיזיקה)|עבודה]] ל[[חום (פיזיקה)|חום]]. לתוצאות דומות הגיע גם [[ג'יימס ג'ול]] על סמך תוצאות ניסיוניות. הלמהולץ, בעקבות מחקריו ובנפרד מעבודותיהם הקודמות של מאייר וג'ול, הגיע לגרסה המוכללת יותר של אותן ההבנות והציג את [[חוק שימור האנרגיה]] כחוק כללי בעל אופי אוניברסלי.{{ש}}
בשנת [[1850]], בהסתמך על עבודותיהם של קרנו ושל הלמהולץ, הציג קלאוזיוס גרסה ראשונית של [[החוק השני של התרמודינמיקה]], אליה הגיע בנפרד גם תומסון בשנת [[1851]]. גרסה זו קבעה כי זרימת חום ספונטנית תיתכן רק מגוף חם לגוף קר, כפי שניסח זאת קלאוזיוס, או כי לא ניתן להפיק עבודה על ידי קירורו של [[מאגר חום]], כפי שהציג זאת תומסון. בשנת [[1865]] הציג קלאוזיוס גרסה נוספת של חוק זה, הקרובה יותר לזו המוכרת כיום, בה התייחס לראשונה לשינוי ב[[אנטרופיה]] – מושג שהפך בהמשך לאחד המרכזיים בפיזיקה סטטיסטית – כיחס שבין כמות החום שגוף מקבל לבין ה[[טמפרטורה]] שלו.

===ראשית התפתחות הפיזיקה הסטטיסטית===

בשנת [[1738]] פרסם [[דניאל ברנולי]] מאמר בו הגיע ל[[גז אידיאלי#משוואת המצב|משוואת המצב של גז אידיאלי]] על סמך מודל של [[כדור משחק|כדורי]] [[ביליארד]]. למודל זה חשיבות רבה הן משום שבעזרת כלים מודרניים יותר ניתן להסיקו במספר דרכים ולנתחו בצורה אנליטית מלאה והן משום שימושיו הרבים כ[[מודל|מערכת מודל]]. כך, למשל, בכלים מודרניים ניתן לגזור את [[חוק פעולת המסות]] מתוך מודל הגז האידיאלי.

הראשון שחיבר בין תרמודינמיקה ל[[התורה האטומית|תורה האטומית]] היה [[אוגוסט קארל קרניג]] <!-- August Karl Krönig --> אשר בשנת [[1856]] פרסם מאמר בהשפעת זה של ברנולי בו הציג [[גז]] כאוסף של כדורים אלסטיים המבצעים תנועה [[תורת הכאוס|כאוטית]]. עבודותיו של קרניג, בהן שילב אלמנטים הסתברותיים לתיאור התנגשויות בין-מולקולריות, היו עבודות חלוציות בחידושן בפיתוח הפיזיקה הסטטיסטית. בשנים [[1857]] ו-[[1858]] פרסם קלאוזיוס מאמרים בהם סקר בהרחבה את [[התאוריה הקינטית של הגזים]] בהם הציג שני מושגים חדשים, הם [[מהלך חופשי ממוצע]] ו[[חתך פעולה להתנגשות]]. במקביל לקלאוזיוס, עבד על חקר תחום זה גם [[ג'יימס קלרק מקסוול]] אשר פרסם בשנת [[1866]] את [[התפלגות מקסוול-בולצמן|התפלגות מקסוול]] (אשר נקראה לימים "התפלגות מקסוול-בולצמן") המציגה את ההסתברות של מולקולת גז להמצא במהירות מסוימת. בשנת [[1867]] עמד מקסוול על אופיו הסטטיסטי של החוק השני של התרמודינמיקה והציע את הקשר בין [[אנטרופיה]] ל[[תורת האינפורמציה|אינפורמציה]], אותו חידד באמצעות הניסוי המחשבתי הידוע אודות [[השד של מקסוול]]. בשנת [[1878]] הציע מקסוול את שם התחום "מכניקה סטטיסטית". ברבות הימים, עם הכללת השימוש בכלים שסיפק ענף זה לפתירת בעיות שונות בפיזיקה החורגות מהתחום המכני גרידא, התקבל גם השם "פיזיקה סטטיסטית".

בשנת [[1865]] פרסם [[יוהאן לושמידט]], מ[[אוניברסיטת וינה]], <!-- Johann Josef Loschmidt --> הערכה לגבי גודלן של מולקולות, בעזרתה חישב לימים [[מקס פלאנק]] את [[מספר אבוגדרו]]. שנתיים קודם לכן התמנה [[יוזף סטפן]]<!-- Jožef Stefan --> לראש המחלקה לפיזיקה באוניברסיטה זו. באותה השנה, [[1863]], החל [[לודוויג בולצמן]] את לימודיו באוניברסיטת ווינה. בהשפעתם של לושמידט ושל סטפן, כמו גם של קלאוזיוס ומקסוול, החל בולצמן לעבוד על התורה הקינטית של הגז. בשנת [[1866]] מצא את התפלגות האנרגיות בגז.{{ש}}בשנת [[1871]] ניסח בולצמן את הנחת הארגודיות, לה חשיבות רבה בניסוח המודרני של המכניקה הסטטיסטית. לפי הנחה זו, ניתן להחליף את חישובו של ממוצע לפי הזמן של ערך פיזיקלי נתון בממוצע על אותו הערך על פני צבר. שנה מאוחר יותר, בשנת [[1872]], פרסם בולצמן את [[משפט ה-H]] שמשמעותו, בהכללה, היא כי ה[[אנטרופיה]] של מערכת סטטיסטית עולה באופן בלתי-הפיך עם התקדמותה לעבר מצב של [[שיווי משקל תרמודינמי]]. בולצמן הוא זה אשר זיהה את האנטרופיה, במילים פשוטות, כמידת "חוסר הסדר" במערכת. המשפט, אשר סתר לכאורה את ה[[מכניקה קלאסית|מכניקה הקלאסית]] בה תהליכים הם הפיכים בזמן, עורר הדים רבים. כמו כן, ניסח בולצמן את [[התפלגות בולצמן]] המתארת את ההסתברות של מערכת סטטיסטית להימצא במצב אנרגטי מסוים. באותה השנה, 1872, נסע בולצמן לברלין ושם נפגש עם [[גוסטב קירכהוף]] ועם הלמהולץ. במפגשים אלו החליפו רעיונות אשר השפיעו על המשך עבודותיהם.

במקביל לבולצמן, פיתח הפיזיקאי [[ג'וסיה וילארד גיבס|וילרד גיבס]] <!-- Josiah Willard Gibbs --> את גישת [[צבר (פיזיקה סטטיסטית)|הצברים]], לה תפקיד מרכזי בפיזיקה הסטטיסטית המודרנית. גיבס היה הראשון שהצביע על חשיבות ושימושיות הטענה לפיה במערכות סגורות האנטרופיה של מערכת שואפת לערך מרבי, אותה הכליל ופיתח בולצמן במסגרת מחקריו. במסגרת עבודתו על הצבר המיקרו-קנוני (ראו בהמשך) מצא כי ה[[פרמטר]] ב[[התפלגות בולצמן]] אותו לא ידע בולצמן במדויק, הקושר בין ההסתברות של מערכת להימצא במצב מסוים לבין האנרגיה שלה בו, תלוי בטמפרטורה ובקבוע אשר נקרא לימים "קבוע בולצמן".

=== שכלול הרעיונות היסודיים ושילוב הפיזיקה הקוונטית ===
שנות הארבעים של אותה המאה הביאו עמן צורך טכנולוגי במנועים חזקים ובשכלול התעשייה הכימית שהתפתחה בימים אלו. צרכים אלו האיצו את המחקר התרמודינמי ובשנים אלו פיתח הלמהולץ את רעיונות ה[[אנרגיה חופשית (תרמודינמיקה)|אנרגיה החופשית]] והוא ותלמידיו עבדו על חקר התרמודימיקה של [[תגובה כימית|תגובות כימיות]] ושל [[תא גלווני|תאים גלווניים]]. {{ש}}
בין תלמידיו של הלמהולץ נמנה [[וילהלם וין]] אשר ניסח את [[חוק וין]] הדן בספקטרום הפליטה של [[קרינת גוף שחור|גוף שחור]]. הניסיון להסביר את החוק מתוך עקרונות תאורטיים עניין את הפיזיקאי מקס פלאנק אשר התעניין בגישתו הסטטיסטית של בולצמן. חוסר ההצלחה להסביר את פליטת הגוף השחור בעזרת ההנחות הפיזיקליות אשר היו תקפות בזמנו הובילו את פלאנק להציע כי האור הנפלט מגוף שחור נפלט במנות קצובות, הנקראות כיום "קוונטות של אור" או "[[פוטון|פוטונים]]" ובכך להניח את אחת מאבני היסוד של המכניקה הקוונטית. ל[[חוק סטפן בולצמן]] וחוק וין, הנגזרים מהנחה זו בעזרת כליה של המכניקה הסטטיסטית, חשיבות רבה ב[[אסטרופיזיקה]], שכן הם מאפשרים להסיק מידע על הטמפרטורה של גרמי שמיים על סמך האור שהם פולטים.

קושי נוסף אשר העיב על התפתחות התחום הוצג בשנת [[1890]] כאשר הציג [[אנרי פואנקרה]] את [[משפט החזרה של פואנקרה]] על פיו בתנאים מסוימים מערכות סטטיסטיות יכולות להגיע למצב קרוב ככל רצוננו ביחס למצבן ההתחלתי בתוך זמן סופי. משפט זה עמד, לכאורה, בסתירה לתאוריה הסטטיסטית כפי שנוסחה על ידי בולצמן וגיבס, ממנה עולה כי בתהליך לא הפיך תעלה האנטרופיה של מערכת סגורה. טענה זו של פואנקרה הובילה לפקפוק בנכונותה של הנחת הארגודיות של בולצמן, אך למרות כך תאוריה זו המשיכה להיות כלי מרכזי בהתפתחות המכניקה הסטטיסטית. גרעין ההסבר לבעיה זו נמצא אף הוא על ידי פואנקרה בשנת 1890.

בשנת [[1905]] ניסח [[ולטר נרנסט]] את [[החוק השלישי של התרמודינמיקה]] ובהסתמך עליו אף הציע כי ההפרש בין אנרגיה חופשית ל[[אנרגיה פנימית]] של גוף שואף לאפס כאשר הטמפרטורה מתקרבת ל[[האפס המוחלט|אפס המוחלט]]. פלאנק הכליל טענה זו לטענה "האנטרופיה של כל המערכות הנמצאות בשיווי משקל באפס המוחלט מתאפסת". המחקר אודות התנהגותן של מערכות בטמפרטורה נמוכה עורר בעיות הנוגעות ל[[קיבול חום]]. מעבר לקשיים הטכניים במדידת קיבול חום בטמפרטורות נמוכות, הסתבר כי בטמפרטורות נמוכות יורד קיבול החום של מערכות באופן חריף, בניגוד לתחזיות התאורטיות. פתרון לבעיה זו נמצא לבסוף על ידי הפיזיקאי [[אלברט איינשטיין]] אשר פרסם בשנת [[1907]] מאמר בו הראה כי תופעה זו נגרמת עקב אפקטים [[תורת הקוונטים|קוונטיים]]. ניתוח זה היה מאבות הפיזיקה הסטטיסטית הקוונטית. ראיות אמפיריות לנכונות הסברו של איינשטיין נמצאו בשנת [[1910]] על ידי נרנסט ושותפיו למחקר והיו לבין ההוכחות הניסיוניות הראשונות לתקופתה של מכניקת הקוונטים.

שנתיים קודם להסברו הזה של איינשטיין, בשנת [[1905]] (היא "[[שנת הפלאות]]") פרסם איינשטיין הסבר מתמטי לתופעת ה[[תנועה בראונית|תנועה הבראונית]], בה גופים קטנים (כמו [[אבקנים]] או [[אבק]]) מבצעים תנועה אקראית על פניו של נוזל תוך העזרות בכלים מתחום הפיזיקה הסטטיסטית. הסבר איכותי ניתן לתופעה זו עוד קודם לכן בשנת [[1889]] על ידי [[לואי ז'ורז' גואי]]<!-- Louis Georges Gouy -->: תנועה זו נגרמת עקב תנועותיהן האקראיות של מולקולות הנוזל המחזיקות את הגופים. איינשטיין, שלא הכיר את התופעה, חזה אותה מנימוקים תאורטיים כחלק ממחקר בו ניסה לבסס את [[התורה האטומית]]. ההתאמה שבין הסברו של איינשטיין לתצפיות המדעיות, בצד התאמת התצפיות לחישוביו של פלאנק, הובילה לקבלת התאוריה התורה האטומית ולכן נחשב הסבר זה ל"הוכחה" לקיומם של אטומים.

באותה התקופה עבד איינשטיין על [[תורת היחסות הכללית]] ובמקביל חקר את תחום הפיזיקה הסטטיסטית. בשנת [[1916]] עבד על נושא ה[[פליטה ספונטנית|פליטה הספונטנית]], ה[[פליטה מאולצת|הפליטה המאולצת]] ובליעת האנרגיה שהיו הבסיס לתורת ה[[לייזר]]ים. בשנת [[1924]] פורסמו תחזיותיו של איינשטיין לגבי [[עיבוי בוז-איינשטיין]], המתבססות על פיזיקה סטטיסטית קוונטית ששוכללה לצורך ניתוח זה.

=== תרומות תאורטיות מאוחרות יותר ===
תרומה תאורטית חשובה לתחום בוצעה על ידי המתמטיקאי [[קונסטנטין קרתיאודורי]] אשר פיתח ניסוח אקסיומטי של יסודות התרמודינמיקה בו הסביר את מושגי הטמפרטורה והאנטרופיה באמצעות התורה המתמטית של [[תבנית פאף דיפרנציאלית]]<!-- Pfaffian differential forms -->. אף על פי שניסוח זה לא התקבל בתחילה, למרות תמיכה רבה שהביע בו פלאנק, הוא הפך ברבות הימים למרכזי בניסוחים המודרניים של התורה.

אף על פי שבמבט ראשון נראה היה כי תחומים אלו אינם קשורים זה לזה, הסתבר עם חלוף הזמן כי לתורת ה[[דינמיקה לא ליניארית|דינמיקה הלא ליניארית]] קשר הדוק ליסודות התורה הסטטיסטית. עבודותיו של פואנקרה בתחום אודות יציבויות של מסלולים אפשרו ל[[ג'ון פון נוימן]] ול[[ג'ורג' דייוויד בירקהוף]]<!-- George David Birkhoff --> להציג גרסה משופרת של [[הנחת הארגודיות]] בשנות השלושים של [[המאה ה-20]]. בשנת [[1932]] פרסם פון נוימן ספר שבו סקר את הקשרים בין תכונות מיקרוסקופיות למקרוסקופיות של מערכות קוונטיות בו הציג לראשונה את [[נוסחת פון נוימן]] וכן רעיונות מרכזיים נוספים בפיזיקה סטטיסטית קוונטית מודרנית בהם תיאור סטטיסטי של תהליך ה[[מדידה]] הקוונטי.

הראשון שעמד על טיב הקשר בין [[תורת האינפורמציה]] לבין פיזיקה סטטיסטית היה מקסוול בניסויו המחשבתי, בו בחן את הקשר בין מעבר האינפורמציה מן המערכת אל הצופה המודד לבין תכונותיה האנטרופיות. צעד משמעותי נוסף בכיוון זה בוצע על ידי [[לאו סילארד]] שעבודת ה[[תיזה]] שכתב בשנת [[1927]] עסקה בקשר בין אינפורמציה לאנטרופיה. עבודה זו נחשבת כיום לבסיסית בנוגע ליישום של שיטות הסתברותיות בפיזיקה סטטיסטית. גם עבודתו של סילארד, כמו של פון נוימן שהיה חברו, עסקה בהיבטים תרמודינמיים של המדידה הקוונטית.{{ש}} במסגרת עבודותיו בנושא מערכות שאינן בשיווי משקל, עסק [[אדווין תומפסון ג'יינס]]<!-- Edwin Thompson Jaynes --> בביסוס יסודותיה של המכניקה הסטטיסטית על סמך ידע מתורת האינפורמציה. [[דמיטרי זובארב]]<!-- Dmitry Zubarev --> המשיך לפתח את רעיונותיו של ג'יינס ולחקור את ההבטים האינפורמטיביים של מערכות בהן האנטרופיה שואפת לערכה המרבי. [[קלוד שנון]] פרסם בשנים [[1938]] ו-[[1948]] מספר חיבורים הנוגעים לתורת האינפורמציה שתרמו להבנת התאוריה של מערכות סטטיסטיות.

=== מוליכות-על ונוזליות-על ===
חקר התנהגותם של חומרים בטמפרטורות מסדר גודל של [[קלווין]] ספורים, ובפרט תופעות ה[[מוליכות-על]] וה[[על-נוזל|נוזליות-על]], החל להחקר באינטנסיביות ב[[שנות השלושים של המאה העשרים]] ונמשך עד לימינו. תופעות אלו מתייחסות להתנהגויות ייחודיות של חומרים מסוימים בטמפרטורות אלו. על-מוליכות היא מצב המתקיים בתנאים מסוימים (של טמפרטורה ו[[שדה מגנטי]]) בהם מאבדים מספר חומרים את ה[[התנגדות חשמלית|התנגדות החשמלית]] שלהם ומתנהגים כמוליכים מושלמים. על-נוזלים, בטמפרטורות נמוכות, מאבדים את [[צמיגות]]ם ונוטים לזלוג מדפנות מכלים בהם הם נשמרים.{{ש}}
בשנת [[1934]] הראו קורנליוס גורטר ו[[הנדריק קזימיר]]<!-- Cornelius Jacobus Gorter and Hendrik Bruygt Gerhard Casimir --> שעל-מוליכים דוחים מפניהם שדות מגנטיים. היבטים מסוימים של תופעת העל נוזליות תוארו בשנת [[1937]] על ידי קאפיצה <!-- Peter Leonidovich Kapitza --> במקביל לאלן<!-- John Frank Allen --> ולמיסנר<!-- A D Miscner -->. הסבר עקרוני של התופעה ניתן על ידי [[לב לנדאו]] בשנת [[1941]] וזיכה אותו ב[[פרס נובל לפיזיקה]], אך הסבר מלא ומפורט טרם נמצא עד היום. בשנת [[1950]] הוצג מודל [[מודל גינזבורג-לנדאו]] על שמם של לב לנדאו ו[[ויטאלי גינזבורג]] המתאר את התופעה היטב בצורה מקרוסקופית ומסביר, בין היתר, את [[אפקט מייסנר]]. על סמך מודל זה הראה [[אלכסיי אבריקוסוב]] כי מוליכי העל העונים על תיאור זה צפויים להתחלק לשתי קבוצות בעלי תכונות שונות, כפי שנחזה מאוחר יותר בניסוי. על גילויים אלו זכו גינצבורג ואבריקוסוב בפרס נובל לפיזיקה בשנת 2003. במקביל לפרסום מודל גינצבורג-לנדאו, הציע הרברט פרליך <!-- Herbert Frölich --> כי אינטראקציות של החלפת [[פונון|פונונים]] הן אחד מגורמי תופעת העל-מוליכות זו ובכך הציע לראשונה מודל המשלב את [[תורת השדות הקוונטית]] עם הפיזיקה הסטטיסטית. בשנת [[1956]] הוצע לתופעה הסבר כולל, התואם את התוצאות הניסיוניות, על ידי [[לאון קופר]], ג'ון ברדין וג'ון רוברט שריפר<!-- Leon Cooper, John Bardeen and John Robert Schrieffer -->. לפי הסבר זה, נגרמת התופעה על ידי אינטראקציה בה משתתפים זוגות אלקטרונים הנקראים [[זוג קופר|זוגות קופר]] המחליפים ביניהם פונונים. לתופעת ה'''[[מוליכות-על בטמפרטורות גבוהות]]''', שהתגלתה בשנת [[1987]], טרם נמצא הסבר. תופעה זו מתייחסת להתנהגות של מספר חומרים כעל-מוליכים בטמפרטורות גבוהות יחסית לאלו של על-מוליכים "רגילים".

== תורת הצברים ==
=== מבוא ===
{{הפניה לערך מורחב|צבר (פיזיקה סטטיסטית)}}
תאורה הסטטיסטי של מערכת פיזיקלית מורכבת ממומש על ידי רעיון ה[[צבר (פיזיקה סטטיסטית)|צבר]], הוא אוסף גדול מאוד של מערכות הזהות בתנאיהן החיצוניים למערכת הנחקרת. על ידי חקר סטטיסטי של המערכות השונות בצבר ניתן ללמוד על אופייה של המערכת הנחקרת. כך, למשל, אם נרצה לחקור את הטמפרטורה האופיינית לכוס תה מסוימת, נוכל לערוך [[ניסוי מחשבתי]] בו נדון באוסף הכולל כמות עצומה של כוסות תה להן מספר תכונות מקרוסקופיות זהות, לדוגמה, כמות זהה של תה, בכולן אגורה אותה כמות של אנרגיה, אותו [[נפח]] וכדומה. אם נחקור את כל הכוסות שבצבר, הרי שגם אם לכולן אנרגיה זהה, יכולים להיות הבדלים בתיאור המיקרוסקופי שלהן. כדי לתאר את המערכת בצורה סטטיסטית נוכל לדון ב[[הסתברות]] למצוא את הכוס ב[[מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)|מצבים מיקרוסקופים]] שונים.

ניתן לחקור מערכת זהה באשר המאפיינים הקבועים בצבר המאפיין אותה שונים. כך, למשל, אם נחזור לדוגמת כוס התה, ניתן לוותר על ההגבלה לפיה כמות האנרגיה האגורה בכל כוס שכזו היא זהה ולדון במקומה בצבר בו לכל הכוסות טמפרטורה זהה וכך לחקור את האנרגיה האופיינית של כוס התה. כל אוסף תנאים שכזה, הקובע את מאפייניו של הצבר, מתאים לפתרונן של בעיות פיזיקליות שונות ומכתיב תיאור מתמטי שונה של המערכת. כך, למשל, צבר המערכות בהן האנרגיה, הנפח וכמות החלקיקים זהים נקרא "צבר מיקרו-קאנוני". לעומת כך, החלפת אילוץ האנרגיה הזהה באילוץ על טמפרטורה זהה מגדיר צבר הנקרא "הצבר הקאנוני". באופן דומה, אם מוחלף האילוץ על כמות החלקיקים המערכת באילוץ על מספר החלקיקים הממוצע או באילוץ על המחיר האנרגטי של הוספת/גריעת חלקיק מהמערכת, הרי שהצבר המתאים למערכת נקרא "הצבר הגראנד קאנוני". אחד הרעיונות החשובים בפיזיקה סטטיסטית הוא שעבור מערכות בעלות מספר גדול של חלקיקים, הצברים השונים שקולים זה לזה משום במערכות גדולות הסטיות מן הממוצע הן קטנות יחסית{{הערה|1=ניתן לראות צידוק מתמטי לטענה זו ב[[משפט הגבול המרכזי]], הקובע כי סכומם של [[משתנה אקראי|משתנים אקראיים]] רבים מתפלג אקראית עם שונות היורדת כשורש ממספרם של המשתנים האקראיים, במקרה זה - החלקיקים. להרחבה ראו [[צבר (פיזיקה סטטיסטית)|צבר]]}} ולכן תנאי המערכת קובעים את המצב המסתבר ביותר בצורה טובה למדי. המשך הדיון בפרק זה הוא איכותי ואילו דיון מתמטי מפורט יותר במאפייני הצברים השונים נמצא בערך [[צבר (פיזיקה סטטיסטית)|צבר]].

=== הצבר המיקרו-קנוני ===
{{ערך מורחב|צבר מיקרוקנוני}}
אחת מהנחות היסוד של הפיזיקה הסטטיסטית היא כי בהינתן [[מערכת פיזיקלית|מערכת סגורה]] מיקרו-קאנונית (בה, כאמור, כמות החום, הנפח וכמות החלקיקים נקבעו מראש) אזי ה[[הסתברות]] שהמערכת תמצא בכל אחד מן [[מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)|המצבים המיקרוסקופיים]] האפשריים המקיימים את כל המאפיינים הקבועים מראש (נקראים "מצבים זמינים") היא זהה וכי ההסתברות שהמערכת תמצא במצב אחר, אשר איננו מקיים את התנאים האלו (למשל, בו סכום האנרגיות של כל החלקיקים גדול מהאנרגיה שנקבעה למערכת כולה בניגוד ל[[חוק שימור האנרגיה]]) היא אפס. בשפה מתמטית, אם למערכת נתונה <math>\ g</math> מצבים זמינים, אזי הסיכוי שהיא תמצא באחד מהם הוא
<math>P= \frac{1}{g}</math>.
להלכה, לא ניתן לאמת הנחה זו בצורה ניסויית, אך ניתן להצדיקה משיקולים תאורטיים{{הערה|1=בראייה מודרנית, ניתן להצדיק הנחה זו על סמך ניתוח של מצבי המערכת ב[[מרחב הפאזות]] ושימוש ב[[משפט ליוביל (פיזיקה)|משפט ליוביל]] או על ידי שימוש בהנחה כי במערכת סגורה האנטרופיה מרבית במצב של שיווי משקל ושימוש בעקרונות ווריאציה על מנת למצוא מינימום של האנטרופיה.}} או לבדוק את המסקנות המתקבלות ממנה בצורה ניסויית.

מצב מקרוסקופי של מערכת נתונה יכול להתקבל, באופן הכללי ביותר, על ידי מספר [[מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)|מצבים מיקרוסקופיים]]. תופעה זו נקראת [[ניוון (פיזיקה)|ניוון]]. כך, למשל, בכלי בו מולקולות [[גז]] רבות, ישנן מספר דרכים לסדר את מולקולות הגז כך שמחציתן תהיינה בחלקו האחד ומחציתן השנייה באחר. מכאן ניתן להסיק כי ההסתברות שהמערכת תהיה במצב מקרוסקופי מסוים שווה לסכום כל ההסתברויות של המצבים המיקרוסקופיים המתאימים לאותו המצב המקרוסקופי. בשפה מתמטית, אם למצב מקרוסקופי מסוים מתאימים <math>\ n</math> מצבים מיקרוסקופיים, אזי ההסתברות כי המערכת תמצא בו היא <math>P=\frac{n}{g}</math>. מתוך ההנחה כי לכל [[מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)|מצב מיקרוסקופי]] אותה ההסתברות עולה כי המצב המקרוסקופי המסתבר ביותר בכל הצבר המיקרוקאנוני הוא זה לו מתאים המספר הרב ביותר של [[מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)|מצבים מיקרוסקופיים]].

כאשר שתי מערכות מסוג זה מוצמדות זו לזו כך שהן רשאיות להחליף [[חום (פיזיקה)|חום]] אחת עם השנייה (אך ה[[נפח]] ומספר החלקיקים בכל מערכת נותר קבוע), אזי הן תחלפנה אנרגיה עד אשר המערכת המורכבת מחיבור של שתי המערכות תגיע אל מצב של [[שיווי משקל תרמודינמי]] בו חילוף החום הכולל בין המערכות ייפסק ולכן האנרגיה בכל מערכת תגיע לערך הקיצון שלה – מזערי או מרבי (לפי [[משפט פרמה (לנקודות קיצון)|משפט פרמה]]). ניסוח פורמלי של הטענה האחרונה שקול לטענה "בין שתי מערכות ביניהן מגע תרמי יזרום חום עד אשר הטמפרטורות של שתי המערכות תשתוונה."

=== צבירים נוספים ורעיון המאגר ===
[[קובץ:Heat bath.svg|שמאל|ממוזער|250px|מערכת ומאגר חום המחובר אליה – מאגר החום מעביר חום אל המערכת וכך שומר על הטמפרטורה שלה קבועה.]]
ניתוח של צבר מערכות מיקרוקאנוניות איננו נוח משום שההגבלות בו אינן תמיד מתקיימות באופן מעשי – להלכה, ישנן מערכות פיזיקליות רבות בהן האנרגיה, הנפח או מספר החלקיקים אינם קבועים. על מנת לטפל במערכות מסוג זה, ננקטת גישה שונה במעט. במקרים אלו מניחים כי המערכת מוצמדת אל מערכת נוספת, עצומת ממדים ובעלת כמות גדולה כרצוננו של חום וחלקיקים. מערכת מסוג זה נקראת "מאגר חום" כאשר היא קובעת את כמות החום במערכת, "מאגר חלקיקים" כאשר היא קובעת את כמות החלקיקים במערכת, "מאגר לחץ" כשהיא קובעת את הלחץ במערכת וכדומה, בהתאם להקשר הנדון. כך, לדוגמה, בחדר בו החלונות פתוחים ובו טמפרטורה קבועה, ישנו נפח קבוע אך מולקולות אוויר תזרומנה אל האטמוספירה החיצונית או ממנה עד להגעה לשיווי משקל. האטמוספירה מתפקדת, במקרה זה, כמאגר חום וחלקיקים.
רעיון השימוש במאגר שימושי משום שכאשר מניחים כי המערכת אותה אנו מעוניינים לנתח, ביחד עם המאגר, מהוות מערכת מיקרו-קאנונית אחת, מבחינה מתמטית, הדבר מאפשר שימוש בפורמליזם המתמטי המתאר את הצבר המיקרו-קאנוני כבסיס לקבלת התיאור המתמטי המאפיין צברים אחרים. כך, למשל, בצורה זו ניתן לקבל את [[התפלגות בולצמן]], המתארת את המשקל ההסתברותי המתאים למצבי אנרגיה שונים במערכת שבה תתכנה אנרגיות שונות.

אם נניח, לשם הדגמה, כי המערכת בה אנו דנים היא בעלת טמפרטורה קבועה, הרי שמאגר החום מצוי באותה הטמפרטורה, כך שעם כל שינוי במצב המערכת, המערכת תחליף אנרגיה עם מאגר החום עד שהטמפרטורות שלהן תשתווינה וכך תקבע לבסוף טמפרטורת המערכת, מבלי שתשנה הטמפרטורה של המאגר בעצמו, עקב גודלו הרב. אם נשוב לדוגמת החדר, הרי שהתייצבות הטמפרטורה בחדר איננה משנה את טמפרטורת האטמוספירה בצורה נראית לעין.

== עקרונות נוספים ==
=== הנחת הארגודיות ===
למעשה, בפועל, נמדד מצבה של מערכת סטטיסטית אחת, ולא של צבר. אם כך, מדוע דן הפורמליזם של הפיזיקה הסטטיסטית בצברים?

מדידת מצבה של מערכת פיזיקלית כלשהו מתבצע לאורך [[זמן]] מסוים ואיננה יכול להתבצע מיידית. לכן, תוצאות מעשיות של מדידת ערך פיזיקלי של מערכת מסוימת מניבות ערך שהוא [[ממוצע]] על פני זמן המדידה. כאשר מדובר במערכת דינמית הנמצאת בשיווי משקל, אזי אין משמעות למשך המדידה עצמו, אשר יכול להיות גם [[אינסוף|אינסופי]], כיוון שהמערכת לא משתנה במהלכו, ולכן אותו ערך ממוצע של המערכת יתקבל בכל מדידה. עם זאת, במערכת סטטיסטית, בה משוואות התנועה אינן בהכרח פתירות ושבה הפתרונות אינם בהכרח יציבים בזמן, חישוב ממוצע לאורך זמן איננו אפשרי. על מנת להתגבר על קושי זה, הציע בולצמן את הנחת הארגודיות. לפי הנחה זו, ניתן להחליף את חישוב הממוצע של [[גודל פיזיקלי]] על פני זמן בחישוב הממוצע שלו על פני צבר.{{הערה|בצורה מדויקת, הטיעון מחליף את חישובו של ממוצע על הפני הזמן בחישובו של ממוצע על נפח ב[[מרחב הפאזה]] או, בכתיב מתמטי:
<math>\left\langle A \right\rangle_{time} = \left\langle A \right\rangle_{ensemble} = \frac{\int A d\Gamma}{\int d\Gamma}</math>
כאשר <math>\ A</math> הוא הגודל הנמדד, <math>\ d\Gamma</math> הוא אלמנט נפח במרחב הפאזה והאינטגרציה על התחום שבין
<math>\mathcal{H}=E</math>
לבין
<math>\mathcal{H}=E+\Delta E</math>.
}}
הרעיון אשר הנחה את בולצמן הוא כי במהלך זמן המדידה המערכת נמצאת [[מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)|במצבים מיקרוסקופיים]] שונים (שיווי משקל תרמודינמי הוא שיווי משקל דינמי, היינו – המערכת משתנה במהלכו, אך השינויים בה מקזזים אלו את אלו) ולכן מיצוע על פני מצבים שונים בצבר יהיה שקול למיצוע על פני מצבים שונים בזמן.

הנחתו של בולצמן עוררה עניין רב גם בקרב מתמטיקאים, אשר עסקו בה במקביל לפיתוחה של [[תורת המידה]] באותם הזמנים. הענף המתמטי אשר פותח על מנת לטפל בתורתו של בולצמן נקרא "[[מתמטיקה ארגודית]]", או "התורה הארגודית". עם השנים נמצא כי הנחת הארגודיות, לפחות בניסוחה הפשטני כפי שהוצג כאן, איננה מתקיימת בהכרח. עקב מרכזיותה בניסוח של הפיזיקה הסטטיסטית ועקב עמידת המסקנות שהוסקו ממנה במבחן ה[[ניסוי]], ניסו פיזיקאים ומתמטיקאים למצוא לה תחליף. הפתרון לבעיה זו נמצא עם עבודותיהם של ניומן ובירקוף <!-- Birkoff --> אשר הציגו תיקונים תאורטיים להנחה בדמות תורה המכונה כיום "התורה הקווזי-ארגודית", לפיה החלפת ממוצע על זמן אינסופי ב[[כמעט כל]] [[מרחב הפאזה]] ניתן להחלפה בממוצע על פני צבר{{הערה|1=בצורה מדויקת יותר, אם מרחב הפאזה הוא אי-פריד מטרית, אזי הממוצע על זמן אינסופי [[גבול (מתמטיקה)|מתכנס]] לממוצע על פני צבר.}}.

=== האנטרופיה ותפקידה ===
ב[[תרמודינמיקה]] הוגדרה ה[[אנטרופיה]] על ידי [[רודולף קלאוזיוס]] כיחס שבין כמות החום שגוף מקבל לבין הטמפרטורה המוחלטת שלו. בולצמן הוכיח, במסגרת [[משפט ה-H]], כי האנטרופיה של מערכת סגורה יכולה רק לגדול עם הגעתה לשיווי משקל.{{הערה|באופן מדויק יותר היסטורית, בולצמן התייחס לגודל <math>H= \int f \ln f d\sigma</math>, כאשר
<math>\ f</math>
היא פונקציית ההתפלגות של מהירויות עבור מולקולות בגז ו-
<math>\ d\sigma=dv_xdv_ydv_z</math>.
להלכה, מדובר בערך התוחלת של
<math>\ \ln f</math>.
לגודל זה, כפול בקבוע הנקרא כיום "[[קבוע בולצמן]]", קרא גיבס "אנטרופיה". בולצמן הוכיח כי
<math>\frac{dH}{dt}\le 0</math>.
בהמשך, זיהה בולצמן את הקשר <math>S\propto -H</math> עבור האנטרופיה <math>\ S</math>, ומכאן עולה כי האנטרופיה של המולקולות בגז יכולה רק לעלות. בחלוף הזמן עבר המשפט [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] עבור מערכות סטטיסטיות כלליות כאשר פונקציית ההתפלגות הוכללה, למעשה, ל[[התפלגות בולצמן]].}} תהליך זה, כפי שתואר על ידי בולצמן, הוא בלתי הפיך, בניגוד לכללי ה[[מכניקה קלאסית|מכניקה הקלאסית]], בה בהינתן תנאי התחלה מתאימים וכל הכוחות הפועלים במערכת, ניתן תאורטית לחשב את מצבה בעבר. כמענה לבעיה זו ציין בולצמן כי טבעה של עליית האנטרופיה איננו מכני גרידא, כי אם מתבסס על עקרונות הסתברותיים: ההסתברות כי מערכת תמצא במצב שבו האנטרופיה נמוכה היא קטנה יותר, משום שלמצבים אלו מתאימים, בניסוח מודרני, מצבים מיקרוסקופיים מעטים יותר מאשר למצבים בהם האנטרופיה גבוהה, או [[פונקציית ריבוי|פונקציית הריבוי]] מחזירה ערך גבוה יותר. מחקר נוסף הביא ל[[נוסחת האנטרופיה של בולצמן]], שהאנטרופיה של מערכת פרופורציונית ללוגריתם של מספר [[מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)|המצבים המיקרוסקופיים]] המתאימים לה: <math>S \propto \ln g</math>. כיום, נהוג להגדיר את קבוע הפרופורציה בתור [[קבוע בולצמן]] (כך שמתקיים <math>\ S =k_B \ln g</math>), או פשוט, כאחד (כך שמתקיים
<math>\ S = \ln g</math>).

משמעותה של טענה זו, בשפה ציורית, היא כי האנטרופיה של מערכת סטטיסטית קשורה לחוסר הסדר בה, וכי חוסר סדר זה שואף תמיד לעלות בדרכה של המערכת לשיווי משקל. כדוגמה, בהינתן בקבוק [[בושם]] פתוח, המצב בו כל מולקולות הבושם נמצאות בתוך הבקבוק, שהוא מצב "מסודר" יחסית, יתחלף עם מצב שבו מולקולות הבושם מפוזרות בחדר ב"אי-סדר" כאשר בקבוק הבושם והחדר יגיעו לשיווי משקל תרמודינמי. חוק עליית האנטרופיה במערכת סגורה הוא מבין החוקים החשובים ביותר של המכניקה הסטטיסטית ולו השלכות מדעיות נרחבות, כמו הגדרת כיוונו של [[חץ הזמן]] ככיוון שבו האנטרופיה של היקום הנראה גדלה.

=== השפעות שפה ===
[[קובץ:Combination of two systems.svg|שמאל|ממוזער|200px|בחיבורן של שתי קופסאות מלאות גז לאחת, אובדת השפעתן של הדופן השמאלית בקופסה הימנית ושל הדופן הימנית בקופסה השמאלית. אם אלו קיימו אינטראקציה מסוימת עם חלקיקי הגז, הרי שבמערכת החדשה אינטראקציה זו איננה מתקיימת, אך בקירוב המערכות הגדולות בו עוסקת הפיזיקה הסטטיסטית, השפעה זו זניחה.]]
נוהגים למנות את המשתנים המאפיינים צברים בזוגות מתאימים שקביעת אחד מהם קובעת את השני, כך שלמכפלתם ממדים של אנרגיה. זוגות משתנים אלו נקראים "זוגות קאנוניים". לדוגמה, בצבר קאנוני נקבע נפח המערכת, אשר קובע את לחצה ואילו בצבר האיזותרמי-איזוברי, הלחץ הקבוע, קובע את הנפח. זוגות נוספים הם, למשל, מספר החלקיקים וה[[פוטנציאל כימי|פוטנציאל הכימי]] או ה[[שדה מגנטי|שדה המגנטי]] וה[[מגנוט]]. בזוגות אלו, כל זוג כולל [[משתנה אקסטנסיבי]], הוא משתנה התלוי באופן ישר בגודל המערכת, ו[[משתנה אינטנסיבי]], שאיננו תלוי ישירות בגודל המערכת.

כך, לדוגמה, אם נקח שתי קופסאות מבודדות זהות בהן גז ונחברן לאחת, הנפח, מספר החלקיקים והאנטרופיה של המערכת החדשה יוכפלו פי שניים ולכן אלו משתנים אקסטנסיביים ואילו הלחץ, הפוטנציאל הכימי והטמפרטורה יישארו, בקירוב, זהים ולכן הם מאפיינים אינטנסיביים. קירוב זה מתבסס על ההנחה שעקב גודלן של המערכות, ניתן להזניח השפעות שפה. במקרה הקופסה, למשל, בחיבור שתי קופסאות לאחת, הורסים את הדפנות המשותפות שלהן, שהאינטראקציות שלהן עם חלקיקי הגז השפיעו על מאפייני כל אחת מהקופסאות המקוריות, ועתה השפעתן אובדת. עם זאת, בהנחה של מערכות גדולות, המתאפשרת עקב ריבוי החלקיקים במערכות בהן עוסקת הפיזיקה הסטטיסטית, מזניחים השפעה זו ומניחים כי עיקר התרומה לתכונות המערכת מגיעה מן המערכת עצמה ומ[[תנאי סביבה]] חיצוניים קבועים, ולא מהשפה.

== שימושים ==
=== תרמודינמיקה ===
כשם שבצבר מיקרו-קנוני הגעה לשיווי משקל גורמת להגעת האנרגיה אל ערך קיצוני, הרי שבצברים האחרים מגיעות כמויות אחרות אל ערך הקיצון שלהן. כמויות אלו נקראות [[פוטנציאלים תרמודינמיים]]. מבחינה מתמטית, פוטנציאלים אלו מתקבלים על ידי הפעלת [[טרנספורם לז'נדר]] זה על זה. פוטנציאלים אלו הם בעלי ממדים של אנרגיה ומורכבים ממכפלות של זוגות קנוניים. כך, [[נגזרת|גזירת]] פוטנציאל תרמודינמי לפי אחד ממאפייני הצבר לו הוא מתאים, מניבה את המשתנה הקנוני הצמוד לו ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] סימן). כך, למשל, [[אנרגיה חופשית]] היא הפוטנציאל המאפיין את הצבר הקנוני ונגזרתה לפי הנפח, אשר הוא משתנה המגדיר צבר קנוני, היא לחץ (עם [[סימן (אריתמטיקה)|סימן]] הפוך). בשפה מתמטית:
<math>\ P =- \left( \frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N} </math>
כאשר <math>\ P</math> הוא לחץ, <math>\ F</math> [[אנרגיה חופשית של הלמהולץ]], <math>\ V</math> נפח והאותיות <math>\ T</math> ו- <math>\ N</math> שמימין לסוגריים מציינות כי הטמפרטורה ומספר החלקיקים במערכת קבועים.

כפי שרומז שמם, מקורם של גדלים אלו הוא בתורה התרמודינמית, אך בפורמליזם של המכניקה הסטטיסטית מתקבלים שוב גדלים אלו על סמך הנחות היסוד של הפיזיקה הסטטיסטית. ככלל, הפיזיקה הסטטיסטית מאפשרת הגדרת גדלים מקרוסקופיים של מערכות, אשר הוצגו עם התפתחותה הראשונית של התרמודינמיקה כגדלים בעלי חשיבות אמפירת כמו לחץ או טמפרטורה, על ידי תכונותיהן המיקרוסקופיות של המערכות הנידונות.

הפוטנציאלים התרמודינמיים קשורים מתמטית לפונקציות המגדירות את מספר המצבים הזמינים בכל צבר – פונקציות הנקראות "[[פונקציית החלוקה (פיזיקה)|פונקציות החלוקה]]" – וניתנים לחישוב על ידן. כך ניתן, במקרים רבים, לחשב גדלים תרמודינמיים של מערכות נתונות על סמך מאפייניהן הסטטיסטיים על ידי חישוב פונקציות חלוקה, שהוא חישוב בעל אופי קומבינטורי. לדוגמה, הקשר בין [[פונקציית החלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] <math>\ Z </math> לאנרגיה החופשית של הלמהולץ <math>\ F</math> נתון על ידי הביטוי
<math>\ F=-Tk_B \ln Z </math> כאשר <math>\ T</math> היא טמפרטורה {{ללא גלישה|ו-<math>\ k_B</math>}} הוא [[קבוע בולצמן]].
כך, ניתן לפתח חלקים רבים מתורת התרמודינמיקה, שהתפתחה במקור כתורה אמפירית, על סמך עקרונות יסוד סטטיסטיים.

=== התפלגויות סטטיסטיות ===
{{הפניה לערך מורחב|התפלגות (פיזיקה סטטיסטית)}}
הפיזיקה הסטטיסטית, בפורמליזם המתמטי שתואר לעיל, מאפשרת לקבל מספר פונקציות [[התפלגות]] חשובות המתארות את התנהגותם של [[חלקיק]]ים בתנאים שונים, החל מ[[התפלגות מקסוול-בולצמן]] המתארת את התפלגות המהירויות של חלקיקי גז קלאסיים (ושהתפתחה, היסטורית, עוד בטרם פיתוחו של הפורמליזם המודרני), והן את ההתפלגויות החשובות המתארות חלקיקים [[תורת הקוונטים|קוונטיים]], הן [[התפלגות בוז-איינשטיין]] המתארת סטטיסטיקה של [[בוזון|בוזונים]] ואת [[התפלגות פרמי-דיראק]] המתארת סטטיסטיקה של [[פרמיון|פרמיונים]]. להתפלגויות סטטיסטיות אלו שימושים רבים בתחומי הפיזיקה. כך, לדוגמה, ב[[פיזיקת מצב מוצק]] משתמשים רבות בהתפלגות פרמי-דיראק כדי לתאר תכונות של [[אלקטרון|אלקטרונים]] ב[[גביש]]ים.

=== פיזיקה של חומר מעובה ===
[[פיזיקת מצב מעובה]] עוסקת במערכות של חומר מעובה, ובפרט במוצקים ונוזלים. מערכות אלו כוללות מספר רב של [[אטום|אטומים]] ו[[מולקולה|מולקולות]] ולכן הפיזיקה הסטטיסטית משמשת בהן ככלי מרכזי להסברת תופעות שונות ופיתוח הפורמליזם המתמטי של מודלים שונים במצב מעובה נעזר בכלים סטטיסטיים. כך, למשל, [[מודל איזינג]] המשמש לתיאור תכונות [[מגנטיות]], הוא מודל סטטיסטי וכן התיאור המתמטי של [[מבנה פסים|מבנה הפסים]] בחומר נעזר ב[[התפלגות פרמי-דיראק]] כדי לחזות כמה [[אלקטרון|אלקטרונים]] יאכלסו כל מצב נתון. יתר על כן, בעזרת הפיזיקה הסטטיסטית נחזה מראש קיומו של [[מצב צבירה]] חדש, הוא [[עיבוי בוז-איינשטיין]], עוד בטרם נצפה ב[[ניסוי]].

=== שימושים נוספים ===
כלים מתחום הפיזיקה הסטטיסטית שימושיים בתחומים רבים הדנים במערכות גדולות, הן בפיזיקה והן בתחומים נוספים. כך, למשל, בחקר ה[[קרינה אלקטרומגנטית|קרינה האלקטרומגנטית]] משמשת הפיזיקה הסטטיסטית לתיאור מערכות גדולות שבהן יש אינטראקציה בין [[קרינה]] ו[[חומר]] כמו [[גוף שחור|גופים שחורים]] ובעזרתה ניתן להסיק את [[חוק פלאנק]] ואת [[חוק סטפן-בולצמן]]. [[משוואות הקצב של איינשטיין]] המתארות את קצב הבליעה והפליטה של [[פוטון|פוטונים]] מתקבלים על ידי שימוש בחוק פלאנק וכן תיאור כמותי של פעילות [[לייזר]] נעזר בכלים אלו. ב[[אסטרונומיה]] משתמשים לעיתים ברעיונות מפיזיקה סטטיסטית על מנת לתאר תיאור איכותי של מערכות מרובות [[כוכב]]ים, המתנהגות כמעין "גז כוכבים". כך, למשל, ניתן להתבונן על תהליך ההתפרקות של [[צביר כוכבים]] ועל פיזור ה[[מהירות|מהירויות]] בו כעל תופעה סטטיסטית שבה נתונה מערכת כוכבים שבה שחוק עליית האנטרופיה גורם לעזיבת כוכבים את הצביר ואילו המהירויות של הכוכבים מקיימות, בקירוב, את [[התפלגות מקסוול-בולצמן]].

רעיונות וכלים מתחום הפיזיקה הסטטיסטית שימושיים גם בתיאור מערכות גדולות ומורכבות שלא מתחום הפיזיקה. שתי דוגמאות בולטות הן שימושים ב[[כלכלה]] וב[[ביולוגיה]], בהן משמשים רעיונות וכלים שמקורם בפיזיקה הסטטיסטית לתיאור כמותי של מערכות רבות-עצמים והתנהגותן.

=== דוגמה ליישום – גז אידיאלי ===
{{הפניה לערך מורחב|גז אידיאלי}}
[[גז אידיאלי]] הוא מודל ל[[גז]] שצפיפותו נמוכה. הגז האידיאלי הוא דוגמה למערכת בה על ידי חישוב בעל אופי סטטיסטי מתקבל מידע התואם ידע שחלקו נוסח קודם לכן בצורה אמפירית.

הנחת היסוד של המודל היא כי מולקולות הגז הן נקודתיות וכי לא פועלים כוחות ביניהן. במצב זה, בהינתן גז בתוך כלי שהטמפרטורה, מספר החלקיקים והנפח בו נקבעים על ידי גורמים חיצוניים, מאפיינים את המערכת על ידי חישוב בעל אופי קומבינטורי המשקלל את כל האפשרויות בהן יכול להימצא הגז בתלות בהסתברויות שלהן – זוהי, למעשה, [[פונקציית החלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] שלו. החישוב מתבצע על ידי סכימת ההסתברויות של כל המצבים הזמינים (אשר במקרה רציף זה מומרת לאינטגרל). מפונקציית החלוקה ניתן לקבל את [[האנרגיה החופשית של הלמהולץ]], שהיא גודל תרמודינמי המבטא את כמות ה[[עבודה (פיזיקה)|עבודה]] המרבית שניתן להפיק מהמערכת וממנה על ידי נוסחאות תרמודינמיות ניתן למצוא מאפיינים נוספים של הגז, כמו לחץ (ראו סעיף "תרמודינמיקה" בפרק זה). על ידי ביצוע חישוב זה מתקבלת משוואת המצב של גז אידיאלי, היא
<math>\ PV = Nk_BT </math>.
לתוצאת החישוב והסברים נוספים ראו [[גז אידיאלי]].

קודם לפיתוח הפיזיקה הסטטיסטית, נצפו התנהגויות התואמות [[משוואה]] זו בצורה אמפירית, ונוסחו ב[[חוק בויל-מריוט]], [[חוק גה-ליסאק]] ו[[חוק שארל]]. הגז האידיאלי הוא מודל שימושי בעזרתו ניתן להבין את תכונותיו הכלליות של חומרים בצפיפות נמוכה. בעזרתו ניתן לקבל, למשל, את [[חוק פעולת המסות]]. עם זאת, לקבלת תיאור מציאותי יותר, כמו מעבר [[מצב צבירה|מצבי צבירה]], מודל זה איננו מספק ולכן פותחו מודלים משוכללים יותר המרחיבים אותו, כמו מודל [[גז ואן דר ואלס]].

== גישה מתמטית ==
=== היבטים הסתברותיים ===
במכניקה הקלאסית נהוג להתאים לכל גוף במערכת משוואת תנועה ולפתור את אוסף המשוואות שמתקבלות עבור מספר גופים רב. עם זאת, בהינתן מספר גדול מאוד של עצמים במערכת משימה זו הופכת לבלתי אפשרית ולכן, במקום זאת, משתמשת הפיזיקה הסטטיסטית בכלים מתחום ה[[סטטיסטיקה]] וה[[הסתברות]] על מנת למצוא ערכים המאפיינים את המערכת כולה.

אחת ההנחות בהן משתמשים בפיזיקה סטטיסטית היא ההנחה כי במערכות גדולות, כגון אלו בהן דנה הפיזיקה הסטטיסטית, מתנהגים מאפיינים הסתברותיים של המערכת בדומה למאפיינים סטטיסטיים: כך, למשל, אם במערכת מסוימת ההסתברות להימצא במצב מקרוסקופי מסוים היא רבע, הרי שסביר למדי להעריך כי כמות העצמים במערכת שמצביהם המיקרוסקופיים תואמים את המצב המקרוסקופי המתואר היא כרבע מכמות העצמים הכוללת במערכת. מקורה של הנחה זו הוא [[חוק המספרים הגדולים]].

הנחת היסוד של הפיזיקה הסטטיסטית היא, כאמור, כי לכל המצבים הזמינים במערכת מיקרו-קנונית הסתברות שווה. בשפה [[מתמטיקה|מתמטית]], שקולה טענה זו לאמירה כי [[מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)|המצבים המיקרוסקופיים]] הם חלק מ[[התפלגות אחידה בדידה|מרחב הסתברות אחיד]]. במרחב כזה, ההסתברות למאורע מסוים הוא מספר האפשרויות במאורע, כיחס מתוך גודל המרחב כולו. בכתיב מתמטי, אם <math>\ \Omega</math> מרחב התפלגות אחיד עם קבוצה <math>A \subseteq \Omega</math> המייצגת מאורע כלשהו, אזי ההסתברות כי המאורע יתרחש היא <math>P=\frac{\left| A \right|}{\left| \Omega \right|}</math>. על מנת להגדיר את [[מרחב המדגם]] של מערכות סטטיסטיות כדי להגדיר בצורה [[ריגורוזיות|ריגורוזית]] את המשמעות הפיזיקלית של מושג ההסתברות משתמשים בפיזיקה סטטיסטית במושג ה[[צבר (פיזיקה סטטיסטית)|צבר]], שהוא אוסף עצום אף ביחס למספר העצמים במערכת של מערכות סטטיסטיות המוגדרות על ידי אותם מאפיינים מקרוסקופיים בסיסיים. כיוון שלהלכה יצירת מספר כה גדול של מערכות ובדיקת מצביהן המיקרוסקופיים איננה משימה אפשרית עקב המספר הרב של המערכות, ההסתברות של [[מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)|מצב מיקרוסקופי]] מוגדרת על ידי התשובה לשאלה הבאה המתוארת על ידי [[ניסוי מחשבתי]]: לו היינו יוצרים צבר שכזה, כמה מערכות מתוכו היו נמצאות באותו המצב המיקרוסקופי?

הנחה נוספת בה משתמשים בפיזיקה סטטיסטית היא כי ערכים מקרוסקופיים של מערכות סטטיסטיות [[התפלגות|מתפלגים]] [[התפלגות נורמלית|נורמלית]] בקירוב סביב ערך [[תוחלת]] עם [[סטיית תקן]] נמוכה יחסית. הנחה זו נתמכת על ידי ידע אמפירי ומתבססת, מבחינה מתמטית, על [[משפט הגבול המרכזי]] הקובע כי סכומם של [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] בלתי תלויים ושווי-פילוג מתפלג נורמלית עם סטיית תקן הפרופורציונית ל[[שורש ריבועי]] של מספר המשתנים. כך, היחס בין סטיית התקן של גודל נמדד לבין מספר המשתנים המקריים המרכיבים אותו יורד משמעותית ככל שמספר המשתנים גדל. במקרים מסוג זה, בחישוב ממוצע הסתברותי משוקלל של גדלים, הנקרא בשפה מתמטית תוחלת, ניתן משקל רב יותר לערכים של המערכת הקרובים לערך המסתבר ביותר ולכן, במערכות מסוג זה, הערך הממוצע של גודל מסוים קרוב מאוד אל הערך המסתבר ביותר. במערכות גדולות (מסדר הגודל בו עוסקת המכניקה הסטטיסטית) ניתן במקרים רבים להתייחס אל הערך המסתבר ביותר ואל ערך התוחלת כאל זהים, משום שרוב הערכים המתקבלים נמצאים בקרבת הערך המסתבר ביותר.

ניסוח [[הנחת הארגודיות]] העומדת בבסיס גישת הצברים בפיזיקה הסטטיסטית הצריך פיתוח כלים מתמטיים חדשים והוליד את [[התורה הארגודית]], שהתפתחה במקביל ל[[תורת המידה]]. תיאורים מאוחרים יחסית (ראו פרק [[פיזיקה סטטיסטית#היסטוריה|היסטוריה]] להרחבה) של התורה משתמשים בכלים מתמטיים מתחום [[תורת האינפורמציה]] וכן ב[[תבנית פאף דיפרנציאלית|תבניות פאף דיפרנציאלית]].

=== הגישה הטופולוגית ===
את המצבים האפשריים של מולקולות חומר הלכודות בתיבת נפח נתונה, אפשר לתאר כנקודות במרחב, שאותו אפשר ללמוד בכלים [[טופולוגיה|טופולוגיים]]. לדוגמה{{הערה|1=ראו למשל P. Diaconis, The Markov chain Monte Carlo revolution, Bull. AMS 46(2), 2009, 179-205, Section 4}}, תפזורת של ''n'' כדורים זהים ברדיוס <math>\ \epsilon</math> אפשר לתאר כווקטור ב- <math>\ \mathbb{R}^{3n}</math>, כאשר שלוש קואורדינטות רצופות <math>\ v_{3i-2},v_{3i-1},v_{3i}</math> מתארות את מיקומו של הכדור ה-''i'', והמרחקים בין המרכזים הם לפחות <math>\ 2\epsilon</math>. אוסף הווקטורים המותרים הוא מרחב פאזות מממד 3''n'', שתכונותיו הטופולוגיות עשויות ללמד על התנהגות החומר בתנאים דומים. באופן סכמטי אפשר לצפות שפרמטרים המתארים גז (מעט מולקולות לכל תא שטח) יתאימו ל[[מרחב קשיר מסילתית]] (אפשר לעבור מכל מצב לכל מצב אחר), וככל ש-<math>\ \epsilon</math> גדל (או, בהתאמה, ככל שתא הנפח קטן) המרחב מאבד מקשירותו. מעבר הפאזה שבו המרחב מפסיק להיות קשיר אמור להתאים למעברי הפאזה בין גז, נוזל ומוצק. החוקרים אינם יודעים רבות על תכונותיו של המרחב הטופולוגי הזה.

== פילוסופיה ==
התפתחותה של הפיזיקה הסטטיסטית העלתה מספר סוגיות [[פילוסופיה|פילוסופיות]] לדיון, בעיקר אודות המשמעויות של מונחים הסתברותיים בה, הנחת הארגודיות, אי-הפיכות התאוריה וחוק עליית האנטרופיה.

מרכזיותה של תורת ההסתברות בתאורן של מערכות גדולות מעלה מספר שאלות לגבי מהותה של ההסתברות ב[[מדעי הטבע]] ככלל. כך, למשל, כיצד "יודעות" מערכות גדולות להסתדר לפי חוקי ההסתברות? בין התשובות אשר ניתנו לשאלה זו, אחת מציעה כי חוקי ההסתברות נובעים מתוך משקל שונה של גורמים רבים המאפיינים תהליך מסוים. גישה אחרת מציעה כי לטבע אופי הסתברותי מיסודו.

הקשיים שהעלתה הנחת הארגודיות והניסיונות לשפרה העלו מספר שאלות אף הם. מהי המשמעות של "זמנים אינסופיים" המופיעים בניסוח של תורות אלו? האם מונחים כאלו הם כלל רלוונטיים? מהי המשמעות של אי-התקפות של חוקים פיזיקליים על "קבוצות בעלות מידה אפס", כפי שמתוארת התורה הקווזי-ארגודית? האם יש בכך פגיעה בשלמות החוק?

הסתירה המתגלה, לכאורה, בין האופי הבלתי-הפיך של התורה לבין חוקי ניוטון מעלה לדיון את השאלה "מהו הגורם לאיבוד ההפיכות בתאורן של מערכות גדולות?". מספר תשובות הוצעו לשאלה זו במסגרת הפיזיקה הקלאסית, ביניהן בולט ההסבר כי מקור ההבדל הוא באי-יציבות של תהליכים המאפיינים מערכות גדולות. הסברים נוספים מגיעים מתחום [[תורת האינפורמציה]].

לחוק עליית האנטרופיה, שהוא אחד מהישגיה המרכזיים של הפיזיקה הסטטיסטית, השלכות פילוסופיות נרחבות. כך, למשל: האם חוסר הסימטריה בעליית האנטרופיה אך בכיוון העתיד ואי-הפיכות החוק הם הגורמים לחוסר הסימטריה של סיבתיות בזמן, כך שהעבר גורם להתרחשויות בעתיד, אך לא להפך? האם החוק גורם לכך שלמול ידיעת העבר אין יכולת לחזות את העתיד? האם עליית האנטרופיה מעידה על [[דטרמיניזם]] או היעדרו? האם כשם שהכבידה מגדירה את הכיוון "למטה" ככיוון בו היא פועלת ("ולמעלה" כהיפוכו) כך שהרחק מכוחות כבידה למונחים אלו אין משמעות, כך מפרשים אנו את מושג הזמן?

== ראו גם ==
{{תקציר פורטל|פיזיקה}}
'''תחומים מדעיים קרובים'''
* [[תרמודינמיקה]]
* [[מכניקה קלאסית]]
** [[מכניקה אנליטית]]
** [[מכניקת הרצף]]
* [[מכניקת הקוונטים]]
* [[הסתברות]]
* [[סטטיסטיקה]]
'''כלים חשובים'''
* [[התורה הארגודית]]
* [[צבר (פיזיקה סטטיסטית)|צבר]]
* [[פונקציית החלוקה (פיזיקה)|פונקציית חלוקה]]
* [[אנטרופיה]]
* [[פוטנציאלים תרמודינמיים]]
* [[משפט הגבול המרכזי]]
'''שונות'''
* [[היסטוריה של הפיזיקה]]
* [[פילוסופיה של המדע]]
* [[התאוריה הקינטית של הגזים]]

== לקריאה נוספת==
<div style="direction: ltr;">
* Charles Kittel and Herbert Kroemer, '''Thermal Physics''', San Francisco: W.H. Freeman and Company
* Edward Nelson, '''Dynamical Theory Of Brownian Motion''', Princeton University Press
* Frank H. Shu, '''The Physical Universe, An Introduction to Astronomy''', University Science Books
* Ishihara A., '''Statistical Physics''', Acedemic Press
* L.E. Reichl, '''A Modern Course in Statistical Physics''', Wiley-Interscience Publication
* Sunny Y. Auyang, '''Foundations of Complex-system Theories: In Economics, Evolutionary Biology, and Statistical Physics''', Cambridge University Press
* Werner Ebeling and Igor M Sokolov, '''Statistical Thermodynamics and Stochastic Theory of Nonequilibrium Systems''', [[World Scientific]] Publishing Company
* William H. Cropper, '''Great Physicists: The Life and Times of Leading Physicists from Galileo to Hawking''', Oxford University Press
* Sklar, Lawrence, '''[http://plato.stanford.edu/archives/fall2008/entries/statphys-statmech/ Philosophy of Statistical Mechanics]''', [http://plato.stanford.edu/ The Stanford Encyclopedia of Philosophy] (Fall 2008 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
</div>
* '''פיזיקה סטטיסטית''', [[דניאל עמית]] ו[[יוסף ורבין]], הוצאת [[האוניברסיטה הפתוחה]] {{גוגל ספרים|oB1C74YgBrMC&|חלקי}}

== קישורים חיצוניים ==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [https://web.archive.org/web/20061002064913/http://history.hyperjeff.net/statmech רשימת אירועים מרכזים בהיסטוריית התרמודינמיקה והפיזיקה הסטטיסטית] {{אנגלית}}
* [http://plato.stanford.edu/entries/statphys-Boltzmann/ על עבודתו של בולצמן בתחום הפיזיקה הסטטיטית] מתוך [http://plato.stanford.edu/ אנציקלופדיית הפילוסופיה של סטנפורד] {{אנגלית}}
* [https://web.archive.org/web/20090303112020/http://statisticfunction.net/ אתר המוקדש להיסטוריה של הפיזיקה הסטטיסטית] {{אנגלית}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007531887605171|מכניקה סטטיסטית}}

== הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{נושאים במכניקה סטטיסטית}}
{{נושאים בפיזיקה}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פיזיקה סטטיסטית|*]]
[[קטגוריה:מכניקה]]
[[קטגוריה:תורות פיזיקליות]]
[[קטגוריה:תחומים בפיזיקה]]
[[קטגוריה:פיזיקה תאורטית]]