הצגת המקור של הדף "פירוק ז'ורדן (אלגברת לי)"

ב[[אלגברה מופשטת]], '''פירוק ז'ורדן''' של איבר של תת-[[אלגברת לי]] של אלגברת [[אנדומורפיזם|אנדומורפיזמים]], הוא הצגת האיבר כסכום של איבר '''פשוט למחצה''' (או לכסין), ואיבר '''[[איבר נילפוטנטי|נילפוטנט]]'''. לפירוק זה חשיבות בתחום, והוא משמש ככלי להוכחת טענות אחרות, כמו [[קריטריון קרטן]].

==הגדרה פורמלית==

תהי <math>L</math> תת-[[אלגברת לי פתירה]] של אלגברת ה[[אנדומורפיזם|אנדומורפיזמים]] <math>GL(V)</math> עבור [[מרחב וקטורי]] <math>V</math> מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי, מעל [[שדה (אלגברה)|שדה]] [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]].

איבר <math>x</math> של <math>L</math> הוא '''נילפוטנט''' אם [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] מסוימת שלו היא אפס. <math>x</math> היא '''פשוט למחצה''' אם ה[[פולינום מינימלי|פולינום המינימלי]] שלה מתפרק לגורמים שונים, או בשקילות (מעל שדה סגור אלגברית) היא לכסינה.

המשפט קובע כי לכל איבר <math>x \in L</math>:

1. יש הצגה כסכום <math>x={x}_{s}+{x}_{n}</math>, כאשר <math>{x}_{s}</math> פשוט למחצה, <math>{x}_{n}</math> נילפוטנט, ומתקיים <math>[{x}_{s},{x}_{n}]=0</math> (כלומר, הם מתחלפים). יותר מכך, הצגה זו יחידה.

2. בהצגה הנ"ל, את האיברים <math>{x}_{s},{x}_{n}</math> ניתן להציג כ[[חוג פולינומים|פולינום]] ללא ערך חופשי במשתנה <math>x</math>.

3. האיברים <math>{x}_{s},{x}_{n}</math> משמרים הכלות של <math>x</math>, כלומר אם <math>A \subseteq B \subseteq V</math> ומתקיים <math>x(B) \subseteq A</math>, אז גם <math>{x}_{s}(B) \subseteq A</math> ,<math>{x}_{n}(B) \subseteq A</math>.

==טענות נוספות==
להלן תכונות נוספות של פירוק ז'ורדן, הקשורות גם למושגים אחרים בתאוריה של אלגברות לי.

* אם <math>x={x}_{s}+{x}_{n}</math> היא צורת הז'ורדן של <math>x</math>, אז <math>\operatorname{ad}x=\operatorname{ad}{x}_{s}+\operatorname{ad}{x}_{n}</math> היא צורת הז'ורדן של ה[[ייצוג הצמוד]] שלו.

* אם <math>L</math> היא כל [[מרחב וקטורי]] עם [[אופרטור ביליניארי]], אז לכל <math>\delta \in \operatorname{DerL}</math> ([[נגזרת (אלגברה)|קבוצת הנגזרות]]) עם פירוק ז'ורדן <math>\delta ={ \delta }_{ s }+{ \delta }_{ n }</math>, מתקיים גם <math>{\delta}_{s},{\delta}_{n} \in \operatorname{DerL}</math>.

==פירוק ז'ורדן המופשט==
אם בנוסף להנחות הנ"ל, <math>L</math> היא גם [[אלגברת לי פשוטה למחצה]], אז ה[[נגזרת (אלגברה)|נגזרות]] שלה מתלכדות עם [[ההצגה הצמודה]] שלה, כלומר <math>\operatorname{Der}(L)=\operatorname{ad}(L)</math>. במקרה זה, יש [[איזומורפיזם]] בין <math>L</math> ל-<math>\operatorname{ad}(L)</math>. כעת, לכל איבר ב-<math>\operatorname{ad}(L)</math> יש פירוק ז'ורדן, ולפי הטענה לעיל חלקיו נשארים בתוך <math>\operatorname{Der}(L)</math>, שהיא בדיוק <math>\operatorname{ad}(L)</math>. כלומר, לכל איבר <math>x</math> ב-<math>L</math> קיימים איברים <math>s</math>,<math>n</math> ב-<math>L</math>, כך ש- <math>x=s+n</math> (הם התמונות ההופכות של צורת ז'ורדן של <math>\operatorname{ad}x</math>). צורת זו נקראת '''צורת ז'ורדן המופשטת''' של <math>x</math>, ו-<math>s</math>,<math>n</math> נקראים בהתאמה החלקים ה'''נילפוטנטי''' וה'''פשוט למחצה''' של <math>x</math>. חשוב גם לציין כי במקרה ש-<math>L</math> היא מלכתחילה תת-אלגברה של אלגברת אנדומורפיזמים, אין סתירה בסימונים וביחידות הצורה.

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
*Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 17-19,24
</div>

[[קטגוריה:אלגבראות לי]]