הצגת המקור של הדף "פלימפטון 322"

[[קובץ:Plimpton_322.jpg|שמאל|ממוזער|300px|פלימפטון 322]]
'''פלימפטון 322''' (ב[[אנגלית]]: '''Plimpton 322''') הוא לוח [[חרס]] שמקורו ב[[בבל]], המתוארך בין השנים [[1900 לפנה"ס]] עד [[1600 לפנה"ס]] (תיארוך מדויק יותר מייחס אותו לשנים 1822–1784 לפנה"ס{{הערה| Robson, Eleanor, [http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf Words and pictures: New light on Plimpton 322], American Mathematical Monthly, Feb 2002, p. 111}}). בלוח, הכתוב ב[[כתב יתדות]], ארבע עמודות וחמש עשרה שורות של מספרים ב[[ספרות בבליות]], כך שהמספרים בשתיים מן העמודות שייכים ל[[שלשה פיתגורית|שלשות פיתגוריות]]. זהו ככל הנראה המפורסם שבין הלוחות המתמטיים הבבליים שנמצאו ונותחו.

מהות המספרים שבו העסיקה את החוקרים - היסטוריונים ומתמטיקאים - שנים רבות. הפרשנות הראשונה שניתנה היא שהלוח שימש להצגה של שלשות פיתגוריות שיוצרו על פי [[נוסחה]]. פרשנות מאוחרת יותר היא שהלוח שימש לחישוב ערכה של [[פונקציה טריגונומטרית]]. בניגוד לפרשנויות אלה, לפיהן הלוח מעיד על רמה [[מתמטיקה|מתמטית]] גבוהה של התרבות הבבלית ומתבלט ביחס לשאר הממצאים מסוגו, הוצגה פרשנות לפיה הלוח שימש ככלי עזר בהוראת חשבון, ואין בו ייחוד רב ביחס לממצאים הדומים לו.

שמו של הלוח נובע מכך שהוא פריט מספר 322 באוסף של [[ג'ורג' ארתור פלימפטון]]. מקורו בעיר העתיקה [[לרסה]] שב[[עיראק]] של ימינו, והוא התגלה בעת [[חפירה ארכאולוגית|חפירות ארכאולוגיות]] לא חוקיות, יחד עם עוד אלפי לוחות מסוגו, בתחילת [[שנות ה-20 של המאה ה-20]]. פלימפטון קנה את הלוח, בערך בשנת [[1922]], ככל הנראה מבלי שהוא או המוכר יבחינו בייחוד שבו, ובאמצע [[שנות ה-30 של המאה ה-20|שנות ה-30]] תרם אותו יחד עם האוסף שלו ל[[אוניברסיטת קולומביה]]{{הערה| Robson, Eleanor, [http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf Words and pictures: New light on Plimpton 322], American Mathematical Monthly, Feb 2002, p. 109}}, שם הוא שמור עד היום{{הערה|[http://www.columbia.edu/cu/lweb/eresources/exhibitions/treasures/html/158.html Cuneiform Tablet], Columbia University Libraries}}. בתיאור הקטלוגי שלו תואר פלימפטון 322 כמכיל "רישום עסקה מסחרית".

==רקע: ספרות בבליות==
[[קובץ:Babylonian numerals.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[ספרות בבליות|הספרות הבבליות]] – ניתן להבחין בנקל בשיטת הקיבוץ המשנית בה השתמשו הבבלים]]
{{ערך מורחב|ספרות בבליות}}
בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור [[מסופוטמיה]] ה[[שומר]]ים, שעשו שימוש ב[[כתב יתדות]] וערכו את חישוביהם ב[[בסיס סקסגסימלי|בסיס 60]]. בין השנים 2300 ל-2100 לפנה"ס שלטו באזור זה ה[[אכד]]ים, שהשפיעו על התרבות האשורית. הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לכלי המוכר לנו כיום יותר בתור ה[[חשבונייה]]. בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו ה[[בבל]]ים את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחיותה.

[[ספרות בבליות|שיטת הספירה הבבלית]] הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: ה[[בבל]]ים קישרו בין מיקומה של ה[[ספרה]] לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה ל[[השיטה העשרונית|שיטה העשרונית]] בימינו כאשר בסיס הספירה הוא, כאמור, [[בסיס סקסגסימלי|60]]. כדי למנוע את הצורך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראו תמונה).

==תיאור הלוח==
הלוח הוא ברוחב 13 ס"מ, בגובה 9 ס"מ ובעובי 2 ס"מ.
הלוח מכיל ארבע עמודות של מספרים. העמודה הימנית ביותר, שניתן לתרגם את כותרתה בתור "השם שלו" מכילה על פי סדר את המספרים מ-1 ועד 15. בשל פגמים בלוח, המספרים 5, 6 ו-15 לא מופיעים בבירור בו, אך ניתן לשער את קיומם. המספרים בעמודה זו כתובים בסגנון שונה מזה של המספרים בשאר הלוח (לדוגמה, 4 כתוב כריבוע של ארבע יתדות שמסמלות יחידה, בזמן שבמופע של 4 בעמודה אחרת, הוא מופיע כשלוש יתדות ועוד אחת מתחתיהן). הסגנון השונה נובע כנראה מכך שאין משמעות מתמטית למספרים אלו, והם משמשים רק למספור השורות.

כותרת העמודה השלישית משמאל ניתנת לתרגום כ"צלע ה[[אלכסון]]" (במקור מכילה הכותרת את המילה "[[ריבוע]]", אך כנראה שהכוונה במילה זו היא לאורך צלע), ואילו כותרת העמודה השנייה משמאל ניתנת לתרגום כ"צלע הרוחב". בין שתי עמודות אלו מתקיים הקשר הבא: אם <math>\ a</math> הוא מספר מהעמודה השנייה משמאל, ו-<math>\ c</math> הוא המספר המתאים מאותה שורה בעמודה השלישית משמאל, אז בכל המקרים פרט לארבעה מתקיים ש-<math>\ c^2-a^2</math> הוא [[ריבוע (חזקה)|ריבוע]] של [[מספר טבעי]] - כלומר, ש-<math>\ a</math> יכול לשמש כאורך של ניצב ו-<math>\ c</math> יכול לשמש כאורך היתר ב[[משולש ישר-זווית]] שבו כל הצלעות הן בעלות אורכים שלמים. קשר זה נובע מ[[משפט פיתגורס]]. פירוש הדבר הוא ששתי העמודות הללו מתארות (בצורה לא ישירה) שלשות פיתגוריות. המספר השלישי בשלשה, שערכו נתון על ידי <math>\ b=\sqrt{c^2-a^2}</math>, אינו מופיע על גבי הלוח.

העמודה הראשונה משמאל היא הבעייתית מבין כל העמודות. בשל פגמים בלוח, הכותרת שלה אינה ברורה. כמו כן, כיוון שהלוח ככל הנראה נשבר לאורך קצה העמודה, לא ברור האם השקעים שמופיעים בתחילת כל שורה נובעים מהקו המפריד בין השורות, או שמדובר בסימון של המספר 1 בתחילת כל אחד מהמספרים בעמודה זו.

המספרים שבעמודה הראשונה מסודרים בסדר יורד. אם מסתכלים על המספרים כמייצגים שברים ב[[בסיס סקסגסימלי]] (בסיס 60) שבו השתמשו הבבלים, הרי שניתן לתת לשורה זו אחת משתי פרשנויות: אם אכן מופיע 1 בתחילת כל איבר בשורה, השורה מתארת את היחס <math>\ \left(\frac{c}{b}\right)^2</math>. אם לעומת זאת לא מופיע 1, היא מתארת את <math>\ \left(\frac{a}{b}\right)^2</math>. חלקים מהעמודה השמאלית חסרים, אך ניתן לשער את ערכם על פי הכלל המנחה שנראה כי שימש ליצירת שאר המספרים בעמודה זו.

==תוכן הלוח==
הלוח מכיל את המספרים הבאים (בסוגריים נתונים תיקונים שמקובלים בספרות המודרנית, אך לא מופיעים בלוח המקורי):
{|
|-
|
<div align="center">
{| class="wikitable"
|+תרגום הספרות הבבליות בבסיס 60 {{ש}} לספרות מודרניות, אולם בבסיס 60
|-
| (1:)59:00:15 || 1:59 || 2:49 || 1
|-
| (1:)56:56:58:14:50:06:15 || 56:07 || 1:20:25 || 2
|-
| (1:)55:07:41:15:33:45 || 1:16:41 || 1:50:49 || 3
|-
| (1:)53:10:29:32:52:16 || 3:31:49 || 5:09:01 || 4
|-
| (1:)48:54:01:40 || 1:05 || 1:37 || 5
|-
| (1:)47:06:41:40 || 5:19 || 8:01 || 6
|-
| (1:)43:11:56:28:26:40 || 38:11 || 59:01 || 7
|-
| (1:)41:33:45:14:03:45 || 13:19 || 20:49 || 8
|-
| (1:)38:33:36:36 || 8:01 ('''9:01''')|| 12:49 || 9
|-
| (1:)35:10:02:28:27:24:26 || 1:22:41 || 2:16:01 || 10
|-
| (1:)33:45 || 45 || 1:15 || 11
|-
| (1:)29:21:54:02:15 || 27:59 || 48:49 || 12
|-
| (1:)27:00:03:45 || 2:41 || 4:49 || 13
|-
| (1:)25:48:51:35:06:40 || 29:31 || 53:49 || 14
|-
| (1:)23:13:46:40 || 56 || 1:46 || 15
|}
</div>
|
{| class="wikitable"
|+ תרגום הספרות הבבליות בבסיס 60 {{ש}} לספרות מודרניות בבסיס 10
|-
| 1 || 119 || 169 || 1.9834
|-
| 2 || 3367 || 11521 ('''4825''') || 1.94916
|-
| 3 || 4601 || 6649 || 1.9188
|-
| 4 || 12709 || 18541 ||1.88625
|-
| 5 || 65 || 97 || 1.81501
|-
| 6 || 319 || 481 ||1.78519
|-
| 7 || 2291 || 3541 ||1.71998
|-
| 8 || 799 || 1249 ||1.6928
|-
| 9 || 541 ('''481''') || 769 ||1.64267
|-
| 10 || 4961 || 8161 ||1.58612
|-
| 11 || 45 || 75 || 1.5625
|-
| 12 || 1679 || 2929 ||1.48942
|-
| 13 || 25921 ('''161''') || 289 ||1.45002
|-
| 14 || 1771 || 3229 ||1.43024
|-
| 15 || 56 || 53 ('''106''') || 1.38716
|}
|}
במקור כל המספרים מופיעים בבסיס 60, אך בטבלה שלפנינו מובא הייצוג שלהם כ[[בסיס עשרוני|מספרים עשרוניים]]. כמו כן, בעמודה השמאלית, ה-1 שלפני הנקודה בכל אחד מהמספרים שבעמודה הוא כאמור אופציונלי, וייתכן שלא היה חלק מהלוח.

===הסבר לגבי התיקונים===
כאמור, פרט לשורות 2, 9, 13, 15, בכל השורות מתקיים ש-<math>\ c^2-a^2</math> הוא ריבוע של מספר טבעי. עבור ארבע השורות ה"בעייתיות", נתון בסוגריים ערך שיבטיח שתכונה זו תתקיים גם באותה השורה. ניתן להסביר חלק מהתיקונים:
*התיקון בשורה 9 מתבסס על כך ש-481 נכתב בתור (8,1) בבסיס סקסגסימלי, בעוד ש-541 נכתב בתור (9,1), כך שייתכן שהייתה כאן שגיאה של חוסר תשומת לב.
*התיקון בשורה 13 מתבסס על כך ש-161 הוא השורש של 25921.
*התיקון בשורה 15 מתבסס על כך ש-53 הוא חצי מ-106 (תיקון אפשרי אחר: להפוך את 56 ל-28).
*התיקון שבשורה 2 הוא הבעייתי ביותר, ולא ניתן לו הסבר משכנע לחלוטין.

==הפרשנויות השונות לאופן יצירת הלוח==
===שלשות פיתגוריות===
האזכורים המרכזיים הראשונים של הלוח היו בספריו של [[אוטו נויגבאואר]] (Otto Neugebauer), ראשית בספר Mathematical Cuneiform Texts ולאחר מכן בספר The Exact Sciences in Antiquity. הטיפול שהוענק ללוח בספר השני תרם לפרסומו של הלוח, והפך להיות הסטנדרט המקובל בספרים העוסקים ב[[היסטוריה של המתמטיקה]], שרובם תיארו את הפרשנות שהציע נויגבאואר.

על פי פרשנות זו, הלוח שימש ליצירת שלשות פיתגוריות באמצעות שימוש בטכניקה אלגברית מתקדמת יחסית, שמעידה על רמה מתמטית מפותחת של יוצר הטבלה. הטכניקה משמשת ליצירה של שלשות פיתגוריות '''פרימיטיביות''' - שלשות פיתגוריות שבהן אין [[מחלק]] משותף לשלושת אברי השלשה. כל שלשה פיתגורית יכולה להתקבל באמצעות כפל שלשה פיתגורית פרימיטיבית במספר טבעי, כך שהשלשות הללו הן "אבני בנייה" לשלשות הפיתגוריות. בין השלשות שנמצאות בפלימפטון 322, רק שתיים אינן פרימיטיביות: אלו שבשורות 11 ו-15.

הטכניקה ליצירת השלשות היא כדלהלן: ידוע כי בהינתן [[מספר שלם|מספרים]] חיוביים <math>\ s,t</math> כך שהם [[מספרים זרים|זרים]], בעלי [[מספר זוגי|זוגיות]] שונה ו-<math>\ s>t</math>, ניתן ליצור מהם שלשה פיתגורית פרימיטיבית על ידי הנוסחאות <math>\ a=2st,b=s^2-t^2,c=s^2+t^2</math>. יתר על כן, כל שלשה פיתגורית פרימיטיבית ניתנת ליצירה בצורה הזו.

הטבלה שלהלן מסכמת את השלשות שבלוח ואת המספרים שיוצרים אותן. עבור השורות 11 ו-15 מובאים המספרים שיוצרים את השלשות הפרימיטיבית שמהן ניתן להגיע לשלשות שבשורות אלו.
{| border="1"
|-
| מספר השורה || a || b || c || s || t
|-
|1 || 120 || 119 || 169 || 12 || 5
|-
| 2 || 3456 || 3367 || 4825 || 64 || 27
|-
| 3 || 4800 || 4601 || 6649 || 75 || 32
|-
| 4 || 13500 || 12709 || 18541 || 125 || 54
|-
| 5 || 72 || 65 || 97 || 9 || 4
|-
| 6 || 360 || 319 || 481 || 20 || 9
|-
| 7 || 2700 || 2291 || 3541 || 54 || 25
|-
| 8 || 960 || 799 || 1249 || 32 || 15
|-
| 9 || 600 || 481 || 769 || 25 || 12
|-
| 10 || 6480 || 4961 || 8161 || 81 || 40
|-
| 11 || 60 || 45 || 75 || 2 || 1
|-
| 12 || 2400 || 1679 || 2929 || 48 || 25
|-
| 13 || 240 || 161 || 289 || 15 || 8
|-
| 14 || 2700 || 1771 || 3229 || 50 || 27
|-
| 15 || 90 || 56 || 106 || 9 || 5
|}

מהטבלה ניתן לראות כי כל המספרים s,t שנבחרו לצורך יצירת השלשות הם '''מספרים רגולריים''' ביחס לבסיס 60: הפיתוח של ה[[מספר הופכי|הופכיים]] שלהם לשבר סקסגסימלי (טור חזקות שליליות של 60, בדומה ל[[שבר עשרוני]] בבסיס 10) הוא סופי. תכונת הרגולריות בבסיס 60 מתקבלת כאשר המחלקים ה[[מספר ראשוני|ראשוניים]] של המספר הם 2, 3 ו-5 בלבד. הסבר אפשרי אחד לבחירה של מספרים רגולריים נעוץ בכך שאם העמודה <math>\ \left(\frac{c}{b}\right)^2</math> חושבה לאחר חישוב ערכי העמודות של a,c, אז כדי לבצע את החילוק היה צורך ש-b יהיה מספר רגולרי: הבבלים ביצעו [[חילוק|חלוקה]] באמצעות [[כפל]] בהופכי. נויגבאואר ציין כי כל המספרים s,t שבטבלה כבר היו ידועים לבבלים ונמצאו בטבלאות הבסיסיות של מספרים רגולריים וההופכיים שלהם, פרט למספרים שיוצרים את שורה 4, אשר נמצאו בהרחבות מיידיות לטבלאות אלו.

===טבלה טריגונומטרית===
ההסבר של נויגבאואר אינו מפרש מדוע העמודה השמאלית ביותר מכילה את ריבוע היחס בין צלעות המשולשים. המתמטיקאי [[קרייטון באק]] הציע הסבר לפיו עמודה זו משמשת לחישוב [[פונקציה טריגונומטרית]], שיכולה להיות <math>\ \sec^2(x)</math> או <math>\ \tan^2(x)</math>, בהתאם לתשובה לשאלה האם מופיע 1 מצד שמאל של כל המספרים בעמודה זו או לא{{הערה|R. Creighton Buck, [https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Buck335-345.pdf Sherlock Holmes in Babylon], American Mathematical Monthly, 1980}}. בדיקה של ה[[זווית|זוויות]] שייתנו את התוצאות שבטבלה מעלה כי הן נעות מזווית של 45 מעלות בערך ועד זווית של 31 מעלות בערך, כאשר כל שורה יורדת בערך במעלה. הדבר מאפשר להעלות סברה כי פלימפטון 322 היה חלק מאוסף גדול יותר של טבלאות, ששימשו גם לחישוב הזווית מ-30 ועד 16, ומ-15 ועד 1.

בטבלה הבאה מסוכמות הזוויות עבור כל אחת מהשורות:

{| border="1"
| מספר השורה || <math>\ x</math> || <math>\ \sec^2(x)</math>
|-
| 1 || 44.76 || 1.9834
|-
| 2 || 44.25 || 1.94916
|-
| 3 || 43.79 || 1.9188
|-
| 4 || 43.27 ||1.88625
|-
| 5 || 42.08 || 1.81501
|-
| 6 || 41.54 ||1.78519
|-
| 7 || 40.32 ||1.71998
|-
| 8 || 39.77 ||1.6928
|-
| 9 || 38.72 ||1.64267
|-
| 10 || 37.44 ||1.58612
|-
| 11 || 36.87 || 1.5625
|-
| 12 || 34.98 ||1.48942
|-
| 13 || 33.86 ||1.45002
|-
| 14 || 33.26 ||1.43024
|-
| 15 || 31.89 || 1.38716
|}

===מספרים הופכיים===
דרך נוספת לייצר את המספרים שבטבלה היא באמצעות זוגות של [[מספר הופכי|מספרים הופכיים]]. ייתכן שהמספרים שבעמודות השנייה והשלישית הם הפרמטרים של תרגיל חשבוני שמטרתו הייתה מציאת זוגות ההופכיים כמתואר להלן. אם מניחים שהטבלה נוצרה בשיטה זו, אז העמודה הראשונה משמאל מהווה תוצאת ביניים של החישוב, ולא אחת ממטרותיו.
[[קובץ:Completion To Square.png|שמאל|ממוזער|תהליך ההשלמה לריבוע: מחלקים את המלבן A לריבוע B והמלבן של ההפרש C, חותכים את C לשני חלקים ומזיזים אחד מהם כדי לקבל צורה דמוית L שמושלמת לריבוע גדול בידי הריבוע הקטן D]]
השיטה היא כדלקמן: בהינתן מספר <math>\ x</math> וההופכי שלו <math>\ x^{-1}</math>, ניתן להגדיר שני מספרים
<math>\ s=\frac{1}{2}\left(x-x^{-1}\right),\, d=\frac{1}{2}\left(x+x^{-1}\right)</math>. כעת מתקיים הקשר
<math>\ s^2+1^2=d^2</math>
(משום ש- <math>\ \left(\frac{x-x^{-1}}{2}\right)^2+1=\frac{x^2-2+x^{-2}+4}{4}=\left(\frac{x+x^{-1}}{2}\right)^2</math>),
כלומר, התקבלה השלשה הפיתגורית <math>\ (s,1,d)</math>, כאשר s ו-d אינם שלמים. על ידי כפל של s, {{כ}}d ו-1 בגורם משותף ניתן לקבל שלושה שלמים שגם הם שלשה פיתגורית. בדרך זו ניתן להפיק את כל המספרים שבטבלה באמצעות זוגות של <math>\ x,x^{-1}</math>.

אישוש לכך שזוהי דרך הפעולה ששימשה ליצירת הלוח ניתן למצוא בכך שהתהליך המתואר בו מזכיר את שיטת ה[[השלמה לריבוע]], שהייתה ידועה לבבלים בניסוח גאומטרי. דוגמה לשימוש בשיטה זו ניתן לראות בבעיה הבאה: בהינתן מלבן A ששטחו <math>\ 1</math> וההפרש בין אורך צלעותיו הוא <math>\ t</math>, יש למצוא את הצלעות.

אם נסמן את הצלעות בתור <math>\ x,x^{-1}</math> (סימון עקבי עם נתוני השאלה, כי מכפלת שתי הצלעות היא 1), כך ש-<math>\ x</math> היא הצלע הגדולה יותר, הרי שההפרש בין אורך הצלעות הוא: <math>\ t=x-x^{-1}</math>. ניתן לראות את המלבן בתור ריבוע B שאורך צלעו <math>\ x^{-1}</math>, ומחובר אליו מלבן C שאורך צלעו האחת <math>\ x^{-1}</math> ואורך צלעו השנייה <math>\ t</math>. שיטת ההשלמה לריבוע מבוססת על יצירת '''ריבוע''' בעזרת המלבן הזה, באופן הבא: חותכים חצי מהמלבן C, מסובבים חתיכה זו ומדביקים אותה לתחתית הריבוע B. קיבלנו צורה שנראית כמו האות L, ושטחה זהה לשטח המלבן A, כלומר הוא 1. כדי להשלים את הצורה הזו לריבוע יש להוסיף את שטח הריבוע ה"דמיוני" D, שאורך צלעו הוא בדיוק <math>\ t/2=s</math>. כלומר, שטח הריבוע הגדול הוא <math>\ d^2=1+s^2</math>. על ידי [[הוצאת שורש ריבועי]] ניתן למצוא את אורך צלע הריבוע הגדול, ועל ידי חיסור התוספת של <math>\ s</math> ניתן לקבל את הערכים <math>\ x,x^{-1}</math> המבוקשים.

בשיטה זו עולים המספרים <math>\ s,d</math> באופן טבעי, כאשר <math>\ d^2</math> (העמודה הראשונה מימין) מופיע כתוצר ביניים של החישוב.

הטבלה הבאה מסכמת את יצירת הלוח בדרך זו:
{| border="1"
| מספר השורה || <math>\ x</math> || <math>\ x^{-1}</math> || <math>\ s</math> || <math>\ d</math> || <math>\ d^2</math> || <math>\ a</math> || <math>\ c</math>
|-
| 1 || 12/5 || 5/12 || 119/120 || 169/120 || 28,561/14,4000 || 119 || 169
|-
| 2 || 64/27 || 27/64 || 3367/3456 || 4825/3456 || 23,280,625/11,943,936 || 3367 || 4825
|-
| 3 || 75/32 || 32/75 || 4601/4800 || 6649/4800 || 44,209,201/23,040,000 || 4601 || 6649
|-
| 4 || 125/54 || 54/125 || 12,709/13,500 || 18,541/13,500 || 343,768,681/182,250,000 || 12,709 || 18,541
|-
| 5 || 9/4 || 4/9 || 65/72 || 97/72 || 9409/5184 || 65 || 97
|-
| 6 || 20/9 || 9/20 || 319/360 || 481/360 || 231,361/129,600 || 319 || 481
|-
| 7 || 54/25 || 25/54 || 2291/2700 || 3541/2700 || 12,538,681/7,290,000 || 2291 || 3541
|-
| 8 || 32/15 || 15/32 || 799/960 || 1249/960 || 1,560,001/921,600 || 799 || 1249
|-
| 9 || 25/12 || 12/25 || 481/600 || 769/600 || 591,361/360,000 || 481 || 769
|-
| 10 || 81/40 || 40/81 || 4961/6480 || 8161/6480 || 66,601,921/41,990,400 || 4961 || 8161
|-
| 11 || 2 || 1/2 || 3/4 || 5/4 || 25/16 || 45 || 75
|-
| 12 || 48/25 || 25/48 || 1679/2400 || 2929/2400 || 8,579,041/5,760,000 || 1679 || 2929
|-
| 13 || 15/8 || 8/15 || 161/240 || 289/240 || 83,521/57,600 || 161 || 289
|-
| 14 || 50/27 || 27/50 || 1771/2700 || 3229/2700 || 10,426,441/7,290,000 || 1771 || 3229
|-
| 15 || 9/5 || 5/9 || 28/45 || 53/45 || 2,809/2,025 || 28 || 53
|}

נשים לב כי עבור הסבר זה, התיקון שבשורה האחרונה השתנה: במקום לתקן את 53 ל-106, מתקנים את 56 ל-28.

תכונה חשובה נוספת של הטבלה היא שהמיון בה מתבצע על פי ערכו של <math>\ x</math>: הערכים מסודרים בסדר יורד, החל מ-2.4 ועד 1.8. הדבר תורם להשערה לפיה פלימפטון 322 הוא רק חלק מהלוח המקורי. עם זאת, אפשרי גם שהלוח שלם, ושהוא נוצר על ידי העתקה מגרסת טיוטה שכן הכילה את ערכיו של <math>\ x</math>.

פרשנות זו מציגה הסברים לדרך שבה התקבלו השגיאות שבלוח. על פיה, השגיאה שבשורה 13 יכלה להיווצר בדרך הבאה: אם <math>\ s</math> חושב באמצעות הנוסחה <math>\ s^2=d^2-1</math>, ייתכן שיוצר הלוח שכח להוציא שורש מהתוצאה. גם השגיאות שבשורות 2 ו-15 יכולות להיות מוסברות על ידי שגיאה בשלב ההכפלה של <math>\ s,d</math> לקבלת מספרים שלמים זרים, שעליה נוספה שגיאת העתקה.

פרשנות זו הוצגה לראשונה על ידי אוורט-מארי בראנס (Evert Marie Bruins), וזכתה להרחבה וביסוס בידי ההיסטוריונית [[אלינור רובסון]] {{אנ|Eleanor Robson}}{{הערה|Robson, Eleanor, [http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf Words and pictures: New light on Plimpton 322], American Mathematical Monthly, February 2002}} (מאמרה בנושא זה זיכה אותה בפרס מטעם [[האיגוד המתמטי של אמריקה]]{{הערה|[http://www.maa.org/mathfest-2003-prizes-and-awards MathFest 2003 Prizes and Awards - Lester R. Ford Awards]}}).

===השוואת הפרשנויות השונות===
*סדר העמודות: בלוחות דומים לפלימפטון 322, סדר העמודות הוא משמאל לימין - כלומר, העמודות שנמצאות בצד ימין מתבססות על אלו שבצד שמאל. על פי פרשנות השלשות הפיתגוריות ופרשנות הטבלה הטריגונומטרית מתקבל דווקא המקרה ההפוך: עמודה מספר 1, השמאלית ביותר, מתבססת על העמודות שמימינה. לעומת זאת, פרשנות המספרים ההופכיים מציעה תיאור שבו יצירת העמודה הראשונה היא שלב מקדים לייצור שתי העמודות שמימינה.
*השגיאות: בניגוד לשתי הפרשנויות האחרות, פרשנות המספרים ההופכיים נותנת הסבר לדרך שבה נוצרו השגיאות, ובפרט מסבירה את השגיאה שבשורה 2.
*ראיות היסטוריות: פלימפטון 322 הוא אחד הלוחות הבודדים המצביעים על אפשרות שהבבלים הכירו את נוסחת היצירה של שלשות פיתגוריות (MS3971 ו-MS3052 הן שתי דוגמאות נוספות), בעוד שלוחות מתמטיים אחרים (למשל, רשימות של מספרים הופכיים) התגלו במספר עותקים. גם הפרשנות הטריגונומטרית אינה נתמכת בראיות היסטוריות נוספות, ובפרט לא ברור כלל עד כמה היה מושג ה[[זווית]] ידוע בקרב הבבלים, אם בכלל. בבעיות שעסקו ב[[מעגל]]ים נהגו הבבלים להסתכל על המעגל לא כעל [[רדיוס]] המבצע סיבוב, אלא כעל [[שטח]] התחום בידי [[עקומה]] (למשל, נוסחת שטח העיגול שהייתה ידועה לבבלים אינה מסתמכת על אורך הרדיוס כמו הנוסחה <math>\ \pi r^2</math> של ימינו, אלא על היקף המעגל - <math>\ c^2/4\pi</math> כאשר <math>\ c</math> הוא ההיקף).

לעומתן, הפרשנות של המספרים ההופכיים מגובה בממצאים שמעידים כי מספרים הופכיים היו מוכרים לבבלים, כמו גם השיטה של השלמה לריבוע.
*מטרת הלוח: בעוד שהפרשנות הטריגונומטרית ופרשנות השלשות הפיתגוריות מספקות הסבר ברור לייעודו של הלוח, פרשנות המספרים ההופכיים נתקלת בקשיים. אף שניתן לתאר את הלוח ככלי עזר ששימש בהוראת תרגיל חשבון, בהתבסס על כך שאופן יצירתו מזכיר דרכי פתרון שנמצאו על לוחות אחרים, אין בכך כדי להסביר מה הייעוד שמילאו העמודות השנייה והשלישית, שהכילו את השלשות עצמן.

== ראו גם ==
{{פורטל ארכאולוגיה של המזרח הקרוב}}
* [[היסטוריה של המתמטיקה]]
{{-}}

==לקריאה נוספת==
<div style="direction: ltr;">
* O. Neugebauer, '''[https://ia800708.us.archive.org/12/items/TheExactSciencesInAntiquity/The%20Exact%20Sciences%20in%20Antiquity.pdf The exact sciences in antiquity]''', Dover, 1969
</div>

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html The Babylonian tablet Plimpton 322] מאמר השייך לקורס על ההיסטוריה של המתמטיקה ב[[אוניברסיטת קולומביה הבריטית]], כולל תיאור מפורט ומצולם של הלוח, ותיאור של פרשנות השלשות הפיתגוריות.
* {{דוידסון|ד"ר טל קוולר|הטריגונומטריה שהקדימה את זמנה|sciencenews/הטריגונומטריה-שהקדימה-את-זמנה|10 בספטמבר 2017}}
<div class="mw-content-ltr">
*R. Creighton Buck, [https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Buck335-345.pdf Sherlock Holmes in Babylon], American Mathematical Monthly, 1980
*Eleanor Robson, [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0315086001923171 Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322], Historia Mathematica, Vol 28, pages 167-206, 2001
* Eleanor Robson, [http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf Words and pictures: New light on Plimpton 322], American Mathematical Monthly, Feb 2002
* [http://www.egyptorigins.org/plimptonlist.htm Eleanor Robson and Plimpton 322] - אתר שמגיב על המאמרים האחרונים הטוענים בזכות הפרשנות של המספרים ההופכיים ונגד פרשנות השלשות הפיתגוריות
* {{הטלגרף|Sarah Knapton|3,700-year-old Babylonian tablet rewrites the history of maths - and shows the Greeks did not develop trigonometry|science/2017/08/24/3700-year-old-babylonian-tablet-rewrites-history-maths-could/|24 August 2017}}
* [http://www.iflscience.com/physics/ancient-babylonian-tablet-explained-as-a-trigonometric-table/ 3,700-Year-Old Babylonian Tablet Decoded], באתר iflscience
</div>

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:אוניברסיטת קולומביה]]
[[קטגוריה:בבל]]
[[קטגוריה:היסטוריה של המתמטיקה]]
[[קטגוריה:כתובות באכדית, באשורית ובבבלית]]
[[קטגוריה:ממצאים ארכאולוגיים מחרס]]