הצגת המקור של הדף "פסאודוספירה"

{{להשלים|כל הערך=כן|נושא=מדעי הטבע}}
'''פסאודוספירה''' הוא מונח ב[[גאומטריה]] עבור משטחים בעלי [[עקמומיות גאוס]] שלילית קבועה, כלומר דמויי "[[נקודת אוכף|אוכף]]" בכל מקום.

'''פסאודוספירה''' עם [[רדיוס]] R היא משטח ב-<math>\ \mathbb{R}^3</math>עם עקמומיות גאוס <math>-\frac{{1}}{{R^2}}</math> בכל נקודה.

מקור השם פסאודוספירה מגיע מהאנלוגיה ל[[כדור (גאומטריה)|כדור]] (ספירה) עם רדיוס R, שהוא משטח עם עקמומיות <math>\frac{{1}}{{R^2}}</math> בכל נקודה (לכדור יש עקמומיות גאוס חיובית קבועה). הפסאודוספירה ממלאה ב[[גאומטריה היפרבולית|גאומטריה ההיפרבולית]] תפקיד דומה לזה שממלא הכדור ב[[גאומטריה אליפטית]]. המונח נטבע על ידי [[אאוג'ניו בלטראמי]] במאמרו מ-1868 על מודלים של גאומטריה היפרבולית.<ref>{{Cite journal|last=Beltrami|first=Eugenio|year=1868|title=Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea|trans-title=Treatise on the interpretation of non-Euclidean geometry|url=http://www.caressa.it/pdf/beltrami01.pdf|journal=Gior. Mat.|volume=6|pages=248–312}}</ref>

== טרקטרואיד ==
[[קובץ:Pseudosphere.png|left|מסגרת|טרקטרואיד.]]
ניתן לתאר את הפסאודוספירה גם כמשטח הנוצר על ידי [[גוף סיבוב|סיבוב]] עקום ה[[טרקטריקס]] מסביב ל[[אסימפטוטה]] שלו. לכן, הפסאודוספירה נקראת גם '''טרקטרואיד.''' לדוגמה, חצי הפסאודוספירה (עם רדיוס 1) היא [[משטח סיבוב]] של הטרקטריקס הניתן ל[[תיאור פרמטרי של עקום|הצגה פרמטרית]] באופן הבא:

<math>t \mapsto \left( t - \tanh{t}, \operatorname{sech}\,{t} \right), \quad \quad 0 \le t < \infty.</math>

זהו מרחב [[סינגולריות (מתמטיקה)|סינגולרי]] (קו המשווה הוא סינגולרי) אך מלבד הסינגולריות זהו משטח עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה ולכן הוא [[איזומטריה|איזומטרי]] מקומית ל[[מרחב היפרבולי|מישור ההיפרבולי]].

== תכונות הפסאודוספירה ==
כבר ב-1693 מצא [[כריסטיאן הויגנס]] שה[[נפח]] ו[[שטח פנים|שטח הפנים]] של הפסאודוספירה הם סופיים,<ref>{{Cite book|last=Stillwell|first=John|url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC|title=Mathematics and Its History|publisher=Springer Science & Business Media|year=2010|isbn=978-1-4419-6052-8|edition=revised, 3rd|page=345}}, [https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA345 extract of page 345]</ref> למרות ההיקף האינסופי של הצורה לאורך ציר הסיבוב.

עבור פסאודוספירה עם רדיוס נתון ''R,'' שטח הפנים הכולל הוא <math>4\pi R^2</math>, בדומה לכדור עם רדיוס ''R''. נפח הפסאודוספירה הוא <math>\frac {{2}}{{3}}\pi R^3</math>, מחצית מנפח כדור עם רדיוס ''R''.

עבור פסאודוספירה "מנורמלת" (כלומר, בעלת עקמומיות גאוס קבועה ''1-'') שטח הפנים הכולל הוא <math>4\pi </math>, בדיוק כמו שטח הפנים של כדור עם עקמומיות גאוס ''1+''. ניתן להסביר תוצאה זאת כמסקנה מיידית מ[[משפט גאוס-בונה]]: אם נסתכל על כל אחת ממחציות הפסאודוספירה ונמתח מכל נקודה על שפת הדיסקה המרכזית [[מסילה גאודזית]] בכיוון מרכז הדיסקה, יתקבלו [[אינסוף]] רצועות פסאודוספיריות המהוות למעשה משולשים גאודזיים אינפיניטסימליים, והמגרעת הזוויתית של משולשים אלו יחסית לשטחם (על פי משפט גאוס-בונה). מכיוון ששתיים מצלעותיו של כל משולש כזה "נפגשות באינסוף", [[זווית]] אחת בכל משולש כזה היא בדיוק ''0'' מעלות, בעוד ששתי הזוויות האחרות מסתכמות ל-<math> \pi - \epsilon </math> כאשר <math> \epsilon </math> היא הזווית המרכזית המתאימה לקשת המעגל (האינפיניטסימלית) המחברת בין שתי נקודות סמוכות על שפת הדיסקה המרכזית. לפיכך, המגרעת הזוויתית הכוללת של כל המשולשים הללו היא כגודל הזווית המרכזית של [[מעגל]] שלם – <math>2\pi </math>, וזהו גם שטחה של מחצית הפסאודוספירה. את אותו התהליך ניתן להפעיל באופן דומה על מחצית ספירת יחידה כדי לקבל הוכחה מ[[גאומטריה דיפרנציאלית]] לכך ששטחה <math>2\pi </math>; ההבדל הקונספטואלי בין המקרה הספירי למקרה הפסאודוספירי הוא שבראשון הגיאודזות נפגשות לאחר מרחק סופי (בקטבים של הכדור) בעוד שבמקרה השני הן נפגשות רק "באינסוף".

== ראו גם ==

* [[גאומטריה לא-אוקלידית]]
*[[מרחב עקום]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:צורות גאומטריות]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]