הצגת המקור של הדף "פעולה אסוציאטיבית"

{{מפנה|אסוציאטיביות}}
ב[[מתמטיקה]], '''פעולה אסוציאטיבית''' היא [[פעולה בינארית]] המקיימת את '''חוק הקיבוץ'''. כלומר, אם נסמן את תוצאת הפעולה על איברים <math>a, b</math> על ידי <math>a*b</math> אז הפעולה מקיימת לכל <math>\ a,b,c</math> את השוויון <math>\ a*(b*c) = (a*b)*c</math>. פעולות ה[[חיבור]] וה[[כפל]] של [[מספר|מספרים]] הן דוגמאות חשובות לפעולות אסוציאטיביות. דוגמה כללית יותר היא פעולת ה[[הרכבת פונקציות|הרכבה]] של [[פונקציה|פונקציות]] (ראו להלן). קיימות עוד פעולות אסוציאטיביות רבות, כמו [[כפל מטריצות]].

לפעולות אסוציאטיביות תפקיד מרכזי ב[[אלגברה מופשטת]] – מערכת הכוללת קבוצה עם פעולה אסוציאטיבית נקראת [[חבורה למחצה]], והנחות נוספות על הפעולה מוליכות להגדרה של [[מונויד]] ושל [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]]. ב[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] הכפל הוא אסוציאטיבי (והחיבור הוא אסוציאטיבי ו[[פעולה קומוטטיבית|קומוטטיבי]], ומתקיים [[חוק הפילוג]] של החיבור ביחס לכפל). באלגברה נלמדות גם מערכות שבהן [[אלגברה לא אסוציאטיבית|הכפל אינו אסוציאטיבי]].
__ללא_תוכן__
== פעולות בכמה איברים ==

הרכבה של פעולות מאפשרת להגדיר בעזרת פעולה בינארית גם פעולות על מספר כלשהו של משתנים. למשל, בארבעה משתנים קיימות הפעולות <math>\ (x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto x_1*(x_2*(x_3*x_4)), \, x_1*((x_2*x_3)*x_4), \, (x_1*x_2)*(x_3*x_4),\, (x_1*(x_2*x_3))*x_4,\, ((x_1*x_2)*x_3)*x_4</math>. מספר הפעולות השונות שאפשר להגדיר באופן הזה, כאשר * הוא [[אופרטור]] בינארי, הוא [[מספר קטלן#מספר ביטויי הסוגריים|מספר קטלן]]. אם הפעולה אסוציאטיבית, כל הפעולות יתנו אותה תוצאה.

== הכללות == 

בדרך כלל המונח "פעולה אסוציאטיבית" מתייחס, כאמור, לפעולה בינארית, כלומר לפונקציה <math>\ A \times A \rightarrow A</math>. עם זאת למלה "פעולה" יש גם משמעות רחבה יותר, והיא עשויה לחול על כל פונקציה דו-מקומית <math>\ A\times B \rightarrow C</math>. במצב שבו מוגדרות פעולות <math>\ f: A \times B \rightarrow X</math>, <math>\ g : B \times C \rightarrow Y</math>, וכן <math>\ a: X \times C \rightarrow \Omega</math> ו-<math>\ b: A \times Y \rightarrow \Omega</math>, אומרים שהמערכת אסוציאטיבית (או שאחת הפעולות אסוציאטיבית ביחס לאחרות) אם ה[[דיאגרמה (תורת הקטגוריות)|דיאגרמה]]
: <math>\ \begin{array}{ccc} A \times B \times C & \longrightarrow^{1\times g} & A \times Y \\ \downarrow^{f \times 1} & & \downarrow^{b} \\ X \times C & \longrightarrow^{a} & \Omega \end{array}</math> [[דיאגרמה קומוטטיבית|קומוטטיבית]]. 
הרכבה של פונקציות היא אסוציאטיבית במובן הכללי הזה: לכל שלוש פונקציות <math>\ X \stackrel{f}{\rightarrow} Y \stackrel{g}{\rightarrow} Z \stackrel{h}{\rightarrow} U</math> מתקיים <math>\ (h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)</math>. גם פעולת הכפל בסקלר של [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] M מעל חוג R היא אסוציאטיבית במובן דומה: לכל <math>\ a,b \in R</math> ו-<math>\ v \in M</math> מתקיים <math>\ a(bx) = (ab)x</math>.

==היעדר תלות בקומוטטיביות==

אין קשר ישיר בין אסוציאטיביות לתכונה אחרת של פעולות בינאריות, [[קומוטטיביות]]: 
* ישנן פעולות שהן גם קומוטטיביות וגם אסוציאטיביות (לדוגמה: חיבור וכפל ב[[מספר|מספרים]], [[AND]], [[OR]], [[XOR]]).
* ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות ולא אסוציאטיביות (לדוגמה: חיסור וחילוק).
* ישנן פעולות שהן קומוטטיביות אבל לא אסוציאטיביות (למשל: [[ערך מוחלט|הערך המוחלט]] של ההפרש, [[NOR]], {{כ}}[[NAND]]).
* ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות אבל כן אסוציאטיביות (למשל: הפעולה המוגדרת לפי <math>\ a\#b = a</math>, או [[כפל מטריצות]]).

== ראו גם ==

* [[אלגברה לא אסוציאטיבית]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אלגברה]]
[[קטגוריה:פעולות בינאריות|*1]]