הצגת המקור של הדף "פעולה בינארית"

[[קובץ:Binary operations as black box.svg|250px|ממוזער|הפעולה <math>\circ</math> לוקחת שני איברים <math>x,y</math> ומחזירה איבר חדש <math>x \circ y</math>]]

'''פעולה בינארית''' (או '''אופרטור בינארי''') היא [[פעולה (מתמטיקה)|פעולה]] [[מתמטיקה|מתמטית]] המתבצעת בין שני [[איבר (מתמטיקה)|איברים]] ב[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] (לא בהכרח שונים זה מזה).

== הגדרה פורמלית ==
'''פעולה בינארית''' על קבוצת איברים היא [[פונקציה]] מ[[זוג סדור|זוגות סדורים]] של אברי הקבוצה אל הקבוצה, וב[[סימון מתמטי]]: עבור הקבוצה <math>S</math>, פעולה בינארית היא פונקציה <math>f</math> מ[[מכפלה קרטזית|המכפלה הקרטזית]] של הקבוצה בעצמה, אל הקבוצה: <math>f: S\times S \to S</math>. לעיתים <math>f</math> היא [[פונקציה חלקית]], לדוגמה: לא ניתן [[חלוקה באפס|לחלק באפס]].

פעולות בינאריות הן הבסיס ל[[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] הנחקרים במסגרת ה[[אלגברה מופשטת|אלגברה המופשטת]]. מבנים העוסקים בפעולות בינאריות הם [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], [[חוג (אלגברה)|חוג]], [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] ועוד.
פעולה בינארית מסומנת פעמים רבות בין שני האיברים שעליהם היא פועלת, למשל, אופרטור החיבור <math>+</math> נכתב <math>a+b</math>, ולא בכתיב הפונקציונלי <math>+(a,b)</math>.
לפעולות בינאריות על קבוצות סופיות יש [[טבלת פעולה]].

== תכונות ==
פעולות בינאריות הן פעמים רבות [[קומוטטיביות]] או [[אסוציאטיביות]]. פעמים רבות יש בהן [[איבר אדיש]] ו[[איבר הופכי]]. נדגים מושגים אלה באמצעות פעולה שנסמנה <math>\star</math> הפועלת על קבוצה <math>S</math>:
* פעולה המקיימת <math>x \star y = y\star x</math> לכל <math>x,y\in S</math> נקראת פעולה חילופית (קומוטטיבית).
* פעולה המקיימת <math>(x \star y) \star z = x \star (y \star z)</math> לכל <math>x,y,z\in S</math> נקראת פעולה אסוציאטיבית (כלומר מקיימת את חוק הקיבוץ).
* אם קיים איבר <math>e\in S</math> אשר מקיים לכל <math>x\in S</math> את התנאי <math>x \star e = e\star x =x</math> אז הוא נקרא איבר אדיש (או נייטרלי) כלפי הפעולה. לפי ההקשר, איבר אדיש יכונה [[איבר יחידה]] או [[איבר האפס]], ויסומן ב־<math>1</math>, ב־<math>0</math>, ב־<math>e</math> או ב־<math>I</math>.
* אם קיים איבר אדיש <math>e</math> לפעולה, אז איבר ההופכי לאיבר <math>x\in S</math> הוא איבר <math>y \in S</math> שמקיים <math>x\star y = y\star x =e </math>. האיבר ההופכי מסומן לרוב ב־<math>x^{-1}</math> או ב־<math>-x</math>.

== דוגמאות ==
[[ארבע פעולות החשבון]] ([[חיבור]], [[חיסור]], [[כפל]] ו[[חילוק]]) הן פעולות בינאריות מוכרות וידועות. גם [[כפל מטריצות]] הוא פעולה בינארית. [[שרשור (מחרוזות)|שרשור]] מחרוזות, כלומר פעולה שלוקחת שתי מחרוזות של תווים ומצמידה אותן זו לזו, היא דוגמה נוספת לפעולה בינארית.

ב[[לוגיקה בוליאנית]] נפוץ השימוש ב[[פעולה בוליאנית|פעולות בוליאניות]] בינאריות: [[או (לוגיקה)|או]], [[וגם (לוגיקה)|וגם]], [[XOR]], [[NAND לוגי|NAND]], [[NOR לוגי|NOR]] ו-[[XNOR לוגי|XNOR]].

== ראו גם ==
* [[פעולה אונארית]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:פעולות בינאריות|*]]
[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
[[קטגוריה:יחסים מתמטיים]]