הצגת המקור של הדף "פפיאן"

{{פירוש נוסף|נוכחי=מושג באלגברה לינארית}}
ב[[אלגברה ליניארית]], ה'''פפיאן''' של [[מטריצה]] מסדר זוגי הוא פולינום מסוים באברי המטריצה, שיש לו קשר ל[[דטרמיננטה]]. הפפיאן הופיע לראשונה בעבודות של [[יוהאן פרידריך פף]] (Pfaff) ב-[[1815]], וקיבל את שמו מידי [[ארתור קיילי]] ב-[[1852]]. את הפפיאן של מטריצה A מסמנים <math>\ \operatorname{Pf}(A)</math>. תכונתו החשובה ביותר היא שהדטרמיננטה של [[מטריצה אנטי-סימטרית]] שווה לריבוע הפפיאן. גם הדטרמיננטה של מטריצה סימטרית ביחס ל[[אינוולוציה סימפלקטית]] שווה לריבוע הפפיאן.

פף חקר [[משוואה דיפרנציאלית|מערכות של משוואות דיפרנציאליות]] מסדר ראשון, ונתקל בתנאי השקול לכך שהפפיאן של מטריצה אנטי-סימטרית מסוימת אינו מתאפס. ב-[[1827]] זיהה [[קרל גוסטב יעקובי]] שהתנאי החישובי של פף שקול לכך שהדטרמיננטה של אותה מטריצה שונה מאפס. בעקבות זאת הוכיח קיילי ב-[[1847]] שאם A אנטי-סימטרית, אז <math>\ \det(A)=\operatorname{Pf}(A)^2</math>. ביחס לפעולת ה[[חפיפת מטריצות|חפיפה]], הפפיאן מקיים <math>\ \operatorname{Pf}(BAB^{t}) = \det(B)\cdot \operatorname{Pf}(A)</math>.

הפפיאן של מטריצה <math>\ (a_{ij})</math> מסדר <math>\ 2m\times 2m</math> מוגדר לפי הנוסחה <math>\ \operatorname{Pf}(A)=\frac{1}{2^m m!}\sum_{\sigma \in S_{2m}}(\operatorname{sgn} \sigma)a_{\sigma(1),\sigma(2)}a_{\sigma(3),\sigma(4)}\cdots a_{\sigma(2m-1),\sigma(2m)}</math>. אם המטריצה אנטי-סימטרית, מספיק לעבור על התמורות המקיימות <math>\ \sigma(2i-1)<\sigma(2i)</math> לכל i, ו- <math>\ \sigma(1)<\sigma(3)<\cdots <\sigma(2m-1)</math>, ללא המקדם המוביל, וכך ההגדרה טובה מעל שדה מכל [[מאפיין של שדה|מאפיין]]. לדוגמה, 
<math>\ \operatorname{Pf}\left(\begin{array}{cc}0&a\\-a&0\end{array}\right) = a</math>, ו- 
<math>\ \operatorname{Pf}\left(\begin{array}{cccc}0&a&x&t\\-a&0&s&y\\-x&-s&0&c\\-t&-y&-c&0\end{array}\right) = ac+ts-xy</math>. בדומה לזה, הפפיאן של 
<math>\ \left(\begin{array}{cccc}a&b&0&\alpha \\ c&d&-\alpha &0 \\ 0&\beta&a&c\\ -\beta&0 &b&d\end{array}\right)</math>, שהיא סימטרית ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית, הוא <math>\ ad-bc + \alpha \beta</math>. 

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]