הצגת המקור של הדף "פרדוקס קו החוף"

{{תמונות מרובות
 | סיומת    = בצד ימין נמדד אורך קו החוף של [[בריטניה הגדולה]] באמצעות סרגל באורך 100 ק"מ, ומתקבל כי קו החוף באורך של כ-2,800 ק"מ. בצד שמאל אותו קו חוף נמדד עם סרגל באורך 50 ק"מ ומתקבל כי קו החוף באורך של כ-3,400 ק"מ.
 | רוחב     = 150

 | תמונה1    = britain-fractal-coastline-100km.png
 | חלופי1      = קו החוף נמדד באמצעות סרגל של 100 ק"מ

 | תמונה2    = britain-fractal-coastline-50km.png
 | חלופי2      = קו החוף נמדד באמצעות סרגל של 50 ק"מ
}}
'''פרדוקס קו החוף''' הוא האבחנה הלא [[אינטואיציה|אינטואיטיבית]] כי לא ניתן להגדיר היטב את [[אורך|אורכו]] של [[קו חוף]]. ה[[פרדוקס]] תקף גם לגבולות [[גאוגרפיה|גאוגרפיים]] אחרים בעלי אופי דומה. מקור הפרדוקס הוא באופי ה[[פרקטל]]י של קווי חוף. הפרדוקס נבחן לראשונה על ידי [[לואיס פרי ריצ'רדסון]] והעסיק גם את [[בנואה מנדלברוט]] כשהחל לפתח את תורת הפרקטלים.

הבחנה ראשונה היא כי אורכו של קו חוף תלוי באורך ה"[[סרגל]]" בו משתמשים כדי למדוד. סרגל הוא ישר ולא ניתן להשתמש בו כדי למדוד פיתולים הקטנים יותר מאורכו. לכן ככל שהסרגל קצר יותר, נמדדים יותר פיתולים ובהתאם אורכו של קו החוף מתארך. אולם דבר זה כשלעצמו אינו אומר כי אין לקו חוף אורך בר הגדרה. אם ננסה לדוגמה למדוד את [[היקף|היקפו]] של [[מעגל]] מושלם עם [[קוטר]] של מטר באמצעות סרגל, תתרחש תופעה דומה. ככל שנשתמש בסרגלים קצרים יותר האורך הנמדד יתארך, אולם ההתארכות תהיה חסומה, ותלך ותתקרב להיקף האמיתי של המעגל שהוא <math>\ \pi</math> ([[פאי]]) מטרים. תופעה דומה תתרחש בכל צורה מוכרת מן ה[[גאומטריה אוקלידית|גאומטריה האוקלידית]]. עם זאת, התופעה אינה קורית כאשר עוסקים בקווי חוף. הסיבה נעוצה בעובדה כי לא משנה עד כמה נבחן קו חוף מקרוב, תמיד נמצא בו [[פרקטל|פיתולים זעירים הדומים לפיתולים הגדולים]] בהם מבחינים בבחינה מרחוק (בשונה מכל [[צורה גאומטרית]] אוקלידית). בשל כך במקום שהאורך הנמדד ילך ויתקרב לערך מדויק ככל שהסרגלים מתקצרים, הרי שהאורך רק הולך וגדל לאינסוף. כלומר אם רק נשתמש בסרגל קטן מספיק, נוכל למדוד אורך ארוך יותר מכל מספר שנרצה. מכאן שאורך קו החוף הוא אינסופי.

בפועל יש גבול [[פיזיקה|פיזיקלי]] להשפעתו של הפרדוקס מכיוון שהגדרת אורכים של עצמים עשויים [[חומר]] כאשר הסרגל באורך תת-אטומי בעייתית בפני עצמה.

אם רוצים למדוד אורך של קו חוף ולקבל תוצאה סופית, יש צורך לקבוע אורך מספק של סרגל כך שפיתולים קטנים ממנו לא ימדדו. במקרה כזה בעייתי להשוות בין אורכיהם של קווי חוף שונים משום שבחירת אורך הסרגל משפיעה על יחס האורכים ביניהם. למשל קו החוף ה[[מפרץ|מפורץ]] ושופע ה[[פיורד]]ים של [[נורווגיה]] גורם לכך שהקטנה זעירה של הסרגל, מאריכה משמעותית את האורך הנמדד. לעומת זאת אורך קו החוף הישר יחסית של [[ישראל]] גורם לכך שלהקטנה של הסרגל השפעה קטנה יותר על האורך הנמדד. בשל כך, אם נשווה את אורך קו החוף של נורווגיה לזה של ישראל, היחס ביניהם רק ילך ויגדל ככל שנקטין את הסרגל ולא ישמור על ערך קבוע.

==היסטוריה==
במהלך מחקריו של [[לואיס פרי ריצ'רדסון]] על השפעת האורך של [[גבול]] בין [[מדינה|מדינות]] על הסיכויים להתפתחות [[מלחמה]] ביניהן, שם ריצ'רדסון לב כי ה[[פורטוגל|פורטוגזים]] דיווחו כי אורך הגבול המשותף שלהם עם [[ספרד]] הוא 987 ק"מ, בעוד הספרדים דיווחו כי אורכו 1,214 ק"מ. ריצ'רדסון הבין כי השוני בנתונים נובע משימוש בסרגלים שונים ופרסם ב-[[1951]] תיאור מתמטי של התארכות הגבול כ[[פונקציה]] של אורך הסרגל (תוצאה הקרויה על שמו "אפקט ריצ'רדסון").

בשנת [[1967]] פרסם [[בנואה מנדלברוט]] מאמר במגזין [[Science]] שכותרתו ''How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension''. במאמר תיאר מנדלברוט את אפקט ריצ'רדסון והרחיב את הדיון המתמטי בו. ב-[[1975]] טבע מנדלברוט את המונח "[[פרקטל]]" לתיאור צורות בעלי תכונות דומות.

==ניתוח מתמטי==
[[קובץ:Great Britain Hausdorff.svg|שמאל|ממוזער|290px|הערכת הממד השברי של קו החוף של [[בריטניה]] בעזרת [[ממד האוסדורף]].]]
ההתייחסות האינטואיטיבית לקו חוף היא כ[[עקומה]] חד-ממדית. אולם בחינה מעמיקה תגלה כי הנחה זו שגויה. קו חוף הוא למעשה פרקטל, שיש לו [[פרקטל#ממדים שבריים|ממד שברי]] שבין 1 ל-2. ככל שהממד של העקומה קרוב יותר ל-1, כן היא יותר חלקה ודומה לעקומות החד-ממדיות המוכרות מהגאומטריה האוקלידית. ככל שהממד קרוב יותר ל-2, העקומה "מתנודדת" יותר, וכוללת פיתולים קיצוניים בכל [[קנה מידה]], והיא דומה ל[[עקום פאנו]] שהוא למעשה פרקטל דו-ממדי. בפועל, לקווי חוף יש ממד שברי שאינו גדול בהרבה מ-1. באמצעות [[ממד האוסדורף|הגדרתו]] של [[פליקס האוסדורף]] לממד שברי, ניתן להעריך את הממד השברי של קווי חוף שונים. מנדלברוט השתמש בהגדרה כדי להצדיק את החישובים שערך ריצ'רדסון, וכדי להעריך קירובים לממדיהם של קווי חוף שונים. התוצאות שהתקבלו נעו בין 1.02 לקו החוף של [[דרום אפריקה]], ועד 1.25 לקו החוף המערבי של [[בריטניה]]. בהערכה מאוחרת יותר נמדד ממד שברי מקורב של 1.52 בקו החוף של נורווגיה.

באמצעות כלים אלו מתורת הפרקטלים הוכיח מנדלברוט בכלים תאורטיים את אפקט ריצ'רדסון, אותו הסיק ריצ'רדסון על סמך אמצעים [[אמפירי]]ים. אורכו של קו חוף כפונקציה של אורך הסרגל (<math>\ L(\epsilon)</math>) עומד ב[[יחס ישר]] לאורך הסרגל (<math>\ \epsilon</math>), בחזקת אחד פחות הממד השברי של קו החוף (<math>\ d</math>): <math> L(\epsilon)\propto \epsilon^{1-d}\,</math>.

==קישורים חיצוניים==
*{{MathWorld|CoastlineParadox}}

[[קטגוריה:פרקטלים]]
[[קטגוריה:פרדוקסים|קו החוף]]
[[קטגוריה:טופוגרפיה]]
[[קטגוריה:קרטוגרפיה]]