הצגת המקור של הדף "פתרון באמצעות רדיקלים"

'''פתרון באמצעות רדיקלים''' הוא פתרון כללי של [[משוואה פולינומית]], שניתן להבעה כביצוע של מספר סופי של הפעולות: [[חיבור]], [[חיסור]], [[כפל]], [[חילוק]] והוצאת [[שורש של מספר|שורש]] ממעלה טבעית על מקדמי המשוואה (וקבועים מן ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]).

למשל, פתרון [[משוואה ריבועית|המשוואה הריבועית]] <math>\ ax^2+bx+c=0</math> שהוא <math>\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> הוא פתרון באמצעות רדיקלים.

פתרונות כלליים באמצעות רדיקלים ל[[משוואה ליניארית|משוואה ממעלה ראשונה]], [[משוואה ממעלה שלישית]] ו[[משוואה ממעלה רביעית]] ידועים גם הם. בשנת [[1824]] הוכיח [[נילס הנריק אבל]] כי אין פתרון כללי באמצעות רדיקלים למשוואה ממעלה חמישית ומעלה. שנים ספורות לאחר מכן מצא [[אווריסט גלואה]] אפיון מלא של כל המשוואות הפולינומיות שניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים: אלו המשוואות ש[[חבורת גלואה]] המתאימה להן היא [[חבורה פתירה]]. מחקרים אלו הולידו את [[תורת גלואה]] ואת [[תורת החבורות]].

מקור השם פתרון באמצעות רדיקלים הוא מהמילה ה[[לטינית]] Radix שפירושה שורש, המושג אומץ באנגלית (שורש באנגלית הוא root, אבל לפעמים לפעולת השורש ניתן לקרוא radical).

==פתרון באמצעות רדיקלים ותורת גלואה==
לפתרון משוואות פולינומיות באמצעות רדיקלים יש מינוח מקביל ב[[תורת גלואה]].

תהי <math>E/F</math> הרחבת שדות. נאמר שהיא '''שורשית''' אם קיים <math>a \in E</math> כך ש-<math>E=F[a]</math> וכן <math>a^n \in F</math>. נאמר שההרחבה בעלת '''מגדל שורשים''' אם קיים מגדל שדות <math>F=F_0 \subset F_1 \subset ... \subset F_n = E</math> כך שכל הרחבה <math>F_{i+1}/F_i</math> היא שורשית.

נאמר שפולינום <math>f \in F[x]</math> הוא '''פתיר באמצעות רדיקלים''' אם קיים לו שורש כך ש-<math>E=F[a]</math> בעל מגדל שורשים.

המשפט המרכזי בנושא הוא:

'''משפט''': פולינום <math>f</math> הוא פתיר לפי רדיקלים [[אם ורק אם]] חבורת גלואה של שדה הפיצול שלו [[חבורה פתירה|פתירה]].

בפרט, עבור [[בנייה בסרגל ובמחוגה|מספר בר בנייה]], נקבל:

'''משפט''': איבר <math>a</math> הוא [[בנייה בסרגל ובמחוגה|בר בנייה]] אם ורק אם שדה הפיצול של הפולינום המינימלי שלו בעל מגדל ריבועים (כלומר, מגדל שורשים עם הרחבות מסדר 2 כל פעם), אם ורק אם חבורת גלואה שלו היא [[חבורת p|חבורת-2]] (חבורה מסדר חזקת 2).

בפרט, נקבל כי ניתן לבנות [[מצולע משוכלל]] עם <math>n</math> צלעות אם ורק אם ניתן לבנות את [[שורש יחידה|שורש היחידה]] ה-<math>n</math>, אם ורק אם (לפי המשפט) <math>\phi(n)</math> חזקת 2, כאשר <math>\phi</math> [[פונקציית אוילר]].

כעת, ניתן להציג את '''הפתרון לבעיית פתרון באמצעות רדיקלים לפולינום ממעלה כללית''' - עבור <math>n \le 4</math> חבורת גלואה היא תת-חבורה של [[החבורה הסימטרית]] מסדר <math>4</math>, שהיא (וכל תת-חבורותיה) פתירות. לכן כל פולינום ממעלה 4 ומטה פתיר על ידי רדיקלים.

מאידך, לכל מעלה לפחות 5, ניתן תמיד למצוא פולינום עם חבורת גלואה <math>S_n</math>, ולכן היא לא תהיה פתירה על ידי רדיקלים. בפועל, אפשר למשל לקחת את הפולינום -<math>x^n-pqx+p</math>, עבור <math>n,p,q</math> ראשוניים. זהו פולינום אי פריק לפי [[קריטריון אייזנשטיין]]. יש לו שתי נקודות קיצון, ולכן אם בוחרים נכון את <math>p,q</math> נקבל כי יהיו לו בדיוק 3 שורשים ממשיים, ולכן 2 מרוכבים, ולכן יהיו בחבורת גלואה חילוף; היות שיש בה גם מחזור מסדר <math>n</math> (שכן הפולינום אי פריק, ולכן המעלה מחלקת את סדר החבורה), נקבל סה"כ כי בחבורה יש מחזור וחילוף - ולכן היא כל <math>S_n</math>.

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* Algebra: Groups, Rings, and Fields, Louis Rowen, 207-217
</div>

[[קטגוריה:משוואות פולינומיות]]
[[קטגוריה:תורת גלואה]]