הצגת המקור של הדף "צבר (פיזיקה סטטיסטית)"

ב[[פיזיקה סטטיסטית]] מושג ה'''צבר''' (ensemble) מתייחס לאוסף המערכות המוגדרות על ידי אותה בעיה פיזיקלית ואותם גדלים מקרוסקופיים ([[טמפרטורה]], [[לחץ]], [[פוטנציאל כימי]] וכדומה), אבל נבדלות זו מזו במצב המיקרוסקופי של כל החלקיקים.

אחד הרעיונות ב[[פיזיקה סטטיסטית|פיזיקה הסטטיסטית]] הוא לבנות תורה הנובעת מחוקי הפיזיקה התקפים לכל מספר של חלקיקים, אבל מבלי לחקור את ההתנהגות של מערכת בודדת, אלא של עותקים מחשבתיים רבים של אותה מערכת בודדת. אוסף של עותקים כאלו נקרא "צבר" והפיזיקה הסטטיסטית עוסקת בתכונות של צברים, או במילים אחרות, בהתנהגות הממוצעת של המערכת. הפיזיקה הסטטיסטית מצליחה להגדיר את המושגים המוכרים מ[[תרמודינמיקה]], כמו [[טמפרטורה]], [[אנטרופיה]], ו[[קיבול חום]], כתכונות של הצברים הללו. 

צבר הוא אוסף של מערכות, שכל אחת יכולה להיות במצב שונה, אך יש להן תכונות משותפות הקובעות את סוג הצבר. הצבר המיקרוקנוני הוא צבר שעבורו כל המערכות הן בעלות אותה אנרגיה, אותו [[נפח]] ואותו מספר חלקיקים. הצבר הקנוני הוא צבר שבו לכל המערכות אותו נפח ואותו מספר חלקיקים אך הן יכולות להחליף אנרגיה עם אמבט חום בעל טמפרטורה קבועה. הצבר הגרנד-קנוני הוא צבר שבו המערכות יכולות להחליף לא רק אנרגיה אלא גם חלקיקים עם אמבט החום, אך נפחן קבוע. אלו שלושת הצברים הנחשבים לבסיסיים ביותר, אם כי ניתן להגדיר צברים רבים אחרים.

קל להבין שבזמן שהתיאור המיקרוסקופי מוביל לתיאור מקרוסקופי יחיד, כל תיאור מקרוסקופי נובע מהרבה תיאורים מיקרוסקופיים שונים: אפשר לסדר את החלקיקים בצורות שונות כך שתהיה להם אותה צפיפות, טמפרטורה ומהירות ממוצעת. ה'''צבר''' על כן, הוא אותו האוסף של כל התיאורים המיקרוסקופיים הגוררים את אותו התיאור המקרוסקופי.

ב[[מכניקת הקוונטים]] צברים מיוצגים על ידי [[מטריצת צפיפות]] שבעזרתה ניתן לחשב את הממוצעים של כל מדידה פיזיקלית. גם כאן, התיאור המקרוסקופי אינו נותן מידע מלא על המצב המיקרוסקופי.

==צברים חשובים ==
===הצבר המיקרוקנוני===
{{ערך מורחב|צבר מיקרוקנוני}}
אחת מהנחות היסוד של הפיזיקה הסטטיסטית היא כי בהינתן [[מערכת סגורה]], בה האנרגיה הכוללת, הנפח ומספר החלקיקים קבועים, ה[[הסתברות]] שהמערכת תמצא בכל אחד מן [[מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)|המצבים המיקרוסקופיים]] האפשריים המקיימים את כל המאפיינים הקבועים מראש (נקראים "מצבים זמינים") היא זהה, וההסתברות שהמערכת תמצא במצב אחר, אשר איננו מקיים את התנאים האלו (למשל, בו סכום האנרגיות של כל החלקיקים גדול מהאנרגיה שנקבעה למערכת כולה) היא אפס. בשפה [[מתמטיקה|מתמטית]], אם למערכת נתונה <math>\ g</math> מצבים זמינים, אזי הסיכוי שהיא תמצא באחד מהם הוא
<math>P= \frac{1}{g}</math>.
להלכה, לא ניתן לאמת הנחה זו בצורה ניסויית, אך ניתן להצדיקה משיקולים תאורטיים{{הערה|1=בראייה מודרנית, ניתן להצדיק הנחה זו על סמך ניתוח של מצבי המערכת ב[[מרחב הפאזות]] ושימוש ב[[משפט ליוביל (פיזיקה)|משפט ליוביל]] או על ידי שימוש בהנחה כי במערכת סגורה האנטרופיה מרבית במצב של שיווי משקל ושימוש בעקרונות ווריאציה על מנת למצוא מינימום של האנטרופיה.}} או לבדוק את המסקנות המתקבלות ממנה בצורה ניסויית.

בצבר זה, הנחשב לבסיסי ביותר, לכל המערכות יש בדיוק אותה אנרגיה. הגבלה זו איננה מחייבת בהכרח שכל המערכות נמצאות באותו מצב, שכן יכולים להיות מצבים שונים בעלי אותה אנרגיה (תופעה זו נקראת "[[ניוון (פיזיקה)|ניוון]]"). את מספר המצבים שהמערכת יכולה להיות בהם בעלי אנרגיה <math>\ E</math> נהוג לסמן ב <math>\Omega\left(E\right)</math>. לפונקציה זו קוראים "פונקציית הניוון". ה[[אנטרופיה]] <math>\ S</math>, מוגדרת בתור  <math>S\left(E\right)=k_B\log\left(\Omega\left(E\right)\right)</math> (כאשר <math>k_B</math> הוא [[קבוע בולצמן]]). מתוך האנטרופיה ניתן להגדיר את שאר הגדלים התרמודינמיים. כך לדוגמה, [[טמפרטורה]] מיקרו-קנונית, <math>\ T_\mu</math>, מוגדרת על ידי  <math>\frac{1}{T_\mu}=\frac{dS}{dE}</math>, ו[[קיבול חום]] מיקרו-קנוני, <math>C_\mu</math>, מוגדר כ- <math>C_\mu=\frac{dE}{dT}</math>.

===הצבר הקנוני===
[[קובץ:Heat bath.svg|שמאל|ממוזער|250px|מערכת קנונית - איור סכמאטי]]
הצבר הקנוני מתאר אוסף של מערכות שסכום האנרגיה המשותף להן הוא קבוע, אך המערכות יכולות להחליף אנרגיה ביניהן, כך שהאנרגיה של כל אחת מהמערכות יכולה להשתנות. דרך אחרת לתאר את הצבר הקנוני היא להביט על מערכת אחת שיכולה לחלוק אנרגיה עם אמבט חום (שהוא למעשה כל שאר המערכות). סך האנרגיה של המערכת והאמבט קבוע אך האנרגיה של המערכת יכולה להשתנות. באמבט הקנוני ניתן להראות שההסתברות <math>\ \rho(E)</math> שלמערכת תהיה אנרגיה <math>\ E</math>, נתונה על ידי

<math>\rho(E)\propto\Omega\left(E\right)e^{-\beta E}</math> 

כאשר הקבוע <math>\beta</math> נקבע מתוך שימור האנרגיה הכולל, וניתן להראות שהוא שווה ל:<math>\beta=\frac{1}{k_bT_{can}}</math> כאשר <math>T_{can}</math> היא הטמפרטורה של אמבט החום. התפלגות זאת נקראת "ההתפלגות הקנונית" או "[[התפלגות בולצמן]]". ברוב המערכות הפיזיקליות <math>\Omega\left(E\right)</math>, כלומר מספר המצבים בעלי אנרגיה <math>\ E</math>, היא פונקציה עולה של <math>\ E</math>, ולעומת זאת <math>\ e^{-\beta E}</math> היא פונקציה יורדת של <math>\ E</math>, ולכן ערכה של ההתפלגות הקנונית הוא 0 באנרגיה 0, לאחר מכן היא עולה, אבל דועכת שוב ל-0 באנרגיות גבוהות. מכאן שיש לה מקסימום לאורך הדרך, וניתן להראות שהמקסימום של ההתפלגות הקאנונית מתקבל באנרגיה <math>\ E</math> שעבורה:

<math>T_\mu\left(E\right)=T_{can}</math>

הצבר הקנוני הוא צבר המתאר היטב מערכות רבות במציאות, שכן בפיזיקה חלק גדול מהמערכות נמצאות בשיווי משקל עם אמבט חום כלשהו, או שניתן לתאר את המצב שלהן בקירוב טוב להתפלגות קנונית. יתר על כן, מבחינה חישובית, ההתפלגות הקנונית שימושית הרבה יותר מההתפלגות המיקרו-קנונית.

===הצבר הגרנד-קנוני===
בצבר הגרנד-קנוני המערכת יכולה להחליף לא רק אנרגיה אלא גם חלקיקים עם אמבט החום. במקרה כזה ההסתברות שלמערכת תהיה אנרגיה E ומספר חלקיקים N מקיימת

<math>\rho(E,N)\propto\Omega\left(E\right)e^{-\beta( E-\mu N)}</math>.

==עקרון השקילות==
אחד הרעיונות החשובים בפיזיקה סטטיסטית הוא שעבור מערכות בעלות מספר גדול של חלקיקים, הצברים השונים שקולים זה לזה. מכאן שעבור מערכות גדולות ניתן לדוגמה לבצע חישובים בצבר הגרנד קנוני, ותוצאות החישובים תהיינה תקפות גם אם המערכת לא יכולה להחליף חלקיקים עם האמבט. 

את השקילות של הצבר הקנוני והגרנד-קנוני ניתן להסביר בכך שההתפלגות הקנונית נראית בקרוב טוב כ[[גאוסיאן]] כאשר היחס בין מיקום המרכז שלו לבין הרוחב שלו פרופורציונלי לאחד חלקי שורש ממספר החלקיקים, לפי [[שגיאת תקן|שגיאת התקן]].{{דרושה הבהרה}} לכן, כאשר מספר החלקיקים במערכת גדול מאוד הרוחב של ההתפלגות נהיה זניח, וההתפלגות הופכת למעשה ל[[פונקציית דלתא]], שהיא בדיוק ההגדרה של מערכת מיקרוקנונית.

==ראו גם==
* [[פונקציית החלוקה (פיזיקה)|פונקציית חלוקה]]
* [[צבר איזותרמי-איזוברי]]
* [[מטריצת צפיפות]]

{{נושאים במכניקה סטטיסטית}}

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:פיזיקה סטטיסטית]]