הצגת המקור של הדף "צירוף אפיני"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[מתמטיקה]], '''צירוף אפיני''' של וקטורים ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> הוא [[צירוף ליניארי]] 

:<math> \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot x_{i}} = \alpha_{1} x_{1} + \alpha_{2} x_{2} + \cdots +\alpha_{n} x_{n} </math>

שבו סכום המקדמים הוא 1, כלומר:

:<math>\sum_{i=1}^{n} {\alpha_{i}}=1 </math>.

הווקטורים משוכנים ב[[מרחב וקטורי]] ''V'' מעל שדה ''K''; והמקדמים <math>\alpha _{i}</math> הם סקלרים ב-''K''.

מושג זה חשוב ב[[גאומטריה אוקלידית]].

בהינתן [[העתקה אפינית]], כל צירוף אפיני של [[נקודת שבת|נקודות שבת]] של ההעתקה גם הוא נקודת שבת של ההעתקה, לכן נקודות השבת יוצרות [[מרחב אפיני]] (בתלת-ממד: קו, מישור והמקרה הטריוויאלי של נקודה והמישור כולו).

==מוטיבציה==
נניח שיש אי ודאות בנקודת הראשית במרחב מסוים ואנו חושבים שזאת נקודה '''''p''''' (אך למעשה זו נקודה אחרת). נניח שרוצים לחבר שתי נקודות: '''''a''''' ו-'''''b'''''. נמתח קו מנקודה '''''p''''' לנקודה '''''a''''', קו נוסף מנקודה '''''p''''' לנקודה '''''b''''' וניעזר בכלל המקבילית למצוא את נקודה '''''a+b''''' לפי הנחתנו לגבי הראשית. למעשה קיבלנו את הנקודה '''''p''''' + ('''''a''''' &minus; '''''p''''') + ('''''b''''' &minus; '''''p'''''). באופן דומה נוכל ליצור צירוף ליניארי של '''''a''''' ו-'''''b''''' או של כל [[קבוצה סופית]] של וקטורים. לרוב, נקבל תשובה שגויה (בגלל ההנחה לגבי הראשית), אולם אם סכום המקדמים של הצירוף הליניארי הוא 1 התשובה תהיה נכונה.

תיאור ההוכחה: נניח <math>x</math> הוא תוצאת צירוף אפיני של וקטורים <math>x_i</math> עם מקדמים <math>\alpha_i</math>. באופן דומה <math>x'</math> הוא צירוף אפיני עם אותם מקדמים, של הווקטורים המוזזים <math>x'_i=x_i - p</math>, אזי:

:<math>x' = p + \sum_{i=1}^n{\alpha_i \cdot \left(x_i - p\right)} = p +\sum_{i=1}^n{\alpha_{i} \cdot x_{i}} - (\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i}) \cdot p =p +\sum_{i=1}^{n}{\alpha_i \cdot x_i} - p= x</math>

[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]