הצגת המקור של הדף "צמצום (תורת החוגים)"

ב[[תורת החוגים]], '''צמצום''' הוא התכונה המאפשרת לצמצם [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]], כלומר להסיק מאיזומורפיזם <math>A \oplus B \cong A \oplus B'</math> את האיזומורפיזם <math>B \cong B'</math>. צמצום עשוי להתקיים או שלא להתקיים בקטגוריה נתונה של מודולים.

== צמצום ותכונות אחרות ==

שאלת הצמצום עשויה להתייחס לקטגוריה של מודולים, אבל גם למודול מסוים בתוכה. לצד הצמצום, אפשר ללמוד כמה תכונות אפשריות.
* מודול <math>A</math> '''מקיים את תכונת ההצבה''' אם לכל שני מחוברים ישרים <math>B,C</math> של מודול, שהמשלים של שניהם איזומורפי ל-<math>A</math>, יש משלים משותף (היינו, אם <math>M = A' \oplus B = A'' \oplus C</math> ו-<math>A',A'' \cong A</math>, אז יש תת-מודול <math>A_0 \leq M</math> כך ש-<math>M  = A_0 \oplus B = A_0 \oplus C</math>).
* מודול <math>A</math> '''מקיים את תכונת הצמצום''', אם אפשר לצמצם אותו בכל איזומורפיזם של מודולים (כלומר אם <math>A \oplus B \cong A \oplus B'</math> אז <math>B \cong B'</math>).
* מודול <math>A</math> '''מקיים את תכונת הצמצום הפנימי''' אם בכל זוג פירוקים שלו <math>A = N\oplus K = N' \oplus K'</math> שבו <math>N \cong N'</math>, גם <math>K \cong K'</math>.
* מודול <math>A</math> הוא '''סופי-דדקינד''' אם לא ייתכן ש-<math>A \cong A \oplus X</math> אלא אם <math>X = 0</math>. (תכונה זו נקראת כך על-פי ההגדרה של [[ריכרד דדקינד|דדקינד]] ל[[קבוצה סופית]]).
התכונות המנויות לעיל מסודרות באופן היררכי: מתכונת ההצבה נובע צמצום; מצמצום נובע צמצום פנימי; ומצמצום פנימי נובעת סופיות-דדקינד.

תכונות הצמצום וההצבה עוברות למחוברים ישרים ולסכומים ישרים סופיים (כלומר, סכום ישר סופי הוא בעל תכונות אלה אם ורק אם כל המחוברים מקיימים אותן). 

תכונות ההצבה והצמצום הפנימי, וכן סופיות-דדקינד, תלויות רק ב[[חוג האנדומורפיזמים]] של המודול: מודול <math>M</math> מקיים את תכונת ההצבה אם ורק אם [[טווח יציב (תורת החוגים)|הטווח היציב]] של חוג האנדומורפיזמים הוא 1. מודול מקיים את תכונת הצמצום הפנימי אם ורק אם חוג האנדומורפיזם שלו מקיים אותה כמודול מעל עצמו. מודול הוא סופי-דדקינד אם ורק אם חוג האנדומורפיזמים שלו הוא סופי-דדקינד (אם <math>ab=1</math> אז <math>ba=1</math>).

ארבע התכונות מתלכדות עבור [[מודול אינג'קטיבי|מודולים אינג'קטיביים]] (ואף לכל [[מודול קוואזי-אינג'קטיבי]]). שלוש התכונות הראשונות מתלכדות אם המודול מקיים את [[תכונת ההחלפה הסופית]].

== תכונת ההצבה ==

כל מודול פשוט (ולכן כל סכום ישר של מספר סופי של מודולים פשוטים) הוא בעל תכונת ההצבה. מודול <math>M</math> מקיים את תכונת ההצבה אם ורק אם [[טווח יציב (תורת החוגים)|הטווח היציב]] של [[חוג האנדומורפיזמים]] הוא 1. מכאן אפשר להסיק שמעל חוג בעל טווח יציב 1, כל מודול פרויקטיבי נוצר סופית הוא בעל תכונת ההצבה. [[מודול אי-פריד]] המקיים את [[תכונת ההחלפה הסופית]] מקיים גם את תכונת ההצבה.

אם <math>R</math> חוג קומוטטיבי נתרי [[חוג מקומי למחצה|מקומי למחצה]], אז לכל מודול נוצר סופית מעליו יש תכונת ההצבה.

== צמצום ==

לכל שני מודולים <math>B,C</math>, אם <math>P = B\oplus C \oplus B \oplus C \oplus \cdots</math> אז <math>P \oplus B \cong P \oplus C</math>; וכמובן אי-אפשר לצמצם את <math>P</math>. דוגמה זו (המכונה "הטריק של איילנברג") מראה שתכונת הצמצום, אם היא מתקיימת, מוגבלת ל[[נוצר סופית|מודולים נוצרים סופית]].

מעל [[תחום דדקינד]], כל מודול נוצר סופית אפשר לצמצם. מאידך, יש תחומים קומוטטיביים בעלי ממד קרול 2 עם [[מודול פרויקטיבי|מודולים פרויקטיביים]] נוצרים סופית שאינם ניתנים לצמצום.

ב[[חוג אידיאלים חופשיים]], החוג ניתן לצמצום (כמודול מעל עצמו). 

== צמצום פנימי ==

חוג <math>R</math> מקיים את תכונת הצמצום הפנימי כמודול מעל עצמו, אם ורק אם לכל שני אידפוטנטים <math>e, e'</math>, אם <math> Re\cong Re'</math> (כמודולים) אז <math> R(1-e) \cong R(1-e')</math> (תכונה זו סימטרית ביחס להחלפת ימין ושמאל). 
מודול <math>M</math> שחוג האנדומורפיזמים שלו [[חוג רגולרי פון-נוימן|רגולרי פון-נוימן]] מקיים את תכונת הצמצום הפנימי, אם ורק אם חוג האנדומורפיזמים רגולרי ליחידות (ע"ש).

== מקורות ==
<div class="mw-content-ltr">
* A Crash Course on Stable Range, Cancellation, Substitution and Exchange, T. Y. Lam.
</div>

[[קטגוריה:תורת המודולים]]
[[קטגוריה:תורת החוגים]]
[[קטגוריה:סכום ישר]]