הצגת המקור של הדף "קבוצה בת מנייה"

{{סימון מתמטי}}
ב[[תורת הקבוצות]], '''קבוצה בַּת מְנִיָּה''' היא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] שקיימת [[פונקציה חד-חד-ערכית|פונקציה חד־חד ערכית]] ממנה ל[[קבוצת המספרים הטבעיים]]. קבוצה בת־מנייה היא [[קבוצה סופית|סופית]], או [[קבוצה אינסופית]] ש[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמתה]] [[אלף אפס|אָלֶף אֶפֶס]] (<math>\aleph_0</math>). על קבוצה כזו נאמר שהיא נמצאת בהתאמה לקבוצת המספרים הטבעיים. לכן, ניתן לסדר את איבריה ב[[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]], ללא חזרות. לדוגמה, קבוצת ה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] וקבוצת ה[[מספר אלגברי|מספרים האלגבריים]], הן בנות־מנייה. לעומת זאת, [[שדה המספרים הממשיים|קבוצת המספרים הממשיים]] היא [[קבוצה שאינה בת מנייה|קבוצה שאינה בת־מנייה]]. כל קבוצה אינסופית שאפשר לסדר את איבריה בסדרה, ואפילו עם חזרות, היא בת־מנייה (לפי [[משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין]]). עובדה זו נדרשת בהוכחה של טענות יסודיות כמו ש[[איחוד (תורת הקבוצות)|איחוד]] קבוצות בן מנייה, גם הוא בן מנייה.

== דוגמאות ==
[[קובץ:Rationals.png|שמאל|ממוזער|סידור אפשרי של הזוגות בהוכחתו של גאורג קנטור]]
להלן הוכחת [[גאורג קנטור]] שקבוצת ה'''זוגות''' של מספרים טבעיים היא בת־מנייה:

נסדר את הזוגות באופן הבא; ראשית יבוא (1,1), אחריו (1,2) ו-(2,1), אחר-כך שלושת הזוגות <math>(i,j)</math> שסכום הקואורדינטות שלהם <math>i+j=4</math>, אחר-כך ארבעת הזוגות שסכום הקואורדינטות שלהם 5, וכן הלאה. (הזוגות <math>(i,j)</math> שסכומם <math>n</math> מסודרים לפי הערך של <math>i</math>, מהקטן לגדול). הרשימה כוללת כל זוג של מספרים טבעיים, ולכן אוסף הזוגות בן מנייה. להתאמה שבהוכחה קוראים [[פונקציית זיווג]].{{ש}}
מן ההוכחה הזו נובע למשל שאוסף המספרים הרציונליים (החיוביים) הוא בן מנייה: יש פונקציה מן הזוגות של מספרים טבעיים המכסה את כל המספרים הרציונליים, <math>(i,j) \mapsto \frac{i}{j}</math>. בדרך זו מתקבל כל מספר רציונלי יותר מפעם אחת (ולמעשה אינסוף פעמים) - אם רוצים ליצור רשימה שבה כל רציונלי יופיע פעם אחת, אפשר לדלג על זוגות <math>(i,j)</math> שאינם זרים; כפי שהוסבר לעיל, ההוכחה תקפה גם ללא השיפוץ הזה.

הטיעון של קנטור מראה שכל מכפלה קרטזית <math>A \times B</math> של קבוצות בנות־מנייה, גם היא בת־מנייה. באינדוקציה נובע שאם <math>A</math> קבוצה בת־מנייה, אז לכל <math>k</math> טבעי הקבוצה <math>A^k</math> גם היא בת־מנייה. יתרה מזו, גם איחוד של מספר בן מנייה של קבוצות, שכל אחת מהן בת־מנייה, הוא בן מנייה.

הקבוצה <math>\cup_{k=1}^{\infty} \mathbb{N}^k</math> היא קבוצה בת־מנייה. בניסוח אחר, קבוצת כל הסדרות ה'''סופיות''' של מספרים טבעיים היא בת־מנייה. אלא שיש קבוצות גדולות יותר: משיטת [[האלכסון של קנטור]] יוצא שקבוצת כל הסדרות בנות המנייה של מספרים טבעיים (ואפילו של המספרים 0 ו-1) היא גדולה מכדי להיות בת־מנייה. מכיוון שכך, גם [[שדה המספרים הממשיים|קבוצת המספרים הממשיים]] אינה בת־מנייה.

==ראו גם==
* [[הוכחת האי-מנייה הראשונה של קנטור]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
* {{לא מדויק|2020/10/31/denumerable_sets|תורת הקבוצות - קבוצות בנות מנייה}}	

{{תורת הקבוצות}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
[[קטגוריה:אינסוף]]