הצגת המקור של הדף "קבוצה כמעט פתוחה"

{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], ובפרט ב[[טופולוגיה]], '''קבוצה כמעט פתוחה''' (נקראת גם '''קבוצה עם תכונת בר''') היא קבוצה אשר ניתנת לייצוג כ[[הפרש סימטרי]] בין [[קבוצה פתוחה]] ל[[קבוצה מקטגוריה ראשונה]]. כלומר, קבוצה כמעט פתוחה היא קבוצה פתוחה [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] החסרת או הוספת מספר [[קבוצה בת מנייה|בן מניה]] של [[קבוצה דלילה|קבוצות דלילות]].

קבוצות מסוג זה נחקרו לראשונה בראשית [[המאה ה-20]] על-ידי ה[[מתמטיקאי]] ה[[צרפתים|צרפתי]] [[רנה-לואי בר]].<ref>{{Citation|title=Leçons sur les fonctions discontinues|url=https://zbmath.org/?q=an:36.0438.01|date=1905|accessdate=2023-08-31|language=French|first=R.|last=Baire}}</ref>

== מונחים בסיסיים ==
עבור [[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> עם טופולוגיה <math>\mathcal{T}</math> הקבוצה <math>N\subseteq X</math> תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של ה[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] שלה [[הקבוצה הריקה|ריק]]. כלומר, <math>\operatorname{Int}(\operatorname{Cl}(N))=\emptyset</math>.

קבוצה <math>A\subseteq X</math> תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה [[אם ורק אם]] היא מהווה איחוד בן מניה של קבוצות דלילות.

== הגדרה מתמטית ==
בהינתן [[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> עם הטופולוגיה <math>\mathcal{T}</math> וקבוצה <math>A\subseteq X</math>, הקבוצה <math>A</math> תקרא '''קבוצה כמעט פתוחה''' [[אם ורק אם]] היא מקיימת את אחד ה[[שקילות (לוגיקה)|תנאים השקולים]] הבאים:<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Baire_property|כותרת=Baire property - Encyclopedia of Mathematics|אתר=encyclopediaofmath.org|תאריך_וידוא=2023-08-31}}</ref>

# קיימת קבוצה פתוחה <math>U</math> וקבוצה מקטגוריה ראשונה <math>B</math> כך ש-<math>A=U\Delta B</math>
# קיימת קבוצה פתוחה <math>U</math> כך ש-<math>U\Delta A</math> היא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
# קיימת [[קבוצה סגורה]] <math>C</math> וקבוצה מקטגוריה ראשונה <math>B</math> כך ש-<math>A=C\Delta B </math>
# קיימת קבוצה סגורה <math>C</math>  כך ש-<math>C\Delta A</math> היא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
# קיימת קבוצה <math>G</math> מסוג <math>G_\delta</math> (חיתוך בן מניה של קבוצות פתוחות) וקבוצה פתוחה <math>U</math> כך ש-<math>A=G\cup U</math>.
# קיימת קבוצה מקטגוריה ראשונה <math>B</math> כך ש-<math>A\cup B</math> היא קבוצה מסוג <math>F_\delta</math> (איחוד בן מניה של קבוצות סגורות).

== סיגמא-אלגברה של קבוצות כמעט פתוחות ==
משקילות ההגדרות של קבוצה כמעט פתוחה ניתן להסיק כי:<ref>{{צ-מאמר|מחבר=John C. Oxtoby|שם=Measure and Category|כתב עת=Graduate Texts in Mathematics|שנת הוצאה=1980|doi=10.1007/978-1-4684-9339-9|קישור=https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-9339-9}}</ref>

# ה[[משלים (מתמטיקה)|משלים]] של קבוצה כמעט פתוחה הוא קבוצה כמעט פתוחה.
# איחוד בן מניה של קבוצות כמעט פתוחות הוא קבוצה כמעט פתוחה.

כלומר, כל הקבוצות הכמעט פתוחות מהוות [[סיגמא-אלגברה]]. מכיוון שכל קבוצה פתוחה היא קבוצה כמעט פתוחה, סיגמא-אלגברת הקבוצות הכמעט פתוחות מכילה את [[קבוצת בורל|סיגמא-אלגברת בורל]]. לבסוף, מכיוון שסיגמא-אלגברת בורל היא הסיגמא-אלגברה המינימלית המכילה את הקבוצות הפתוחות, משמעות הדבר היא שכל קבוצה בסיגמא-אלגברת בורל היא קבוצה כמעט פתוחה, ובפרט:

# כל קבוצה פתוחה
# כל קבוצה סגורה
# כל קבוצה דלילה
# כל קבוצה מקטגוריה ראשונה
# כל קבוצה מסוג <math>G_\delta</math>
# כל קבוצה מסוג <math>F_\delta</math>

== דוגמאות ==
תחת הטופולוגיה הסטנדרטית במרחב [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]] <math>\mathbb{R}</math>, הקבוצות הבאות כמעט פתוחות:

* הקבוצה הריקה.
* כל [[יחידון]].
* [[קבוצת קנטור]].
* [[חוג המספרים השלמים|קבוצת המספרים השלמים]]  <math>\mathbb{Z}</math>.
* [[מספר רציונלי|קבוצת המספרים הרציונליים]] <math>\mathbb{Q}</math>.
* מרחב המספרים הממשיים <math>\mathbb{R}</math> כולו.
* קבוצת כל המספרים האי-רציונליים בין 0 ל-1: <math>A=\{x\in \mathbb{R}\mid 0<x<1,x\notin \mathbb{Q}\} </math>

== דוגמאות נגדיות ==
ניתן לייצר דוגמה נגדית לקבוצה כמעט פתוחה תחת מרחב המספרים הממשיים על-ידי שימוש ב[[אקסיומת הבחירה]]. דוגמה לקבוצה שאיננה קבוצה כמעט פתוחה היא [[משפט ויטלי|קבוצת ויטלי]].

== ראו גם ==

* [[קבוצה פתוחה]]
* [[קבוצה דלילה]]
* [[קבוצה מקטגוריה ראשונה]]
* [[קבוצת בורל]]

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:טופולוגיה]]