הצגת המקור של הדף "קבוצה סופית"

ב[[תורת הקבוצות]], '''קבוצה סופית''' היא [[קבוצה (תורת הקבוצות)|קבוצה]] שיש לה מספר סופי של איברים. 

לכאורה ההבחנה בין קבוצה סופית ו[[קבוצה אינסופית]] היא פשוטה ואינטואיטיבית, אבל במהלך ה[[תורת הקבוצות האקסיומטית|פיתוח האקסיומטי של תורת הקבוצות]] הייתה נחוצה הגדרה מדויקת, והתברר שכמה [[משפט (מתמטיקה)|משפטים]] מובנים מאליהם אינם תקפים במסגרת [[אקסיומות צרמלו-פרנקל]], אלא אם מניחים את [[אקסיומת הבחירה]].

הראשון שהגדיר קבוצה סופית היה [[ריכרד דדקינד]], ב-[[1888]] (ראו להלן). ב-[[1905]] הבחין [[ברטראנד ראסל|ראסל]] שכדי להוכיח ש[[קבוצת החזקה]] של קבוצה סופית במובן של דדקינד היא סופית באותו מובן, נחוצה אקסיומת הבחירה. ב-[[1924]], בהשפעת עבודות של [[ואצלב שרפינסקי]] ו[[קזימיירז קורטובסקי]], כתב [[אלפרד טרסקי]] [[מאמר סקירה]] מקיף בנושא <ref>{{צ-מאמר|מחבר=Alfred Tarski|שם=Sur les ensembles finis|כתב עת=Fundamenta Mathematicae|כרך=6|שנת הוצאה=1924|עמ=95--45|קישור=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm619.pdf}}</ref>, ובו השווה חמש תכונות, שכולן אמורות לתאר את הסופיות של A:
# בכל משפחה של [[תת-קבוצה|תת-קבוצות]] של A, יש תת-קבוצה מקסימלית ביחס להכלה;
# בכל משפחה של תת-קבוצות של A שיחס ההכלה מסדר אותה [[סדר ליניארי|ליניארית]], יש תת-קבוצה מקסימלית;
# אין תת-קבוצה אמיתית של קבוצת החזקה <math>\ P(A)</math> שהיא שוות-[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] ל-<math>\ P(A)</math>;
# אין תת-קבוצה אמיתית של A שהיא שוות-עוצמה ל-A (זו [[אינסופיות לפי דדקינד|ההגדרה של דדקינד]]);
# אי-אפשר להציג את A כ[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] זר של שתי קבוצות שכל אחת מהן שוות-עוצמה ל-A.
טרסקי הראה שכל תכונה גוררת את הבאות אחריה, ושכולן שקולות אם מניחים את אקסיומת הבחירה; מתמטיקאים שבאו בעקבותיו הראו שללא אקסיומת הבחירה, חמש התכונות אינן שקולות זו לזו.

ב-[[1938]] בחן טרסקי שלוש תכונות נוספות:

:6. לכל [[סדר טוב]] S על A, גם הסדר ההפוך <math>\ \{(b,a): (a,b)\in S\}</math> הוא סדר טוב על A;
:7. אם יש ב-A יותר מאיבר אחד, אז אפשר לפרק אותה לאיחוד זר של שתי קבוצות שעוצמתן קטנה משל A;
:8. אם יש ב-A יותר מאיבר אחד, אז עוצמתה קטנה משל ה[[מכפלה קרטזית|מכפלה הקרטזית]] <math>\ A\times A</math> (ראו [[משפט טרסקי]]).

טרסקי הראה שהשקילות בין כל אחת מההגדרות האלה להגדרה 1 שלעיל גוררת את אקסיומת הבחירה.

ההגדרה המודרנית קובעת שקבוצה היא סופית אם ורק אם היא איזומורפית לאיבר של הקבוצה <math>\omega</math>, וממילא היא [[קבוצה סדורה היטב|סדורה היטב]]. הגדרה זו שקולה לכל האחרות בנוכחות אקסיומת הבחירה, ומספקת גמישות מקסימלית אפילו בהיעדרה.  

== לקריאה נוספת ==

* Gregory H. Moore, Zermelo's Axiom of Choice, Its origins, development and influence, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 8, 1982, סעיף 4.2.
==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=קבוצה סופית}}
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}


[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]