הצגת המקור של הדף "קדם-מידה"

{{סימון מתמטי}}
ב[[תורת המידה]], '''קדם-מידה''' (ב[[אנגלית]]: '''Pre-measure''') היא [[פונקציה]] שהיא "כמעט" [[מידה (מתמטיקה)|פונקציית מידה]], במובן זה שמשפחת הקבוצות שהיא מודדת אינה מהווה [[סיגמא-אלגברה]].

חשיבותה של קדם-מידה היא שכאשר היא מוגדרת על משפחת קבוצות המקיימת תכונות מסוימות, אז היא יכולה להתרחב לכדי פונקציית מידה על [[סיגמא-אלגברה]] הנוצרת על ידי משפחת הקבוצות הזו, לעיתים אף באופן יחיד. תכונה חשובה זו מכונה '''משפט ההרחבה''', שלו שתי גרסאות: גרסת קרתאודורי עבור קדם-מידה המוגדרת על [[חוג של קבוצות|חוג למחצה של קבוצות]], וגרסת האן-קולמוגורוב עבור קדם-מידה המוגדרת על [[אלגברה של קבוצות]].

שיטה זו של בניית מידה על ידי בניית קדם-מידה היא חשובה ויסודית בתורת המידה, וכך למשל יש לה תפקיד מרכזי בבניית [[מידת לבג]] על [[המספרים הממשיים]].

==הגדרה==

תהי <math>X</math> [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]], ותהי <math>\mathcal{S}</math> [[אלגברה של קבוצות]] או [[חוג של קבוצות|חוג למחצה של קבוצות]] מעל <math>X</math>.

פונקציה <math>\mu_0 : \mathcal{S} \to \mathbb{R}_+</math> נקראת '''קדם מידה''', אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:
# <math>\mu_0 \left( \emptyset \right) = 0</math>
# אם <math>A = A_1 \cup A_2 \cup \dots </math> [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]]  סופי או בן-מניה של [[קבוצות זרות|קבוצות זרות בזוגות]] מתוך <math>\mathcal{S}</math>, המקיים גם כי <math>A \in \mathcal{S}</math>, אז{{ש}}<math display="block">\mu_0 \left( A \right) = \mu_0 \left( A_1 \right) + \mu_0 \left( A_2 \right) + \dots</math>

הסיבה לסימון <math>\mu_0</math> היא כי קדם-מידה מיועדת להפוך למידה, כפי שמראה משפט ההרחבה, אותה מסמנים בדרך כלל <math>\mu</math>.

==משפט ההרחבה==

נסמן ב-<math>\sigma \left( \mathcal{S} \right)</math> את ה[[סיגמא-אלגברה]] הנוצרת על ידי [[אלגברה של קבוצות]] או [[חוג של קבוצות|חוג למחצה של קבוצות]] <math>\mathcal{S}</math>. לכל קדם-מידה <math>\mu_0 : \mathcal{S} \to \mathbb{R}_+</math>, קיימת [[מידה (מתמטיקה)|מידה]] <math>\mu : \sigma \left( \mathcal{S} \right) \to \mathbb{R}_+</math> המרחיבה את <math>\mu_0</math>. כלומר, לכל <math>A \in \mathcal{S}</math> מתקיים <math>\mu \left( A \right) = \mu_0 \left( A \right)</math>.

כמו כן, במצב בו <math>\mu_0</math> היא סיגמא-סופית,{{הערה|כלומר, ניתן להציג את <math>X</math> כאיחוד בן-מניה של קבוצות מתוך <math>\mathcal{S}</math>, שקדם המידה של כל אחת מהן היא סופית.}} אז <math>\mu</math> יחידה. במצב זה, כמובן גם <math>\mu</math> היא סיגמא-סופית.

ניתן להבחין כי אין כל הבדל בין אם קדם המידה מוגדרת על חוג למחצה של קבוצות או על חוג של קבוצות הנוצר על-ידה, שכן חוג של קבוצות הנוצר על ידי חוג למחצה של קבוצות הוא בדיוק אוסף כל ה[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]]ים הסופיים של קבוצות זרות בזוגות מהחוג למחצה. לכן מאדיטיביות של קדם-מידה, היא מתרחבת באופן יחיד לכדי קדם-מידה על החוג הנוצר.

הגרסה של משפט ההרחבה עבור חוג למחצה של קבוצות נקראת '''משפט ההרחבה של קרתאודורי''' על-שם המתמטיקאי ה[[יווני]]-[[גרמני]] [[קונסטנטין קרתיאודורי]]. הגרסה של משפט ההרחבה עבור אלגברה של קבוצות נקראת '''משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב''', על-שמם של המתמטיקאי ה[[אוסטרי]] [[האנס האן]] והמתמטיקאי ה[[רוסי]] [[אנדריי קולמוגורוב]].

===אי היחידות של ההרחבה===

כאמור במשפט, היחידות מובטחת רק כאשר המרחב הוא סיגמא-סופי ביחס לקדם המידה הנתונה. כאשר דרישה זו לא מתקיימת, אפילו אם המרחב כן סיגמא-סופי ביחס למידה המרחיבה, היחידות אינה מובטחת. להלן דוגמה לכך.

נתבונן במרחב <math>X = \mathbb{Q} \cap \left[ 0,1 \right]</math>, ותהי <math>\mathcal{S}</math> ה[[אלגברה של קבוצות]] הנוצרת על ידי הקטעים החצי-פתוחים במרחב, מהצורה <math>\left[ a,b \right)</math>.

נתבונן בקדם-מידה טריוויאלית על <math>\mathcal{S}</math> המקיימת <math>\mu_0 \left( \left[ a,b \right) \right) = \infty</math> לכל קטע. כמו כן נגדיר על הסיגמא-אלגברה <math>\sigma \left( \mathcal{S} \right)</math> מידה <math>\mu \left( A \right) = \left| A \right|</math> ועוד מידה <math>\nu \left( A \right) = 2 \cdot \left| A \right|</math>, כאשר <math>\left| A \right|</math> הוא הגודל של הקבוצה <math>A</math>, והוא <math>\infty</math> בכל מצב בו הקבוצה אינה סופית.

אלו שתי מידות שמקבלות ערכים שונים על כל [[קבוצה סופית]] של <math>\sigma \left( \mathcal{S} \right)</math> (יש קבוצות סופיות בסיגמא-אלגברה זו), וכמו כן ברור ששתיהן מרחיבות את הקדם-מידה <math>\mu_0</math>, שכן כל קטע <math>\left[ a,b \right)</math> במרחב מכיל [[אינסוף]] איברים, ולכן <math>\mu \left( \left[ a,b \right) \right) = \nu \left( \left[ a,b \right) \right) = \infty</math>.

===בניית מידת לבג===

{{ערך מורחב|מידת לבג}}

היישום החשוב ביותר של משפט ההרחבה הוא בבניית [[מידת לבג]] על המספרים הממשיים. בבנייה זו מתחילים מהחוג למחצה או האלגברה הנוצרים על ידי <math>\mathcal{S} = \left\{ \left( a,b \right] : a<b \right\}</math>, כאשר <math>b</math> יכול להיות גם אינסופי, ומגדירים עליו קדם-מידה להיות ה[[נפח]], כלומר <math>\mu_0 \left( \left( a,b \right] \right) = b-a</math>. כאשר מדובר בקטע אינסופי, ערכה של הקדם-מידה יהיה <math>\infty</math>. ממשפט ההרחבה נובע שקיימת מידה על <math>\sigma \left( \mathcal{S} \right)</math> המרחיבה את <math>\mu_0</math>. מידה זו מכונה "[[קבוצת בורל|מידת בורל]]".

מידת לבג עצמה מתקבלת על ידי עוד הרחבה של מידת בורל, המוגדרת על סיגמא-אלגברה גדולה יותר המכילה את <math>\sigma \left( \mathcal{S} \right)</math>.

כפי שנובע מהחלק הנוסף של משפט ההרחבה, היות שהמספרים הממשיים מהווים [[מרחב מדיד]] סיגמא-סופי ביחס לקדם-מידת הנפח, הרי שמידת לבג היא המידה היחידה על סיגמא-אלגברת בורל, שמקיימת את התכונה האינטואיטיבית שמידתו של כל קטע <math>\left( a,b \right]</math> היא האורך שלו, <math>b-a</math>.

==לקריאה נוספת==

<div class="mw-content-ltr">
* Real Analysis, H. L. Royden, 1963, 219-224
</div>

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

* [http://planetmath.org/node/35409 משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב], באתר PlanetMath
* [http://planetmath.org/caratheodorysextensiontheorem משפט ההרחבה של קרתאודורי] באתר PlanetMath
* [https://terrytao.wordpress.com/2010/10/30/245a-notes-6-outer-measures-pre-measures-and-product-measures/ Outer measures, pre-measures, and product measures] בבלוג "What's new"
* [https://terrytao.wordpress.com/2009/01/03/254a-notes-0a-an-alternate-approach-to-the-caratheodory-extension-theorem/ An alternate approach to the Carathéodory extension theorem] בבלוג "What's new"

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:תורת המידה]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת המידה|משפט ההרחבה]]