הצגת המקור של הדף "קווריאנטיות להעתקות אפיניות חיוביות"

'''קווריאנטיות להעתקות אפיניות חיוביות''' היא תכונה [[מתמטיקה|מתמטית]] המתארת מושגי פתרון של [[תורת המשחקים|משחקים]] בצורה [[קואליציה (תורת המשחקים)|קואליציונית]] ומשחקים בצורה [[משחק בצורה תכסיסית|אסטרטגית]]. התכונה אומרת שאם משחק אחד מתקבל ממשחק אחר על ידי הפעלת [[העתקה אפינית]] חיובית, אז הפתרון של המשחק הראשון שווה לפתרון המשחק השני לאחר הפעלת אותה העתקה אפינית. [[קווריאנטיות]] להעתקות אפיניות חיוביות מתקיימת עבור הפתרונות של ה[[ליבה של משחק שיתופי|ליבה]], [[ערך שפלי]], [[קבוצת המיקוח|קבוצות מיקוח]], ה[[גרעינון (מתמטיקה)|גרעינון]] וה[[גרעין (מתמטיקה)|גרעין]] במשחקים השיתופיים, ועבור [[שיווי משקל נאש]] ו[[שיווי משקל מתואם]] במשחקים הלא שיתופיים.

==הגדרה פורמלית==
===העתקה אפינית חיובית===
'''העתקה אפינית חיובית''' של [[פונקציה]] כלשהי <math>p:X \rarr \mathbb{R}</math> היא '''הפונקציה'''
<math>g:X \rarr \mathbb{R}</math> המקיימת <math>g(x) = \alpha p(x)+ \beta, \forall~x \in X</math> עבור מספר <math>\alpha > 0</math> ומספר ממשי <math>\beta</math>.

===קווריאנטיות להעתקות אפיניות חיוביות (משחק מיקוח)===
פתרון <math>f</math> '''למשחקי מיקוח''' מקיים את הקווריאנטיות להעתקות אפיניות: אם לכל משחק מיקוח <math>(S,d)</math>, לכל וקטור <math>a \in R^2 </math> כאשר שתי הקואורדינטות של <math>a</math> הן חיוביות, ולכל וקטור <math>b \in R^2 </math> יתקיים הדבר הבא: <math>\,f(aS+b,ad+b) = af(S,d)+ b </math> .
באופן זה ניתן לומר כי העיקרון המוצג כאן הוא שילוב עקרונות הקווריאנטיות תחת הזזות והאי-תלות ביחידות המדידה.

===במשחק בצורה קואליציונית===
עקרון הקווריאנטיות להעתקות אפיניות חיוביות מופיע כעיקרון [[שקילות אסטרטגית]] עבור [[קואליציה (תורת המשחקים)#משחק בצורה קואליציונית עם תשלומי צד|משחקים בצורה קואליציונית עם תשלומי צד]].

פתרון <math>\phi</math> למשחק בצורה קואליציונית עם תשלומי צד מקיים שקילות אסטרטגית אם לכל משחק
<math>\left(N ; v\right)</math>, לכל <math>a \in R_+</math>, לכל וקטור <math>b \in R^N</math> ולכל שחקן <math>i\in N</math> מתקיים: <math>\phi_i(N;av+b) = a \phi_i(N;v) + b_i</math>

===במשחק בצורה אסטרטגית===
ב[[משחק בצורה תכסיסית|משחק בצורה אסטרטגית]] מושגי הפתרונות של [[שיווי משקל נאש]] ו[[שיווי המשקל המתואם]] מקיימים קווריאנטיות להעתקות אפיניות חיוביות, עבור כל שחקן <math>i</math> במשחק, באופן הדומה לזה שהוצג במשחקי מיקוח ובמשחקים בצורה קואליציונית.

==קשר למשפט פון נוימן-מורגנשטרן==
[[משפט פון נוימן-מורגנשטרן]] קובע באיזה תנאים קיימת לשחקן [[פונקציית תועלת]] ליניארית. בנוסף, המשפט קובע כי פונקציית התועלת הליניארית של השחקן נקבעת עד כדי העתקה אפינית חיובית. לכן, כאשר מביעים את תוצאות המשחק ביחידות תועלת, על הפתרון להיות קווריאנטי תחת שקילות אסטרטגית: אם משנים את יחידות התועלת של שחקן על פי העתקה אפינית חיובית, הפתרון אמור להשתנות על פי אותה העתקה אפינית חיובית.

==ראו גם==
*[[קווריאנטיות תחת הזזות]]
*[[משחק מיקוח]]
*[[משפט פון נוימן-מורגנשטרן]]

==לקריאה נוספת==
*{{צ-ספר|מחבר=שמואל זמיר, [[מיכאל משלר]], [[אילון סולן]]|שם=תורת המשחקים|מו"ל=[[הוצאת מאגנס|מאגנס]]|שנת הוצאה=2008|מקום הוצאה=ירושלים|ISBN=9654932946}}

[[קטגוריה:תורת המשחקים]]