הצגת המקור של הדף "קוטב (אנליזה מרוכבת)"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''קוטב''' של [[פונקציה מרוכבת]] הוא סוג מסוים של נקודת [[סינגולריות (מתמטיקה)|סינגולריות]] של הפונקציה (הסוגים האחרים הם סינגולריות סליקה וסינגולריות עיקרית). קוטב היא נקודה בה הפונקציה [[שאיפה לאינסוף|שואפת לאינסוף]] ב[[ערך מוחלט|ערכה המוחלט]].

==הגדרה פורמלית==
נקודה <math> z_0</math> נקראת '''קוטב''' של פונקציה מרוכבת <math> f(z)</math>, אם הפונקציה [[פונקציה אנליטית|אנליטית]] ב[[סביבה (טופולוגיה)|סביבה מנוקבת]] של הנקודה, ומתקיים <math> \lim _{z\to z_0}f(z)=\infty </math>.

המספר n הקטן ביותר שעבורו הגבול <math> \lim_{z \rightarrow z_0}(z-z_0)^nf(z)</math> קיים, נקרא ה'''סדר''' של הקוטב. מספר זה תמיד קיים, והגבול עבורו שונה מאפס. קוטב מסדר 1 נקרא '''קוטב פשוט'''. עבור קוטב פשוט, השארית של הקוטב מוגדרת להיות הגבול <math> Res_{z_0}f=\lim _{z\to z_0}(z-z_0)f(z)</math>.

באופן שקול, ניתן לומר שה־n עבורו הגבול <math> \lim_{z \rightarrow z_0}(z-z_0)^nf(z)</math> קיים, סופי ושונה מאפס הוא סדר הקוטב.

==תכונות==
הפונקציה ניתנת לפיתוח ל[[טור לורן]] סביב קוטב מסדר סופי, כאשר הפיתוח מתחיל מהחזקה השלילית <math> (z-z_0)^{-n}</math>. כלומר, <math> f(z)=\sum_{k=-n}^{\infty}c_k\cdot(z-z_0)^k</math>. באופן שקול, יש <math> n </math> כך שלפונקציה <math> (z-z_0)^nf(z) </math> יש נקודה סינגולרית סליקה ב- <math> z_0</math>.

הגבול <math> \lim_{z\rarr z_0}f(z)\cdot(z-z_0)^k=L</math>, עבור <math> k\isin\mathbb{Z}</math> מקבל את הערכים הבאים:
#<math> L=\infty</math> אם <math> k<n</math>.
#<math> L=c_{-n}</math> אם <math> k=n</math>.
#<math> L=0</math> אם <math> k>n</math>.

==דוגמאות==
# לפונקציה <math> f(z)=\frac{1}{z^n}</math> קיים קוטב מסדר <math> n</math> בנקודה <math> z=0</math>.
#לפונקציה <math> f(z)=\frac{1}{1-\cos z}</math> קיים קוטב מסדר <math> 2</math> בנקודה <math> z=0</math>. כדי להיווכח בזה די לזכור שהפיתוח לטור טיילור של <math> \cos z</math> הוא: <math> \cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots</math>, ולכן <math> f(z)=\frac{1}{1-\cos z}=\frac{1}{1-(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots)}= \frac{1}{z^2(\frac{1}{2!}-\frac{z^2}{4!}+\dots)}</math>.
# לפונקציה <math> f(z)=e^{1/z}</math> אין קוטב בנקודה <math> z=0</math> אלא סינגולריות עיקרית.

כשמרחיבים את ההגדרה של פונקציה מרוכבת אל ה[[קומפקטיפיקציה]] של [[המישור המרוכב]] (כלומר, מוסיפים להגדרה את נקודת האינסוף, כמו ב[[ספירת רימן]]), הנקודה <math> z=\infty</math> נחשבת לקוטב של <math> f(z)</math> מאותו סוג וסדר של הקוטב <math> z=0</math> בפונקציה <math> f(1/z)</math>.

==מונחים קשורים==
פונקציה מרוכבת שכל נקודות הסינגולריות שלה הן קטבים נקראת [[פונקציה מרומורפית]].

==ראו גם==
* [[משפט השאריות]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{אנליזה מרוכבת}}

[[קטגוריה:אנליזה מרוכבת]]